1、- 1 -舒城中学 2018 届高三仿真试题（三）文科数学试题第卷（选择题 共 60 分）一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)1.设集合 则集合 等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ， 故选 A考点：集合的运算2.设复数 z 满足 ，其中 i 为虚数单位，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：将式子变形为 z 等于一个表达式的形式，在对表达式进行化简，分母乘以自身的共轭复数即可化为实数.详解： 故选 D点睛：复数 的模长为 ，以及涉及到复数的除法运算，一般是使得分母乘上分母的共
2、轭复数可以将分母化为实数.3.若 满足 ，则 的最小值为( )A. 8 B. 7 C. 2 D. 1【答案】B【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图 内部（含边界） ，作直线 ，把直线 向上平移， 增加，当 过点 时， 为最大值故选 B- 2 -考点：简单的线性规划问题4.已知等比数列 的前 项和为 ， ，且满足 成等差数列，则 等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由 成等差数列可得， ，即 ，也就是 ，所以等比数列 的公比 ，从而 ，故选 C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前 项和.5.若 则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【
3、解析】 ， 选 B6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )- 3 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥 ，故其体积为 选 B7.执行如右图所示的程序框图，输出的 的值是( )A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】B【解析】试题分析：由框图可知， ，当 时，- 4 -， ；当 时， ，输出 ，选 B.考点：程序框图8.甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率( )A. B. C. D. 【答
4、案】D【解析】【分析】设出甲，乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件，同时列出这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的约束条件，利用线性规划作出平面区域，再利用几何概型概率公式求出概率【详解】设甲船到达的时间为 ，乙船到达的时间为 ，则所有基本事件构成的区域 满足这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域 满足，作出对应的平面区域如图所示这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为故选【点睛】本题主要考查了建模，解模能力，解答的关键是利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率。- 5 -9.函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到 的图象，
5、则只要将 的图象( )A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度【答案】A【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 ，由周期求出 ，再由五点作图法求出 的值，从而求出函数的解析式，利用诱导公式可得 ，再根据函数 的图象变换规律，可得结论【详解】由函数的图象可得 ，则 ，可得再由五点作图法可得 ，可得故函数的解析式为由故将函数 的图象向左平移 个单位长度可得到 的图象故选【点睛】本题主要考查了函数 的图象变换，要根据图形中的条件求出函数的解析式，然后结合诱导公式求出结果，属于基础题。10.已知定义在 R 上的函数 满足 且在 上
6、是增函数，不等式对任意 恒成立，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. - 6 -【答案】B【解析】【分析】根据函数的对称性判断函数的单调性，采取排除法，由四个选项的特征代入特值求解【详解】 ，则函数 关于 对称函数 在 上是增函数函数 在 是减函数，即 在 上是减函数当 时，不等式 变为 ，根据函数 的图象特征可得出： ，解得 或 ，满足不等式 对任意 恒成立，由此排除 两个选项当 时，不等式 变为 ，根据函数 的图象特征可得出： ，解得 ，不满足不等式 对任意 恒成立，由此排除综上所述， 选项是正确的故选【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题直接求解较为复杂
7、，采取排除法来求解，由四个选项中的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案。11.平行四边形 内接于椭圆 ，直线 的斜率 ，则直线 的斜率 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线 的方程为 ， ， ，利用椭圆与平行四边形的对称性可得：，联立直线与椭圆方程根据韦达定理求得 ，即可求得结果- 7 -【详解】设直线 的方程为 ， ， ，利用椭圆与平行四边形的对称性可得：联立 ，可化为 ， ，解得 （ 时不能构成平行四边形），则直线 的斜率故选【点睛】本题考查了平行四边形与椭圆的关系，设直线方程和点坐标，结合椭圆的对称性，联立直线方程与椭圆方程来求解，理解并掌握解题方法。1
