1、1宁夏石嘴山市第三中学 2018 届高三数学下学期第四次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知得 ，故 ，故选 A【名师点睛】本题考查一元二次不等式解法和集合运算，要求运算准确，属于基础题.2. 已知实数 a， b 满足( ai)(1i)3 bi，则复数 a bi 的模为( )A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】由 ，得 ，则 ，解得 ，则；故选 C.3. 已知等差数列 的公差为 2，若 成等比数列，则
2、 等于( )A. -4 B. -6 C. -8 D. -10【答案】B【解析】试题分析：由于 是等差数列,且 成等比数列,所以 ,解得.考点：等差数列、等比数列的基本性质.4. 已知实数 满足条件 ，则 的最大值是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再由 的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率即可求出其最大值【详解】由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（1，3） ，z= ，如图所示，经过原点（0，0）与 A 的直线斜率最大为 3， 的最大值是 3故选：C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求
3、目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）3A. B. C. 4 D. 5【答案】D【解析】由题意，执行程序，由 正确，则 ， ；由 正确，则 ， ；由 正确，则 ， ；由 正确，则 ， ；由此可以发现的值为 ，其值规律为以 3 为周期，由 ，所以，当 错误，则输出的值为 5，故选 D.6. 已知具有线性相关的变量 ，设其样本点为 ，回归直线方程为，
4、若 ， （ 为原点） ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以 ，因此 ，选 B.7. 过抛物线 y28 x 的焦点 F 作倾斜角为 135的直线交抛物线于 A， B 两点，则弦 AB 的长为( )A. 4 B. 8 C. 12 D. 16【答案】D【解析】试题分析：抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0),过焦点的直线方程为 联立 ，求出 根据弦长公式 ，可求得弦 AB=16.考点：弦长公式.48. 若 ,则 等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 ，可得 ，.故选 D.9. 若二项式 的展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为 ，则
5、的最小值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】令 x=1，可得 a=2n，令 x=1，可得 b=4n，然后利用函数的单调性求得 + 的最小值【详解】令 x=1，可得 a=2n，令 x=1，可得 b=4n =（ ） n， =2n， + =（ ） n+2n +2= ，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用
6、.10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ )5A. B. C. D. 【答案】C【解析】几何体为三棱锥，如图，底面为顶角为 120 度的等腰三角形 BCD，侧棱 AC 垂直底面，,设三角形 BCD 外接圆圆心为 O，则 ,因此外接球的半径为 ,即外接球的表面积为 ，选 C.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11. 各项均为正数的
7、等比数列 满足 , ,若函数的导函数为 ,则 ( )A. B. C. D. 6【答案】D【解析】【分析】设各项均为正数的等比数列a n的公比为 q0，根据 , ，相除利用通项公式可得 =q=2，进而解得 a1=1a n=2n1 由函数 f（x）=a 1x+a2x2+a3x3+a10x10，可得：导函数为 f（x）=a 1+2a2x+3a3x2+10a10x9，根据 =1即可得出【详解】设各项均为正数的等比数列a n的公比为 q0，a 2a6=64，a 3a4=32， =q=2， = 26=64，a 10，解得 a1=1a n=2n1 函数 f（x）=a 1x+a2x2+a3x3+a10x10，
8、导函数为 f（x）=a 1+2a2x+3a3x2+10a10x9， =1则 f（ ）=1+2+10= =55故选：D【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12. 设 ，分别为双曲线 的左、右焦点，过 作一条渐近线的垂线，垂足为 M，延长 与双曲线的右支相交于点 N，若 ，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】7渐近线方程 与直线 ，联立可得 的坐标为 ，由 ，可得的坐标为 ，将 点坐标代入双曲线方程，可得 ，化为， ，即双曲线的离心率为 ,故选 B.二、填空题（本大题共 4 小题,每题 5 分.
