1、- 1 -2018 年秋季学期高二期中考试（数学理科）试题（时间 120 分钟 总分 150 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1若 ， a ， b ，则 a 与 b 的位置关系是( )A平行或异面 B相交C异面 D平行2若 k0)在圆 C 上，求 QAB 的面积20.(本小题满分 12 分)已知圆 C： x2 y28 y120，直线 l 经过点 D(2,0)，且斜率为 k.（1）求以线段 CD 为直径的圆 E 的方程；（2）若直线 l 与圆 C 相离，求 k 的取值范围21.(本小题满分 12 分)已知一
2、个几何体的三视图如图所示- 4 -（1）求此几何体的表面积；（2）如果点 P， Q 在正视图中所处的位置为： P 为三角形的顶点， Q 为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点 P 到点 Q 的最短路径的长22(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD中，侧面 A底面 BCD，侧棱 2PA，底面ABCD为直角梯形，其中 ， ， 2， O为 D中点（1）求证： PO平面 ABCD；（2）求异面直线 PB与 CD所成角的余弦值；（3）求点 A到平面 的距离- 5 -2018 年秋季学期高二期中考试（数学）答案(理科)一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在下列各题
3、的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1 A 2 A 3 B 4 D 5 A 6 C7 B 8 D 9 B 10 C 11 D 12 C二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 请把答案填在题中横线上）13 a8 14 215 16 ：4 x3 y250 或 x446三、解答题(共 6 小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步）17 解：(1) l l， l的斜率为 ，34直线 l的方程为： y3 (x1)，即 3x4 y90. （5 分）34（2） l的斜率为 ，直线 l的方程为： y3 (x1)，即 4x3 y50. （10 分）18 解 (1
4、)倾斜角为 45，则斜率为 1. 1，解得 m1， m1(舍去)2m2 m 3m2 m直线方程为 2x2 y50 符合题意， m1 （6 分）(2)当 y0 时， x 1，4m 12m2 m 3解得 m ，或 m212当 m ， m2 时都符合题意，12 m 或 2. （12 分）1219 解：(1)依题意所求圆的圆心 C 为 AB 的垂直平分线和直线 x3 y150 的交点， AB 中点为(1,2)，斜率为 1， AB 垂直平分线方程为 y2( x1)，- 6 -即 y x3.联立Error!解得Error!即圆心 C(3,6)，半径 r 2 ，4 36 10所求圆 C 的方程为( x3)
5、2( y6) 240. （6 分）(2)点 Q(1， m)(m0)在圆 C 上， m12 或 m0(舍去)，|AQ|12，点 B 到直线 AQ 的距离为 4.所以 QAB 的面积为 24 （12 分）20 解：(1)将圆 C 的方程 x2 y28 y120 配方得标准方程为 x2( y4) 24，则此圆的圆心为 C(0,4)，半径为 2.所以 CD 的中点 E(1,2)，| CD| 2 ，22 42 5所以 r ，故所求圆 E 的方程为( x1) 2( y2) 25 （6 分）5(2)直线 l 的方程为 y0 k(x2)，即 kx y2 k0.若直线 l 与圆 C 相离，则有圆心 C 到直线
6、l 的距离 2，解得 k .所以 k 的|0 4 2k|k2 1 34取值范围为 . （12 分）( ，34)21 解：(1)由三视图可知，此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和S 圆锥侧 (2a )( a) a 2， S 圆柱侧 (2 a )(2a)4 a 2， S 圆柱底 a 2，所以12 2 2此几何体的表面积 S 表 S 圆锥侧 S 圆柱侧 S 圆柱底 a 24 a 2 a 2( 5) a 2.（62 2分）(2)分别沿点 P 与点 Q 所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示，则| PQ| |AP|2 |AQ|2 （ 2
7、a） 2 （ a） 2a .4 2所以 P， Q 两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为 a . （12 分）4 222 解：（1）在 D 中 ， O为 AD中点，所以 POAD又侧面 A底面 BC，平面 P平面 BC ， 平面 ，所以 PO平面 （ 4 分）- 7 -（2）连结 BO，在直角梯形 ABCD中， A , 2ADBC，有 ODB 且DC，所以四边形 是平行四边形，所以 OBC 由（1）知 P， 为锐角，所以 P是异面直线 P与 所成的角因为 22AB，在 RtAB 中， 1， A，所以 2B，在 RtO 中，因为 ， O，所以 ，在 tP 中， 23P， 26cos3OPB，所以异面直线 B与 CD所成的角的余弦值为 6（8 分）（3）由（2）得 2O，在 RtPOC 中， 2+OP，所以 P， 34PCDS又 1ADSB设点 A到平面 的距离 h，由 ACDPV得 1133CDPCDSOS ，即 1332h，解得 23 （12 分）