8、2.函数 ，关于方程 有三个不同实数解，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先确定 ，作出 大致图象，设 ，则 有三个不同实数解，即为 有两个根，且一个在 上，一个在 上，由此得到结论【详解】当 时， ，即则 大致图象如图所示- 8 -设 ，则 有三个不同实数解，即为 有两个根，且一个在 上，一个在 上，当 时， ，解得 ，此时方程为 ，解得 或当 时， 有一个根当 时， ，此时也只有一个根，此时方程共有两个根，不满足条件设 ，当有一个根为 时， ，解得 ，此时另一个根为 ，满足条件根不是 时，则满足即综上所述，故实数 的取值范围为故选【点睛】本题考查了根
9、的存在性与根的个数问题，在解答此类题目时要先作出 大致图象，然后换元法转化为方程根的情况进行分类讨论，这是解题的关键，要求学生具有转化的能力，还有就是要求分类讨论正确，计算能力过关。第卷（非选择题，共 90 分）- 9 -二填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知 ， ， ，则向量 与向量 的夹角为 _.【答案】【解析】分析：由条件利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量 与向量 的夹角的余弦值，可得向量 与向量 的夹角的值详解：由题意可得| |=1，| |=2， （ ） =0，即 = ，12cos=1 （ 为向量 与向量 的夹角） ，求得 cos=
10、 ，= ，故答案为： 点睛：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题14.已知等差数列 中，已知 ，则 =_.【答案】54【解析】试题分析：等差数列 ， .考点：等差数列前 项和.15.已知双曲线 ，其左右焦点分别为 ， ，若 是该双曲线右支上一点，满足 ，则离心率 的取值范围是_【答案】【解析】设 点的横坐标为 ， 在双曲线右支上（ ）根据双曲线的第二定义，可得 故答案为 .- 10 -16.如图， 是球 的直径 上一点，平面 截球 所得截面的面积为 ，平面 ， ，且点 到平面 的距离为 1，则球 的表面积为 _【答案】【解析】设球的半径为 且点 到平面 的距离为
11、1，球心 到平面 的距离 为 1， 截球 所得截面的面积为 ，截面圆的半径 为 3，故由 R 球的表面积点睛：本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为 ，球心距为 ，球半径为 ，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理三解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.在锐角 中， ， ， 为内角 ， ， 的对边，且满足 （ ）求角 的大小（ ）已知 ，边 边上的高 ，求 的面积 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（ ）由 ，利用正弦定理和三角函数的恒等变换，可得 ，即可得到角 的值；（ ）由三角形的面积公式，代入 ，解得 的值，及 的值，再根据余弦
12、定理，求得的值，由三角形的面积公式，即可求解三角形的面积.试题解析：（ ） ，- 11 -由正弦定理得 ， ， 且 ， ， ， （ ） ，代入 ， ， ，得 ，由余弦定理得： ，代入 ，得 ，解得 ，或 ，又锐角三角形， ， ，18.如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ，且 底面 .（1）证明： 平面 ；（2）若 为 的中点，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析;（2） .【解析】试题分析：（1）先证明 ，再说明 ，根据 底面 ，可得 ，即可证出；（2）因为三棱锥 的体积 与三棱锥 的体积相等，可转化为求- 12 -三棱锥 的体积，再换顶点为 Q，并利用 Q 是中点转化为 求解即
13、可.试题解析：（1）证明： ， ， ， .又 底面 ， . ， 平面 .（2）三棱锥 的体积 与三棱锥 的体积相等，而 .所以三棱锥 的体积 .点睛：涉及几何体，特别是棱锥的体积计算问题，一般要进行转化，变换顶点后，有时还需要利用等底等高转换，还可以利用直线上的点为中点或三等分点再进行顶点变换，从而求出几何体的体积.19.某地级市共有 200000 中小学生，其中有 7%学生在 2017 年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为 5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金” ，对这三个等次
14、的困难学生每年每人分别补助 1000 元、1500 元、2000 元。经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加 ，一般困难的学生中有 会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有 转为一般困难，特别困难的学生中有 转为很困难。现统计了该地级市 2013 年到 2017 年共 5 年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份 取 13 时代表 2013 年， 与 （万元）近似满足关系式 ，其中 为常数。 （2013 年至 2019 年该市中学生人数大致保持不变）- 13 -其中 ， （）估计该市 2018 年人均可支配年收入；（
