1、127.2.3 相似三角形应用举例关键问答测量树高的依据是什么？需要得到的数据有哪些？测量河宽常需要构造什么图形？需要得到的数据有哪些？1 如图 27259，在同一时刻，身高 1.6 米的小丽在阳光下的影长为 2.5 米若一棵大树的影长为 5 米，则这棵树的高度为( )图 27259A1.5 米 B2.3 米 C3.2 米 D7.8 米2 如图 27260，已知点 A， D， E 和点 B， D， C 分别在同一直线上，且AB BD， EC CD.测得 BD120 m， DC60 m， EC50 m，则河宽 AB 为( )图 27260A120 m B100 m C75 m D25 m命题点
2、1 利用相似求物体的高度 热度：95%3. 如图 27261 是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处已知AB BD， CD BD，且测得 AB1.4 米， BP2.1 米， PD12 米，那么该古城墙 CD 的高度是( )2图 27261A6 米 B8 米 C10 米 D12 米解题突破由物理知识可知，入射角等于反射角，从而由两角分别相等的两个三角形相似解题4 某数学兴趣小组的小颖和小红想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时小颖测得一根长为 1 m 的竹竿的影长是 0.8 m，同时刻小
3、红测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图 27262)小红先测得留在墙壁上的影高为 1.2 m，又测得地面上的影长为 2.6 m，请你帮她算一下，树高是( )图 27262A3.8 m B4.25 m C4.45 m D4.75 m易错警示本题易把树的影长当作 1.22.63.8(m)而误选 D.5. 如图 27263，小明晚上由路灯 A 下的点 B 处走到点 C 处时，测得自身影子 CD的长为 1 米他继续往前走 3 米到达点 E 处(即 CE3 米)，测得自己影子 EF 的长为 2米已知小明的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度 AB 是( )图
4、27263A4.5 米 B6 米 C7.2 米 D8 米方法点拨利用两个“A”型图可建立关于两个未知量的方程组，通过方程组进行求解.6 两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的试验他的做法是：在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图 27264 所示的装置来验证小孔成像的现象已知一根点燃的蜡烛距小孔 20 cm，光屏在距小孔 30 cm 处，小华测量了蜡烛的火焰高度为 2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为_ cm.图 27264解题突破解决本题要用到相似三角形对应高的比等于相似比7. 如图 27265，垂直于地
5、面放置的正方形框架 ABCD 的边长为 30 cm，在其正上方有一灯泡 P.在灯泡的照射下，正方形框架的部分影子 A B， D C 的长度和为 6 cm，那么灯泡 P 离地面的高度 PM 为_cm.3图 27265一题多变有 n 个边长为 a 的正方形按如图 27266 所示的方式摆放，测得横向影子A B， D C 的长度和为 b，求灯泡 P 离地面的高度 PM.图 272668如图 27267，小明在墙上挂了一面镜子 AB，调整好标杆 CD，正好通过标杆顶部在镜子上边缘 A 处看到旗杆的顶端 E 的影子已知 AB2 m， CD1.5 m， BD2 m， BF20 m，则旗杆 EF 的高度为_
6、m.图 272679某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量方法如下：如图 27268，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线 BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线 BM 上的对应位置为点 C，镜子不动小亮看着镜面上的标记，来回走动，走到点 D 时，看到“望月阁”顶端点 A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得
7、小亮眼睛与地面的距离 ED1.5 米， CD2 米然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从点 D 沿 DM 方向走了 16 米，到达“望月阁”影子的末端点 F 处，此时，测得小亮身高 FG 的影长 FH2.5 米，FG1.65 米如图 27268，已知 AB BM， ED BM， GF BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高 AB.图 272684命题点 2 利用相似求物体的宽度 热度：93%10如图 27269，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔 5 米有一棵树，在北岸边每隔 50 米有一根电
8、线杆小丽站在离南岸边 15 米的点 P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为_米图 2726911某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点 B(点 B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点 D 所确定的直线垂直于河岸)小明在点 B 面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点 D处，如图 27270 所示，这时小亮测得小明的眼睛距地面的距离 AB1.7 米；小明站在原地转动 180后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时
9、视线通过帽檐落在了 DB 延长线上的点 E 处，此时小亮测得 BE9.6 米，小明的眼睛距地面的距离 CB1.2 米根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽 BD 是多少米图 27270命题点 3 相似在其他方面的实际应用 热度：91%12. 如图 27271 所示，一张等腰三角形纸片，底边长为 18 cm，底边上的高为 18 cm.现沿底边依次由下往上裁剪宽度均为 3 cm 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )5图 27271A第 4 张 B第 5 张C第 6 张 D第 7 张解题突破由于每个矩形的宽一定，因此求纸条的张数可转化成求正方形上面的边到等腰三角形底
