1、- 1 -深圳高级中学 2019 届高三年级 12 月模拟考试文科数学 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A x|x24 x30， B x|yln( x2)，则( RB) A( )A x|2 x1 B x|2 x2 C x|1x2 D x|x22.已知 i是虚数单位，则复数 i13的模为( )A.1 B.2 C. 5 D.53抛两个各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 的均匀骰子， “向上的两个数之和为 3”的概率是A B C D 11184.下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ）(,0)2.()
2、fx2.()1fx3.fx.()2xf5.过抛物线 的焦点 的直线 交该抛物线于 两点，点 A 在第一象限，若4yFl,B，则直线 的斜率为（ ）|3AFlA1 B C D2326.已知 ， ，且 ，则向量 与 夹角的大小为a(0,)b1AababA. B. C. D.64327设命题 ： ， ，命题 ： ， ，则下列命题中是真命题的是p1x2q0x01x（ ）A B C D pq()pq()pq()pq8. 已知 ，函数 在 上单调递减则 的取值范围是0sin4fx,2A B C D13,2415,21(0,(0,29.已知直线 xya与 2:xyA相交于 A、 B两点，且 0AOB，- 2
3、 -O xy C(3,4)B(3,2.5)A(2,3)则实数 a的值为（ ）A 3 B 10 C. 1或 2 D 3或 110如图，格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为A B12C D 11.在 中，设角 的对边分别是 ，已知BCA, cba,，则 的面积为( )5,43cos,2bBA B C D715271427512已知函数 定义在 R 上的奇函数，当 时， ，给出下列命题：)(xf 0x)1()xef当 时， 函数 有 2 个零点0)1(xe 的解集为 ，都有)(f ,0,R21, 2|)(|1xf其中正确命题个数是A1 B2 C
4、3 D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13若 是偶函数，则 _.axexfx1ln3 a14.若 ，则 _.cos()45si215. 巳知点 在 ABC 所包围的阴影区域内( 包含边界) ,yx若 B(3, 2)是使得 取得最大值的最优解, 则yaxz实数 的取值范围为 a16在直角坐标系 中，已知直线 与椭圆 ：xOy20xyC21xyab相切，且椭圆 的右焦点 关于直线 的对称点 在椭圆 上，0abC,FccyEC则 的面积为 EF三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）- 3 -17 （本题满分 12 分）已知正项数列
5、的前 项和为 ，且 是 和 的等差中项nanS2na（）求数列 的通项公式；na（）若 ，且 成等比数列，当 时，求12,nkn 12,nkk 12,4k数列 的前 项和 T18（本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组 75，85) 85，95) 95，105) 105，115) 115，125)频数 6 26 38 22 8（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为
6、该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19.（本小题满分 12 分）- 4 -如图，三棱柱 中，平面 平面 ABC， D 是 AC 的中点.1CBABA1()求证： 平面 ；/1D()若 ，,2,601C求三棱锥 的体积.AB120.（本小题满分 12 分）设椭圆 M：21yxab( 0)的离心率与双曲线 12yx的离心率互为倒数，且内切于圆 42。（1）求椭圆 的方程；（2）已知 ， 是椭圆 M的下焦点，在椭圆 上是否存在点 P，使 的(,)AF AF周长最大？若存在，请求出 周长的最大值，并求此时 的面积；若不存在，APAF请说明理由。21.