15、）求该市 2018 年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为【答案】 （）2.8（万）;（）1624 万.【解析】【分析】根据表中数据求出回归方程的系数，从而得到回归直线方程，代入 ，即可解出结果由题意知 年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共 人，一般困难、很困难、特别困难的中学生依次为 人， 人， 人，按照增长比例关系求解年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生，即可求出财政预算。【详解】 （）因为 ，所以. 由 得 ，- 14 -所以 ， ，所以 ，所以 .当 时，2018 年人均可支配年收入 （万）
16、（）由题意知 2017 年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共 2000007%=14000 人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有 7000 人、4200 人、2800 人， 2018 年人均可支配收入比 2017 年增长所以 2018 年该市特别困难的中学生有 2800(1-10%)=2520 人，很困难的学生有 4200(1-20%)+280010%=3640 人一般困难的学生有 7000(1-30%)+420020%=5740 人.所以 2018 年的“专项教育基金”的财政预算大约为57401000+36401500+25202000=1624 万.【点睛】本题考查了线性回归方程
17、，题目内容较多，需要提取出关键数据，然后按照公式进行求解，整体难度不大，较为基础。20.已知定点 ，定直线 ： ，动圆 过点 ，且与直线 相切.（）求动圆 的圆心轨迹 的方程；（）过点 的直线与曲线 相交于 ， 两点，分别过点 ， 作曲线 的切线 ， ，两条切线相交于点 ，求 外接圆面积的最小值 .【答案】 （） ；（）当 时线段 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 .【解析】【分析】设 ，由 化简即可得结论；由题意 的外接圆直径是线段 ，设 ： ，与 联立可得 ，- 15 -从而得到 ，当 时线段 最短，最短长度为 ，此时圆的面积最小，最小面积为【详解】 （）设点 到直线 的
18、距离为 ，依题意 .设 ，则有 .化简得 .所以点 的轨迹 的方程为 .（）设 ： ，代入 中，得 .设 ， ，则 ， .所以 .因为 ： ，即 ，所以 .所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .因为 ，所以 ，即 为直角三角形.所以 的外接圆的圆心为线段 的中点，线段 是直径.因为 ，所以当 时线段 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 .【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，求轨迹方程的常见方法很多，本题采用了直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可。21.已知函数 .(I) 当 时，求函数 的单调区间;- 16 -(II)
19、当 时， 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（）对函数 求导，令 ，由 ，可得 有两个不同解，结合函数 的定义域，即可求得函数 的单调区间；（）当 时，恒成立等价于当 时， 恒成立，令，求导得 ，设 ，利用导数研究函数的单调性，从而可确定 ，然后对 分类讨论，即可求得 的取值范围.试题解析：（） ，函数定义域为：令 ，由 可知，从而 有两个不同解.令 ，则当 时， ；当 时， ，所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（）由题意得，当 时， 恒成立.令 ，求导得 ，设 ，则 ，- 17 - ， 在 上单调递增，即 在 上单调递增，当 时， ，
20、此时， 在 上单调递增，而 . 恒成立，满足题意.当 时， ，而根据零点存在性定理可知，存在 ，使得 .当 时， 单调递减；当 时， ， 单调递增.有 ， 恒成立矛盾实数 的取值范围为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立，转化为 ;（3）若 恒成立，可构造新函数 ，转化为 .22.在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数， ） ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为 .（）求 的直角坐标方程，并指出其图形的形状；（）
21、与 相交于不同两点 ，线段 中点为 ，点 ，若 ，求 参数方程中 的值.【答案】 （）见解析；（） 或 .【解析】- 18 -【分析】由 可将 的极坐标方程化为直角坐标方程，由方程可知为圆将 代入 整理得 ，因为 ，所以 ，利用韦达定理求解即可【详解】 （）由 得 ，所以将 代入得 ，即 ，所以 的直角坐标方程为，表示以 为圆心、 为半径的圆.（）将 代入 整理得设 对应的参数分别为 ，则 是方程 的两根，所以 ，因为 ，所以 ，所以所以 ，所以 ，所以 或 .【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程及长度的运算，只要按照公式代入即可求出结果，较为基础。23.设函数 .（1）当 时，求 的最小值；（2）若关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】利用绝对值基本不等式得结果；有解等价于 有解，只要求出 时 的最小值和 的最大值即可【详解】 （1）当 时，- 19 -，当且仅当 时，取等号.（2） 时，因为 时 的最小值为 ， 的最大值为 ，所以 ，又因为 ，所以 .【点睛】本题主要考查了含有绝对值不等式求最值和绝对值不等式的解法，属于基础题，注意解答绝对值不等式的方法。