10、边的距离.13. 如图 27272 是临时暂停修建的一段乡村马路，高的一边已经修好，低的一边才刚做好路基一辆汽车在高的一边沿箭头方向行驶时偏离了正常行驶路线后停止，但一侧的两个轮子已经驶入低的一边经检查，底板 AB 刚好接触到高的一边的路面边缘 P.已知 AB130 cm，轮子 A， B 处在底板以下部分与地面的距离 AC BD30 cm，两路面的高度差为 50 cm.设路面是水平的，则 PC 的长是_ cm.6图 27272方法点拨若两个相似三角形的一对对应边已知，另外一对对应边满足某种数量关系，则可以求出另外一对对应边的长度.14. 有一个测量弹跳力的体育器材，如图 27273 所示，竖杆
11、 AC， BD 的长度分别为 200 厘米、300 厘米， CD300 厘米现有一人站在斜杆 AB 下方的点 E 处，直立、单手上举时中指指尖(点 F)到地面的高度为 EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆 AB 上的点 G，此时，就将 EG 与 EF 的差值 y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩(1)设 CE x 厘米， EF a 厘米，求出用 x 和 a 表示 y 的计算公式；(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆已知该同学弹跳时站的位置为 x150 厘米，且 a205 厘米若规定 y50，弹跳成绩为优；40 y50 时，弹跳成绩为良好；30 y40 时，弹跳成绩为及格，则
12、该男生弹跳成绩处于什么水平？图 27273模型建立利用相似三角形的性质，可建立量与量之间的关系式，借助这个关系式，可以由已知量求得未知量.7详解详析1C 2.B3B 解析 APB CPD， ABP CDP， ABP CDP， ，即 ，解得 CD8(米)ABCD BPDP 1.4CD 2.1124C 解析 如图，设 BD 是 BC 在地面上的影子，树高为 x m.根据竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得 ，而 CB1.2 CBBD 10.8m， BD0.96 m，树在地面上的实际影长是 0.962.63.56(m)再由竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得 ，解得 x4
13、.45，即树高是 4.45 m.x3.56 10.85B 解析 MC AB， DCM DBA， ，即 . MCAB DCDB 1.5AB 1BC 1 NE AB， FNE FAB， ，即 ， NEAB EFBF 1.5AB 2BC 3 2 ，解得 BC3(米)，2BC 3 2 1BC 1 AB6 米，即路灯 A 的高度 AB 为 6 米63 解析 如图，由题意得 OE20 cm， OF30 cm，AB2 cm. AB CD， OAB OCD， ，即 ，ABCD OEOF 2CD 2030 CD3(cm)，即光屏上火焰所成像的高度为 3 cm.7180 解析 设 PM 与 AD 的交点为 N.8
14、四边形 ABCD 是正方形， AD A D， PAD PA D， .ADA D PNPM设灯泡 P 离地面的高度 PM 为 x cm，则 ，解得 x180.3036 x 30x经检验， x180 是原方程的根且符合题意即灯泡 P 离地面的高度为 180 cm.一题多变设灯泡 P 离地面的高度 PM 为 x， PM 交 AD 于点 N，由题意，得PM x， PN x a， AD na， A D na b. AD A D， PAD PA D， ， ，ADA D PNPM nana b x ax解得 x .a2n abb经检验， x 是原方程的根且符合题意a2n abb故灯泡 P 离地面的高度为 .
15、a2n abb87 解析 如图，过点 A 作 AM EF 于点 M，过点 C 作 CN AB 于点 N， AM CN， MAC NCA.由已知可得 EAM MAC， EAM NCA.又 EMA ANC90， AEM CAN， ， EM5 m， EF7 m.EMAN AMCN9解：由题意可得 ABC EDC GFH90， ACB ECD， AFB GHF，故 ABC EDC， ABF GFH，则 ， ，ABED BCDC ABGF BFFH即 ， ，AB1.5 BC2 AB1.65 BC 16 22.5解得 AB99(米)答：“望月阁”的高 AB 为 99 米1022.5 解析 设河宽为 x 米
16、，由题意可得 ，解得 x22.5.15x 15 205011解：由题意，得 BAD BCE.又 ABD CBE90，9 BAD BCE， ，即 ，BDBE ABCB BD9.6 1.71.2解得 BD13.6(米)答：河宽 BD 是 13.6 米12B 解析 已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边长是3 cm，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形上面的边的距离为 x cm，则 ，解得 x3，所以从这个正方形上面的边到纸片底边的距离为 18315(cm)因318 x18为 1535，所以这张正方形纸条是第 5 张1372 解析 如图，过点 B 作 BE PC.易得 A
17、PC PBE， .ACPE PAPB 3020又 PA PB130 cm， PA78 cm， PC 72(cm)782 30214解：(1)如图，过点 A 作 AM BD 于点 M，交 GE 于点 N.又 AC CD， GE CD，四边形 ACEN 为矩形， NE AC.又 AC200， EF a， FG y， GN GE NE a y200. DM AC200， BM BD DM300200100. GE BD， ANG AMB， ，即 ，ANAM GNBM x300 a y 200100 y x a200.13(2)当 x150， a205 时， y 15020520045.1340 y4550，该男生弹跳成绩处于良好水平【关键问答】10依据是相似三角形的对应边成比例，需要得到的数据有物高及其影长以及树的影长一般需要构造的图形如下：需要得到河岸一侧的三条线段的长
