1、1第一章 第 4 节 用一元二次方程解决问题专项练习三三、 等积变形、面积问题 3:1如图,要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈,用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长 AB,BC 各为多少米?2如图 1,为美化校园环境,某校计划在一块长为 100 米,宽为 60 米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为 a 米 (1)用含 a 的式子表示花圃的面积;(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ,求出此时通道的宽;(3)已知某园林公司修建通道的单价是 50 元/米 2,修建花圃的造价 y(元)与
2、花圃的修建面积S( m2)之间的函数关系如图 2 所示,并且通道宽 a(米)的值能使关于 x 的方程 x2-ax+25a-150 有两个相等的实根,并要求修建的通道的宽度不少于 5 米且不超过 12 米,如果学校决定由该公司承建此项目,请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元?23学校课外生物小组的试验园地是长 32m、宽 20m 的矩形,为便于管理,现要在试验园地开辟水平宽度均为 xm 的小道(图中阴影部分).(1)如图 1,在试验园地开辟一条水平宽度相等的小道,则剩余部分面积为 m2(用含 x 的代数式表示) ;(2)如图 2,在试验园地开辟水平宽度相等的三条小道,其中有两条道路相互平行.
3、若使剩余部分面积为 570m2,试求小道的水平宽度 x.4如图,要设计一副宽 20cm,长 30cm 的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横竖彩条的宽度都相同,如果使剩余面积为原矩形图案面积的 31,应如何设计每个彩条的宽度?5如图,某课外活动小组借助直角墙角(两边足够长)用篱笆围成矩形花园 ABCD,篱笆只围AB、 BC 两边已知篱笆长为 40m,篱笆围成的矩形 ABCD 的面积为 300m2求边 AB 的长36某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园 ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为 40m 的栅栏围成 如图所示 设 BC 为 用含 x 的代数式表示 AB 的长;如果墙长
4、15m,满足条件的花园面积能达到 吗?若能,求出此时 x 的值;若不能,说明理由7如图 1,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙,另外三边用 25m 长的建筑材料围成.(1)要使所围矩形猪舍的面积达到 50m2,求猪舍的长和宽.(2)农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到 60m2,小红为该农户提出了一个意见:“为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门就行” ,如图 2,请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽?8如图,某校要在长为 32m,宽为 0的长方形操场上修筑宽度相同的道路(图中阴影部分) ,在余下的空白部分种上草坪,要使草坪的面积为 254m,求道
5、路的宽.49如图所示,在宽为 20 米,长为 32 米的矩形空地上修的两条互相垂直的水泥路,余下部分作为草地现要使草地的面积为 540 平方米,求水泥路的宽应为多少米?10如图,ABC 中,C=90,BC=6cm,AC=8cm,点 P 从点 A 开始沿 AC 向点 C 以 2 厘米/秒的速度运动;与此同时,点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度运动;如果 P、Q 分别从A、C 同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动(1)经过几秒,CPQ 的面积等于 3cm2?(2)在整个运动过程中,是否存在某一时刻 t,使 PQ 恰好平分ABC 的面积?若存在,求出运
6、动时间 t;若不存在,请说明理由11如图,在矩形 ABCD 中,AB6 cm,AD2 cm,点 P 以 2 cm/s 的速度从顶点 A 出发沿折线ABC 向点 C 运动,同时 点 Q 以 1 cm/s 的速度从顶点 C 出发向点 D 运动,当其中一个动点到达末端停止运动时,另一点也停止运动(1)问两动点运动几秒后,四边形 PBCQ 的面积是矩形 ABCD 面积的 ;(2)问是否存在某一时刻使得点 P 与点 Q 之间的距离为 cm.若存在,请求出运动所需的时间;若不存在,请说明理由512如图,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面,请观察下列图形,并解答有关问题:(1)在第 n 个图中,第
7、一横行共 块瓷砖,第一竖列共有 块瓷砖;(均用含 n 的代数式表示)铺设地面所用瓷砖的总块数为 (用含 n 的代数式表示,n 表示第 n 个图形)(2)上述铺设方案,铺一块这样的长方形地面共用了 506 块瓷砖,求此时 n 的值;(3)黑瓷砖每块 4 元,白瓷砖每块 3 元,在问题(2)中,共需要花多少钱购买瓷砖?(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算加以说明6答案详解:1羊圈的边长 AB,BC 分别是 20 米、20 米.试题分析:设 AB 的长度为 x 米,则 BC 的长度为(1004x)米;然后根据矩形的面积公式列出方程试题解析:设 AB 的长度为 x 米,则 BC 的长