9、）13. 2018 年 4 月初，甲、乙、丙三位全国文化名人特来我市参加“石嘴山发展大会”.会后有旅游公司询问甲、乙、丙三位是否去过沙湖，星海湖，武当庙三个地方时.甲说：我去过的地方比乙多，但没去过星海湖；乙说：我没去过武当庙；丙说：我们三人去过同一个地方.由此可判断乙去过的地方为_【答案】沙湖【解析】由乙说：我没去过五丈原，则乙可能去过周公庙，法门寺但甲说：我去过的地方比乙多，但没去过法门寺，则乙只可能去过周公庙，法门寺中的人一个再由丙说：我们三人去过同一个地方由此可判断乙去过的地方为周公庙14. 已知 , ,则与 的夹角为_。【答案】 【解析】【分析】由已知中| |=| |=2， （ +2
10、 ）（ ）=2，可求出 cos= ，进而根据向量夹角的范围为 0，得到答案【详解】| |=| |=2，| |2=| |2=48（ +2 ）（ ）=2展开得：| |2+ 2| |2=4cos4=2，即 cos=又0故 =故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角、数量积、模等知识。求向量的夹角的方法： 。求向量的模：15. 对于实数 a， b，定义运算“*”： a*b ,设 f (x)( x4)* ，若关于 x 的方程| f (x) m|1( mR)恰有四个互不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是_【答案】(1,1)(2,4)【解析】【分析】根据新定义得出 f（x）的解析式，作出 f（x）的函数图象
11、，则 f（x）与 y=m1 共有 4 个交点，根据图象列出不等式组解出【详解】解不等式 x4 4 得 x0，f（x）= ，画出函数 f（x）的大致图象如图所示9因为关于 x 的方程|f（x）m|=1（mR） ，即 f（x）=m1（mR）恰有四个互不相等的实数根，所以两直线 y=m1（mR）与曲线 y=f（x）共有四个不同的交点， 或 或 ，解得 2m4 或1m1故答案为（1，1）（2，4） 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结
12、合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解16. 下列命题中（1） 已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点，则 7.（2）若 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件.（3）函数 的最小值为 2.（4） 曲线 y x21 与 x 轴所围成图形的面积等于 .（5）函数 的零点所在的区间大致是 .其中真命题的序号是_10【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由三角函数定义求得 tan 即可求得 tan（2+ ）的值；（2）判断充分性和必要性是否成立即可；（3）根据对勾函数的性质求出函数 y 的最小值即可；（4）由二次函数图
13、象的对称性以及定积分的几何意义求得对应图形的面积；（5）由函数的性质与根的存在性定理求得函数零点所在的大致区间【详解】对于（1） ，由已知，tan= ，tan2= = = ，tan（2+ ）= = =7，（1）正确；对于（2） ，由 aR，则“ 1”时，有 a0 或 a1，充分性不成立；“a1”时，有 1，必要性成立，是必要不充分条件， （2）正确；对于（3） ，设 t= ，则 t3，且 f（t）=t+ 在3，+）上单调递增，f（t）的最小值是 f（3）= ，函数 y= + （xR）的最小值为 ，（3）错误；对于（4） ，由二次函数图象的对称性知，曲线 y=x21 与 x 轴所围成图形的面积为
14、S=2（ （x 21）dx）=2（x x3） = ，（4）错误；对于（5） ，函数 y=f（x）=lgx 在（0，+）上单调递增，且 f（8）f（9）0f（10） ，f（x）的零点所在的区间大致是（9，10） ，（5）错误综上，真命题的序号是（1） 、 （2） 11故答案为：（1） （2） 【点睛】分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若
15、，则 是 的充要条件三、解答题:(本大题共 6 小题 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知函数 .（）求 的单调递增区间；（）设 的内角 的对边分别为 ，且 ，若 ，求的面积【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调增区间即可确定 的单调递增区间；（2）根据 ，求出 ，利用正弦定理及余弦定理，结合题设条件即可求出， ，从而可求出 的面积试题解析：(1) 由，得函数 的单调递增区间为 .(2)由 ，得 . ， . 又 ,由正弦定理得 ; 由余弦定理得 ，即12
16、， 由解得 . . 18. 某市为了解本市 万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布 ，现从某校随机抽取了 名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.（）估算该校 名学生成绩的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）求这 名学生成绩在 内的人数；（）现从该校 名考生成绩在 的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前 名的人数记为 ，求 的分布列和数学期望.参考数据：若 ，则 ，【答案】 （1）68.2（2）10（3）见解析【解析】试题分析：（1）直方图中每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到
