1、1高级中学 20172018 学年（二）期末考试高二数学（理）试卷一、单选题每小题 5 分，共 60 分）1.1.复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】原式= ，选 A.视频2.2.曲线 y=ex在 A 处的切线与直线 xy+1=0 平行，则点 A 的坐标为（ ）A. （1，e 1 ） B. （0，1） C. （1，e） D. （0，2）【答案】B【解析】【分析】由题意结合导函数研究函数的性质即可确定点 A 的坐标.【详解】设点 A 的坐标为 ， ，则函数在 处切线的斜率为： ，切线与直线 x y+1=0 平行，则 ，解得： ，切点坐标为 ，即 .本题选择 B 选项.【点睛】本
2、题主要考查导函数研究函数的切线，直线平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.3.某项测量结果 ，若 在 内取值概率 0.3 则 在(0,+)内取值概率为（ ）A. 0.2 B. 0.4 C. 0.8 D. 0.9【答案】C【解析】2【分析】由题意结合正态分布的对称性求解 在(0,+)内取值概率即可.【详解】由正态分布的性质可知正态分布的图象关于直线 对称，则 , ,，即 在(0,+)内取值概率为 0.8.本题选择 C 选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记 P( f (x),f(0)=1,则不等式 lnf(x)+2ln3+x 的解集为（ ）A. (
3、一,0) B. (0,+) C. (一,1) D. (1,+)【答案】A【解析】分析：先令 ，则 且原不等式转化为，再根据单调性得结果.详解：令 ，则因为原不等式转化为 ，所以因此选 A.点睛：解函数不等式,首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“” ，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内.二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.13.已知随机变量 X 服从二项分布 B（n，p） ，若 E（X）=30，D（X）=20，则P=_【答案】【解析】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可解：随机变量 X 服从二项分布
4、 B（n，p） ，若 E（X）=30，D（X）=20，可得 np=30，npq=20，q= ，则 p= ，故答案为： 点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力视频14.14.在全运会期间，4 名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个7项目至少有一人参加的安排方法有_【答案】36【解析】【分析】由题意结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.【详解】每个项目至少有一人参加，则需要有一个项目 2 人参加，其余的两个项目每个项目一人参加，结合排列组合公式可知，满足题意的安排方法共有： 种.【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的
5、性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法15.15. 的展开式中，若 的奇数次幂的项的系数之和为 32，则 _【答案】【解析】试题分析：由已知得 ，故 的展开式中 x 的奇数次幂项分别为 ， ， ， ， ，其系数之和为 ，解得 考点：二项式定理视频16.16.牛顿通过研究发现，形如 形式的可以展开成关于 的多项式,即的形式其中各项的系数可以采用“逐次
6、求导赋值法”计算.例如:在原式中令 可以求得 ，第一次求导数之后再取 ，可求得 ，再次求导之后取 可求得 ,依次下去可以求得任意-项的系数，设 ,则当 时，e= _ (用分数表示)8【答案】【解析】【分析】由题意利用逐次求导的方法计算的值即可.【详解】当 时， ，令 可得： ，第一次求导可得： ，令 可得： ，第二次求导可得： ，令 可得： ，第三次求导可得： ，令 可得： ，第四次求导可得： ，令 可得： ，第五次求导可得： ，令 可得： ，中，令 可得： ，则 .故答案为： 【点睛】 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需
7、要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题” ，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题（共 6 小题，共 70 分）17.17.2016 年 10 月 16 日，习主席在印度果阿出席金砖国家领导人第八次会议时，发表了题为坚定信心，共谋发展的重要讲话，引起世界各国的关注，为了了解关注程度，某机构选取“70 后”和“80 后”两个年龄段作为调查对象，进行了问卷调查，共调查了 120名“80 后” ，80 名“70 后” ，其中调查的“80 后”有 40 名不关注，其余的全部关注；调查的“70”
8、后有 10 人不关注，其余的全部关注.（1）根据以上数据完成下列 22 列联表：9关注 不关注 合计“80 后”“70 后”合计（2）根据 22 列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“关注与年龄段有关”？请说明理由。参考公式：K 2= （n=a+b+c+d）附表：P（K 2k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据题设中的数据，即可填写 的
9、列联表；（2）利用独立性检验的公式，计算 的值，即可作出预测试题解析：（1)2X2 列联表：10（2）根据列联表计算 K2= 11.1110.828对照观测值得:能在犯错误的概率不超过 0. 001 的前提下认为“关注”与“不关注”与年龄段有关.18.18.为了探究车流量与 的浓度是否相关，现采集到华中某城市 2015 年 12 月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与 的数据如表：时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日车流量 （万辆） 1 2 3 4 5 6 7的浓度 （微克/立方米）28 30 35 41 49 56 62（1）求 关于 的线性回归方程；（提示数据： ）（2） （
10、I）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为 12 万辆时 的浓度；（II）规定：当一天内 的浓度平均值在 内，空气质量等级为优；当一天内 的浓度平均值在 内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是 ，其中 ， .【答案】(1) ;(2)() 91 微克/立方米;() 13 万辆.【解析】【分析】(1)由数据可得： ， ， 结合回归方程计算系数可得 关于 的线性回归方程为.(2)(I)结合(1)中的回归方程可预测车流量为 12 万辆时， 的浓度为 91 微克/立方11米. ( II)由题意
