1、- 1 -5.4 解三角形 角化边、边化角问题总纲：条件中同时含有 边和角，若不能直接使用正弦定理或者余弦定理得到答案，则都化成边（即“角化边” ） ，或者都化成角（即“边化角” ）来处理。 第一阶：典例 1（直接使用正余弦定理）：（2013 年高考上海卷（理）改编）设 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc,若 22330abc,则 Cos= 典例 2：（不能直接使用定理）在 ABC中，（1） 已知 Abacos，判断 BC的形状（2） 已知 ，判断 的形状第二阶：方法指导：含有 xsin的齐次式，优先考虑使用 正弦定理 ， 角化边。- 2 -例 3：（2013 年高考天津卷（文） ）设 A
2、BC的内角 ,的对边分别为 ,abc已知sinibAcB, a= 3, 2cos3. () 求 b 的值; () 求 si23的值. 练习 3 （2013 年高考江西卷（文） ）设 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc已知12cosinsisnBA(1)求证: ,ab成等差数列; (2) 若 = 3,求 ab的值.方法指导：含有 a,b,c的齐次式，优先考虑使用 正弦定理 边化角。例 4 （2013 年高考陕西卷（理） ）设 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc， 若cossinbCBaA, 则 ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定-
3、3 -练习 4 （2013 年辽宁数学（理）试题）在 ABC,内角 ,所对的边长分别为 ,.abc而且1sincosinco,2aBCAba,则 A. 6 B. 3 C. 3 D.56 方法指导：含有 xcos的式子，优先考虑 余弦定理 角化边。例 5.（2011 山东理 17）在 ABC,内角 ,所对的边长分别为 ,.abc，已知baBA2cos （I）求 Cin的值； （II）若 41cos， b=2， ABC的面积 S。第三阶：方法指导： 代数变形 或者 三角恒等变形后置例 6：已知 BbAacos，判断 AC的形状- 4 -练习 6：（2011 山东理 17）在 ABC,内角 ,所对的
4、边长分别为 ,.abc，已知bacBCA2cos （I）求 in的值； （II）若 41cos， b=2， ABC的面积 S。方法指导：代数变形 或者 三角恒等变形 前置例 7(代数变形前置)：（2013 年高考大纲卷（文） ）设 ABC的内角 ,的对边分别为,abc,()()abc. (I)求 (II)若 31sin4,求 C例 8（三角恒等变形前置）：（2013 年高考四川卷（文） ）在 ABC中,角 ,的对边分别为,abc,且 3os()csin()i()5ABABc.()求 in的值;()若 42, 5b,求向量在 C方向上的投影.- 5 -方法指导：含有 面积公式 的问题，要考虑可能
5、结合 余弦定理 使用。例 9：2012 年江西卷 16.（本小题满分 12 分） ABC在内角 ,的对边分别为 ,abc， 已知 CBCBcos61)os(3（1）求 cosA；（2）若 3a，ABC 的面积为 2，求 、 。方法指导：同时出现 两个自由角（甚至三个自由角）的时候，要用到 CBA例:10：2011（湖南理 17） ABC在内角 ,的对边分别为 ,abc,且满足 acossin （）求角 C 的大小；（）求 )4cos(in3的最大值，并求取得最大值时角 A、 B的大小。 （提示： A、B两个角可以消掉一个角）练习 10：（2013 年新课标卷数学（理） ） ABC在内角 ,的对
6、边分别为 ,abc,已知cosinabCB.()求 ；（提示：使用 A）()若 2,求 面积的最大值.（法 1：可以结合余弦定理，使用基本不等式， ） （法 2：- 6 -使用 CBA消元，化为一元函数）参考答案：典例 1： 3典例 2：（1）等腰三角形 （2）等腰三角形 或 直角三角形例 3 : (1) 6b (2) 18354)32sin(B练习 3： （1） ca，故 cba,成等差数列 （2） 5ba例 4： A例 5： 2sin)(C （2） 415S例 6：等腰三角形 或 直角三角形练习 6： 2sin)1(A （2） 415S例 7：（1） 3B （2） C或 例 8 ：（1） 54sin （2）投影为 2例 9：（1） 31coA （2） 3cb或例 10：（1） 4 （2）最大值为 2，此时 A或 125B练 10：（1） B （2） S最大值为 ，此时 ca