7、（本小题满分 12 分）已知 （e 为自然对数的底数)cosxfa（1）若 在 处的切线过点 ，求实数 的值01,6Pa（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围,2xfxa22.选修 44：坐标系与参数方程（本题满分 10 分）- 5 -在平面直角坐标系中，直线 l过点 (2,3)P且倾斜角为 ，以坐标原点为极点， x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 4cos()3，直线 l与曲线 C相交于 ,AB两点；（1）求曲线 的直角坐标方程；（2）若 ，求直线 l的倾斜角 的值。|1323.选修 4 - 5：不等式选讲（本小题满分 10 分）设函数 。()|27|1fx（1）
8、求不等式 的解集；（2）若存在 x 使不等式 成立，求实数 a 的取值范围。()2|x|fa- 6 -深圳高级中学 2019 届高三年级 12 月模拟考试文科数学答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C D A D C B B D C A B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13. 14 15. 16. 1 3272512a三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 解析：（） 是 和 的等差中
9、项， 又nS2n 2nnSa211()nSa两式相减并化简得 11()0nna又 ，所以 ，故数列 是公差为 1 的等差数列4 分10nna当 时， ，又 ， 6 分2112S1()nn（）设等比数列的公比为 ，由题意知q214ka，又 ，所nka12nnka以 12 分2n 1(2)nnT18.解：（1）（2）质量指标值的样本平均数为 8069210382108x 质量指标值的样本方差为所以，这种产品质量指标的平均数估计值为 100，方差的估计值为 104.（3）依题意 = 68 80所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标8210- 7 -值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80”的
10、规定。12 分19.解：（1）连结AB 1交A 1B于点O，则O为AB 1中点，DCDCB 是 的 中 点又 平 面 ， 平 面平 面20、解：（1）双曲线 12yx的离心率为 2，椭圆 M 的离心率为 2cea椭圆 M 内切于圆 4 ,424yx， 则的 直 径 为圆得： 224cabb所求椭圆 M 的方程为 21yx5 分（2）椭圆 M 的上焦点为 ，由椭圆的定义得：1(0,2)F1|4,|PFP的周长为A11|F|A|423|4236AF当且仅当点 P 在线段 的延长线上时取等号。 1在椭圆 M 上存在点 P，使 的周长取得最大值 ， 9 分直线 的方程为 ，由 1AF2y21:214y
11、xxy解 得 或点 P 在线段 的延长线上，点 P 的坐标为 ，11 分1 (,)- 8 -的面积 12 分AFP1|322AFPS22.解：（1） 4cos(),4(cossin)2(cos3in)33 分 ，2 2(s3in),xyy曲线 C的直角坐标方程为 。5 分2(1(3)4（2）当 时， ， ， 舍 6 分09:l|1AB09当 时，设 ，则 ，tank:(),kxy23ly即圆心 到直线 的距离(1,3)Cx23022| |11kd由222| 144,3ABkd得 :解 得 :k=10 分23,(0,)3tan=或23.解：()由 得 ，)fx|27|1x 27787:61232
12、x不等式 的解集为 ()fx8|3x()令 2|1|7|x1|g则 ， 6,()4027,xxxmin()4gx存在 x 使不等式 成立， 10 分()|1|famin(),4xa21.- 9 - 10 -一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A x|x24 x30， B x|yln( x2)，则( RB) A( )A x|2 x1 B x|2 x2 C x|1x2 D x|x22.已知 i是虚数单位，则复数 i13的模为( )A.1 B.2 C. 5 D.53抛两个各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 的均匀骰子
13、， “向上的两个数之和为 3”的概率是A B C D 11184.下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ）(,0)【答案】A2.()fx2.()1fx3.fx.()2xf5.过抛物线 的焦点 的直线 交该抛物线于 两点，点 A 在第一象限，若4yFl,B，则直线 的斜率为（ ）|3AFlA1 B C D232【 解析】由题可知焦点 ，设点 ， 由 ，则 ,(1,0)F(,)(,)ABxy|3AF2Ax即 ，故直线 斜率为 ，选 D(2,)l6.已知 ， ，且 ，则向量 与 夹角的大小为1a(,2)babab（A） （B） （C） （D）64327设命题 ： ， ，命题 ： ， ，则
14、下列命题中是真命题的是p1x2q0x01x（ ）A B C D pq()pq()pq()pq- 11 -8. 已知 ，函数 在 上单调递减则 的取值范围是0()sin)4fx(,)2A B C D13,2415,210(0,29.已知直线 xya与 2:xyA相交于 A、 B两点，且 120AOB，则实数 a的值为（ ）A 3 B 10 C. 1或 D 3或 110如图，格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为A B12C D 11.在 中，设角 的对边分别是 ，已知 ，则ABC, cba, 5,43cos,2bAC的面积为( )A B C