11、得到关于 x 的不等式，求解不等式可得要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在 13 万辆以内.【详解】(1)由数据可得： ， ， ，故 关于 的线性回归方程为 .(2)(I)当车流量为 12 万辆时，即 时， .故车流量为 12 万辆时， 的浓度为 91 微克/立方米.(II)根据题意信息得： ，即 ， 故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在 13 万辆以内.【点睛】一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实
12、发生的值19.19.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；【答案】 （1）3 人，2 人，2 人（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意结合分层抽样的概念计算可得应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人（2）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1
13、，2，3结合古典概型计算相应的概率值可得随12机变量的分布列，然后求解数学期望可得 .【详解】 （1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人（2）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3P（ X=k）= （ k=0，1，2，3） 所以，随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P随机变量 X 的数学期望 【点睛】本题主要考查分层抽样的概念，离散型随机变量分布列的求解与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.20.根据环保部门对某河流的每年污水排放量 x（
14、单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.（1）求在未来 3 年里，至多 1 年污水排放量 的概率；（2）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当 时，没有影响；当 时，经济损失为 10万元；当 时，经济损失为 60 万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治 350 吨的污水排放，每年需要防治费 3.8 万元；方案二：防治 310 吨的污水排放，每年需要防治费 2 万元；方案三：不采取措施. 试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.13【答案】 （1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）设在未来 3
15、 年里，河流的污水排放量 的年数为 ，由题意可知 ，据此计算可得满足题意的概率值为 .（2）由题意结合各个方案的数学期望，比较计算可得三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.【详解】 （1）由题得 ，设在未来 3 年里，河流的污水排放量 的年数为 ，则 .设事件“在未来 3 年里，至多有一年污水排放量 ”为事件 ，则.在未来 3 年里，至多 1 年污水排放量的概率为 .（2） 方案二好，理由如下：由题得 ， .用 分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则 万元.的分布列为：.的分布列为：.三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.14【点睛】本题主要考查离散型随机变量
16、分布列的计算与应用，数学期望的理解与应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.21.已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）若 恒成立，试确定实数 的取值范围.【答案】 （1）函数 的递增区间为 ，函数 的递减区间为 ；（2）【解析】试题分析：（1）由已知得 x1， ，对分类讨论，由此利用导数性质能求出函数 f（x）的单调区间（2）由 得 ，即求 的最大值试题解析：解：（1）函数 的定义域为 ， ，当 时， ，函数 的递增区间为 ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，所以函数 的递增区间为 ，函数 的递减区间为 .（2）由 得 ，令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以 的最大值为
17、 ，故 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立，转化为 ;15（3）若 恒成立，可转化为 .请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分做答时请涂黑题号。22.22.在极标坐系中，已知圆 的圆心 ，半径（1）求圆 的极坐标方程；（2）若 ，直线的参数方程为 （ t 为参数） ，直线交圆 于 两点，求弦长 的取值范围.【答案】 （1） 22（cos+sin）1=0（2）2 ，2 ）【解析】【分析】（1）极坐标化为直角坐标可得 C（1
18、，1） ，则圆 C 的直角坐标方程为（ x1） 2+（ y1）2=3化为极坐标方程是 22 （ cos +sin ）1=0 .（2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得 t2+2t（ cos +sin ）1=0结合题意和直线参数的几何意义讨论可得弦长| AB|的取值范围是2 ，2 ）.【详解】 （1） C（ ， ）的直角坐标为（1，1） ，圆 C 的直角坐标方程为（ x1） 2+（ y1） 2=3化为极坐标方程是 22 （ cos +sin ）1=0 .（2）将 代入圆 C 的直角坐标方程（ x1） 2+（ y1） 2=3，得（1+ tcos ） 2+（1+ tsin ） 2=3，即 t2
19、+2t（ cos +sin ）1=0 t1+t2=2（ cos +sin ） ， t1t2=1| AB|=|t1 t2|= =2 0， ） ，2 0， ） ，2 | AB|2 即弦长| AB|的取值范围是2 ，2 ）.【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.23.设函数 。16（1）解不等式 ；（2）若 ，使得 ，求实数 的取值范围。【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据分段函数图像确定 最小值，再解一元二次不等式得实数 的取值范围.试题解析：（1）当 x -2 时， ， ，即，解得 ，又 ， ；当 时， ，即 ，解得 ，又 ， ；当 时， ，即 ，解得 ，又 ， . 综上，不等式 的解集为 . （2） . ，使得 ， ，整理得： ，解得： ，因此 m 的取值范围是 .点睛：含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