17、该校 名学生成绩的平均值；（2）求出直方图中最后两个矩形的面积之和与总人数相乘即可求出这 名学生成绩在 内的人数；（3） 的所有可能取值为 分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果.试题解析：（1） （2） . （3） ，则 .13.所以该市前 名的学生听写考试成绩在 分以上.上述 名考生成绩中 分以上的有 人.随机变量 .于是，.的分布列：数学期望 . 19. 如图，在四棱锥 中， ，底面 是梯形，为棱 上一点.()若点 是 的中点，证明： ；() 试确定的值使得二面角 为 60.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（）取 的中点 ，连接 ，由三角形中位线定理结
18、合可得题设条件可得四边形 是平行四边形， ，由线面平行的判定定理可得结论；（）14两两垂直，以 为原点 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，可证明 平面 ， 是平面 的法向量，利用向量垂直数量积为零，用表示出平面 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.试题解析：()取 PD 的中点 M，连接 AM，M ，M CD， 又 ABCD， AB，QMAB，则四边形 ABQM 是平行四边形. AM. 又 平面 PAD，BQ 平面 PAD， 平面 PAD.（）解：由题意可得 DA，DC，DP 两两垂直，以 D 为原点，DA，DC，DP 所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，1，1
19、)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0). 令又易证 BC平面 PBD，设平面 QBD 的法向量为令 15，解得 Q 在棱 PC 上，20. 已知椭圆 C： (ab0)的一个焦点与抛物线 y24 x 的焦点相同，且椭圆 C上一点与椭圆 C 的左，右焦点 F1， F2构成的三角形的周长为 2 2.()求椭圆 C 的方程；()若直线 l： y kx m(k， mR)与椭圆 C 交于 A， B 两点， O 为坐标原点， AOB 的重心G 满足： ，求实数 m 的取值范围【答案】 （1） （2） m(，1)(1，)【解析】试题分析：(1)利用与抛物线有公共焦点、椭圆的定义及几何要素间的
20、等量关系进行求解；(2)联立直线和椭圆的方程，得到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系、三角形的重心性质和平面向量的数量积运算进行求解.试题解析：(1)依题意得即所以椭圆 C 的方程为 y21.(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立得方程组消去 y 并整理得(12 k2)x24 kmx2 m220，16则设 AOB 的重心为 G(x， y)，由 ，可得 x2 y2 .由重心公式可得 G( ， )，代入式，整理可得( x1 x2)2( y1 y2)24( x1 x2)2 k(x1 x2)2 m24，将式代入式并整理，得 m2 ，代入(*)得 k0，则 m2 1 1 . k0
21、， t 0， t24 t0， m21， m(，1)(1，)21. 已知函数 ， （）当 时，求函数 的单调区间；（）若曲线 在点 处的切线与曲线 切于点 ，求 的值；（）若 恒成立，求 的最大值【答案】 （）在 上单调递增. 在 上单调递减（）（）【解析】【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）求出函数的导数，根据切线方程求出 a，b，c 的值即可；（）设 h（x）=f（x）g（x） ，求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，问题转化为b（a+1）（a+1）ln（a+1） ，得到 a+b2（a+1）（a+1）ln（a+1）1，17令 G（x）=2xxlnx1
22、，x0，根据函数的单调性求出 a+b 的最大值即可【详解】解：（） ，则 .令 得 ，所以 在 上单调递增.令 得 ，所以 在 上单调递减.（）因为 ，所以 ，所以的方程为 .依题意， ， .于是与抛物线 切于点 ，由 得 .所以 - （）设,则 恒成立.易得（1）当 时，因为 ，所以此时 在 上单调递增.若 ，则当 时满足条件，此时 ；若 ，取 且此时 ，所以 不恒成立不满足条件；（2）当 时，令 ，得 由 ，得 ；由 ，得所以 在 上单调递减，在 上单调递增.要使得“ 恒成立” ，必须有“当 时， ”成立.所以 .则18令 则令 ，得 由 ，得 ；由 ，得 所以 在 上单调递增，在 上单调
23、递减,所以，当 时， 从而，当 时， 的最大值为 .-【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina 即可；f(x)a 恒成立，只需 f(x)maxa 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.22. 选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （为参数， ） ，将曲线经过伸缩变换： 得到曲线 .（）以原点为极点， 轴的
24、正半轴为极轴建立坐标系，求 的极坐标方程；（）若直线 （为参数）与 相交于 两点，且 ，求 的值.【答案】 （1） （2） 或 .【解析】试题分析： 求得曲线 的普通方程，然后通过变换得到曲线 方程，在转化为极坐标方程 在极坐标方程的基础上结合 求出结果解析：（1） 的普通方程为 ，把 ， 代入上述方程得， ， 的方程为 .19令 ， ，所以 的极坐标方程为 .（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 ，由 得 ，由 得 .而 ， .而 ， 或 .23. 选修 45：不等式选讲已知函数 .（）若 的最小值不小于 3，求的最大值；（）若 的最小值为 3，求的值.【答案】 （1） （2） 或-4.【解析】【试题分析】(1)由 ,求得的取值范围和最大值.(2)对分成 和三类,去绝对值,将 变为分段函数,利用最小值为 求得的值.【试题解析】（1）因为 ，所以 ，解得 ，即 ；（2） ，当 时， ，所以 不符合题意，当 时， ，即 ，所以 ，解得 ，当 时，同法可知 ，解得 ，综上， 或-4.20
