1、1双曲线教学设计教学目标:1、掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。2、熟练地运用待定系数法求标准方程，学会求最值的方法和焦点三角形的解法。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质。难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线。【教学内容一】一、复习准备：1._叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.2.焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程是 .3.焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是 .4.在椭圆的标准方程中分母的大小反映了焦点所在的坐标轴,并且 a2、 b2、 c2之间的关系是 .二、讲授新课：1. 问题提出若把椭圆定义中的与两定点的“距离
2、之和”改成“距离之差”,这时轨迹又是什么?演示几个问题：(1)轨迹叫什么曲线？(2)其中|MF 1|与|MF 2|哪个大？(3)点 M 与 F1，F 2 的距离之差是|MF 1|-|MF2|还是|MF 2|-|MF1|？(4)如何统一两距离之差？2.正确理解双曲线定义双曲线的定义:平面内到两定点 F1，F 2的距离之差的绝对值是常数 2a(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫双曲线。两定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。（1）定义中“小于| F1F2|”这一限制条件十分重要，其根据是“三角形两边之差小于第三边”.若 2a=2c 时，此时动点轨迹是以 F1、 F2为端点的两条射线；若 2a2c
3、时，动点轨迹不存在.（2）距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支.若 F1、 F2表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足| PF2|-|PF1|=2a，则点 P 在左支上.若点 P满足| P F1|-|P F2|=2a，则点 P在右支上，双曲线上的点满足集合 P=M|MF1|-|MF2|=2a.（3）若 2a=2c,且| PF1|-|PF2|=2a(F1、 F2为双曲线左、右焦点)，则点 P 在右边的射线上，若| PF2|-|PF1|=2a,则点 P 在左边的射线上.23.双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种不同类型： 12byax, 12bxa(a0,b0),分别表示焦点在 x 轴和焦点
4、在 y 轴上的双曲线.（1）标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里 b2=c2-a2，与椭圆中 b2=a2-c2(ab0)相区别，且椭圆中 ab0，而双曲线中，a、b 大小则不确定.（2）焦点 F1、 F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走” ，若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2项的系数为正，那么焦点在 y轴上.（3）当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时 ，双曲线的方程才具有标准形式.4.求双曲线的标准方程如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称，那 么双曲线的方程是标准的，否则
5、是不标准的.求双曲线的标准方程是本节的重点，一般根据题意判定出焦点的位置（即在 x 轴还是 y 轴上） ，从而设出标准方程的形式，利用待定系数法确定 a、b 的值.如果双曲线的焦点位置不确定，可设标准方程为 mx2+ny2=1(mn0,b0)在不 等式组 0,aybx或 0,aybx所表示的区域内.双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线.2.对称性分别用（ x, y） 、 （ x,y）及（ x, y）代替方程中的（ x,y） ，方程都不改变，说明双曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称.因此双曲线是有心圆锥曲线，对称中心是原点，因此双曲线有两条对称轴，一个对称中心.3.顶点与实虚
6、轴双曲线只有两个顶点. 12byax的顶点是（a,0）,(a,0)；当 x=0 时， y2=b 2无实数解，即与 y 轴无交点.实轴长为 2a，虚轴长为 2b.在这里，要注意实轴是焦点所在的轴，实轴长不一定大于虚轴长.4.渐近线5（1）双曲线的渐近线是画双曲线草图时所必须的，渐近线是 x=a,y=b 围成矩形的对角线，它决定了双曲线的形状.（2）理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的， 也可以这样理解：当双曲线上的 动点 M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点 M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于 0.（3）焦点在 x 轴上的双曲线 1
7、2byax的渐近线方程是 y= xab;焦点在 y 轴上的双曲线 2的渐近线方程是 y= ,或由 02（将 1 换成 0）得到.（4）根据双曲线的标准方程求出它的渐 近线方程的方法，最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的 1 改成 0，就得到了此双曲线的渐近线方程.（5）根据双曲线的渐近线方程求出双曲线的方程的方法.与双曲线 2byax有共同渐近线的双曲线的方程可表示为 tbyax2(t0).若双曲线的渐近线方程是 y= xab,则双曲线的方程可表示为 t25.离心率e= ac,e1,它 决定双曲线的开口大小， e 越大，开口越大.（1）离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定
8、了双曲线的开口大小. ab=2ac= 12e, e 越大， k= ab越大.双曲线开口越大 .（2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率 e= 2.(3)求离心率是考查重点，常有以下方法求 a、c 再求 e= ；建立关于 a、c 的齐次方程；寻找 a 和 e 的关系，再求 e.三、典型例题：例 1：求双曲线2143xy的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程6例 2：求双曲线 29164yx的 实 半 轴 长 和 虚 半 轴 长 、 焦 点 的 坐 标 、 离 心 率 、 渐 近 线 方程 例 3：求与双曲线2169共渐近线,且经过 23,A点 的 双 曲 线 的 标 准 方 及 离 心率 例 4： 已知双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上，焦距为 16，离心率为 43，求双曲线的标准方程。四、当堂检测1、求双曲线 1342yx的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程.2、已知渐近线方程为 x4，焦点坐标为 ,026的双曲线方程.3、求与双曲线 1692yx有公共的渐近线，且经过点 )3,(A的双曲线的方程.【设计意图：通过三种层次的反馈例练，由浅入深，逐渐达到运用新知的目的，同时反馈学生学习理解的程度，进行学习监控和补救.】五、课堂小结 1.知识建构 2.能力提高 3.课堂体验六、课时练与测七、教学反思