15、D471524752【试题解析】 ，73tan,873sin,1cos,3cos CAA如图，设 xBx,35,在直角 中，DBC7tanD解之得 41237ACSx12已知函数 定义在 R 上的奇函数，当 时， ，给出下列命题：)(f 0x)1()xef当 时， 函数 有 2 个零点0x)1(xe 的解集为 ，都有)(f ,0,R21, 2|)(|1xf其中正确命题个数是- 12 -O xy C(3,4)B(3,2.5)A(2,3)A1 B2 C3 D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13若 是偶函数，则 _.【答案】axexfx1ln3 a3214.若 ，则 _.cos(
16、)45si272515. 巳知点 在 ABC 所包围的阴影区域内( 包含边界) ,yx若 B(3, 2)是使得 取得最大值的最优解, 则yaxz实数 的取值范围为 21a16在直角坐标系 中，已知直线 与椭圆 ：xOy20xyC21xyab相切，且椭圆 的右焦点 关于直线 的对称点 在椭圆 上，0abC,FccyEC则 的面积为 1EF三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本题满分 12 分）已知正项数列 的前 项和为 ，且 是 和 的等差中项nanS2na（）求数列 的通项公式；na（）若 ，且 成等比数列，当 时，求12,nkn 12
17、,nkk 12,4k数列 的前 项和 T解析：（） 是 和 的等差中项， 又nS2an 2nnSa211()nSa两式相减并化简得 11()()0na又 ，所以 ，故数列 是公差为 1 的等差数列4 分10nann当 时， ，又 ， 6 分2112S1()nan（）设等比数列的公比为 ，由题意知q214k，又 ，所nka12nnka- 13 -以 12 分2nk2 1(2)nnT18（本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组 75，85) 85，95) 95，105) 105，115) 115，125
18、)频数 6 26 38 22 8（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？18.解：（1）（2）质量指标值的样本平均数为 8069210382108x 质量指标值的样本方差为所以，这种产品质量指标的平均数估计值为 100，方差的估计值为 104.（3）依题意 = 68 80所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标8210值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80”的规定。1
19、2 分19.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中，平面 平面 ABC， D 是 AC1CBABA1的中点.()求证： 平面 ；/1CBDA1()若 ，1,2,601BCAB求三棱锥 的体积.1解：（1）连结AB 1交A 1B于点O，则O为AB 1中点，- 14 -DACODBCAB 是 的 中 点又 平 面 ， 平 面平 面20.（本小题满分 12 分）设椭圆 M：21yxab( 0)的离心率与双曲线 12yx的离心率互为倒数，且内切于圆 42。（1）求椭圆 的方程；（2）已知 ， 是椭圆 M的下焦点，在椭圆 上是否存在点 P，使 的(,)AF AF周长最大？若存在，请求出 周长的最大值，
20、并求此时 的面积；若不存在，APAF请说明理由。20、解：（1）双曲线 12yx的离心率为 2，椭圆 M 的离心率为 2cea椭圆 M 内切于圆 4 ,424yx， 则的 直 径 为圆得： 224cabb所求椭圆 M 的方程为 21yx5 分（2）椭圆 M 的上焦点为 ，由椭圆的定义得：1(0,2)F1|4,|PFP的周长为A11|F|A|423|4236AF当且仅当点 P 在线段 的延长线上时取等号。 1在椭圆 M 上存在点 P，使 的周长取得最大值 ， 9 分- 15 -直线 的方程为 ，由 1AF2y21:214yxxy解 得 或点 P 在线段 的延长线上，点 P 的坐标为 ，11 分1
21、 (,)的面积 12 分1|322AFPS21.（本小题满分 12 分）已知 （e 为自然对数的底数)cosxfa（1）若 在 处的切线过点 ，求实数 的值fx0,6Pa（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围,2fx- 16 -22.选修 44：坐标系与参数方程（本题满分 10 分）在平面直角坐标系中，直线 l过点 (2,3)P且倾斜角为 ，以坐标原点为极点， x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 4cos()3，直线 l与曲线 C相交于 ,AB两点；（1）求曲线 的直角坐标方程；（2）若 ，求直线 l的倾斜角 的值。|1322.解：（1） 3 分4cos(),4(c
22、ossin)2(cos3in)3 ，2 23in),xyy曲线 C的直角坐标方程为 。5 分2(1()4（2）当 时， ， ， 舍 6 分09:l|31AB09当 时，设 ，则 ，tank:(),kxy23ly即- 17 -圆心 到直线 的距离(1,3)Ckxy23022|3|11kkd由222| 144,ABd得 :解 得 :=10 分23,(0,)3tan=或23.选修 4 - 5：不等式选讲（本小题满分 10 分）设函数 。()|27|1fx（1）求不等式 的解集；（2）若存在 x 使不等式 成立，求实数 a 的取值范围。()2|x|fa23.解：()由 得 ，()f|7|1 27020787:61232xxx不等式 的解集为 4 分()f8|3()令 2|x1|7|x1|gx则 ， 8 分6,()4027,xxmin()4gx存在 x 使不等式 成立， 10 分()|1|fxamin(),4xa