8、度为(1004x)米 根据题意得 (1004x)x=400,解得 x 1=20,x 2=5 则 1004x=20 或 1004x=80 8025, x 2=5 舍去 即 AB=20,BC=202(1)4 a2-320a+6000;(2) 通道的宽为 5 米;(3) 318000 元 分析:(1)、用含 a 的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可;(2)、根据通道所占面积是整个长方形空地面积的 ,列出方程进行计算即可;(3)、根据方程有两个相等的实数根求得 a 的值,然后分别求得花圃和甬道的面积及造价即可详解:(1)、由图可知,花圃的面积为(100-2 a) (60-2 a)=
9、4 a2-320a+6000;(2)、由已知可列式:10060-(100-2 a) (60-2 a)= 10060,解得: a1=5, a2=75(舍去) ,所以通道的宽为 5 米;(3)、方程 x2-ax+25 a-150=0 有两个相等的实根, = a2-25a+150=0,解得: a1=10, a2=15,5 a12, a=10 设修建的花圃的造价为 y 元, y=55.625S;当 a=10 时, S 花圃=8040=3200( m2) ; y 花圃=320055.625=178000(元) ,S 通道=10060-8040=2800( m2) ; y 通道=280050=140000
10、(元) ,造价和:178000+140000=318000(元) 点拨:本题考查了一次函数的应用以及 一元二次方程的应用,解题的关键是表示出花圃的长和宽,属于中档题,难度不算大73 (1)20(32- x) ;(2)小道宽为 1 米.试题分析:(1)利用平行四边形面积求法直接平移阴影部分得出剩余面积即可;(2)利用平行四边形的面积求法,平移道路进而得出方程求出即可试题解析:(1)由题意可得,剩余部分面积为:20(32- x)m 2;(2)依题意,得 640-40x-32x+2x2=570 解得 x1=1, x2=35(不合舍去) 答:小道宽为 1 米点拨:此题主要考查了一元二次方程的应用,利用
11、平行四边形面积公式得出等式方程是解题关键4应设计彩条宽为 5cm试题分析:设每个彩条的宽度为 xcm,根据题意,得3021203x解得:x 1=5,x 2=30(二倍大于 30,舍去) ,应设计彩条宽为 5cm,510m 或 30m试题分析:根据矩形的面积列出方程,求解.试题解析:设边 AB 的长为 xm根据题意,得 x(40 x)=300,解得 x1=10, x2=30答:边 AB 的长为 10m或者 30m6 (1) ;(2)不能,理由见解析试题分析:(1)利用长方形的周长即可解答;(2)利用长方形的面积列方程解答即可.试题解析:(1) ; (2)不能,理由是:根据题意列方程的,8x(40
12、-2x)=200,解得 x1=x2=10;40-2x=20(米) ,而墙长 15m,不合实际,因此如果墙长 15m,满足条件的花园面积不能达到 200m2.点拨:此题考查一元二次方程及二次函数求最大值问题,属于综合类题目,灵活利用长方形的周长和面积公式是关键7 (1)所围猪舍的长是 10m,宽是 5m;(2)所围猪舍的长是 10m,宽是 6m.试题分析:(1)设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 xm,可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x)m,根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可;(2)设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 xm,可以得出平行于墙的一边的长为(25+1-2x)m,根据矩形的面积公式建
13、立方程求出其解即可.试题解析:(1)设与住房墙垂直的一边长为 xm,则与住房墙平行的一边长为( 25x)m根据题意,列方程得: x(25)=50,解得: 1., 210x,当 =2.5 时,与住房墙平行的一边长 25x=2012,不符合题意, 1.5舍掉,当 x=10 时,与住房墙平行的一边长 =512.5 分,答:所围猪舍的长是 10m,宽是 5m;(2) 设与住房墙垂直的一边长为 xm,则与住房墙平行的一边长为( 251x)m根据题意,列方程得: x(251x)=60,解得: 3, 20,当 =3 时,与住房墙平行的一边长 251x=2012,不符合题意, 1x舍掉,当 x=10 时,与住
14、房墙平行的一边长 =612,答:所围猪舍的长是 10m,宽是 6m.点拨:本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用,矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解9法的运用,解答时寻找题目的等量关系是关键82 米试题分析:可以根据矩形的性质,先将道路进行平移,然后根据矩形的面积公式列方程求解试题解析:解法一:原图经过平移转化为图 1.设道路宽为 x米.根据题意,得 203540x. 整理得 2510x.解得 1(不合题意,舍去) , 2x.答:道路宽为 2 米. 解法二:原图经过平移转化为图 2.设道路宽为 x米.根据题意, 2203540x,整理得 51x.解得 1(不合题意,舍去) , 2x. 答
15、:道路宽为 2 米.92m试题分析:把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形,矩形的长和宽分别是(32x)和(20x) ,10根据矩形的面积公式,列出关于道路宽的方程求解解:设水泥路的宽为 x m,则可列方程为:(32x) (20x)=540 解得:x=2 或 x=50(不合题意,舍去) ,答:水泥路的宽为 2m10 (1)x 1=1,x 2=3;(2)方程无实数根,即不存在满足条件的 t试题分析:(1)设出运动所求的时间,可将 BP 和 BQ 的长表示出来,代入三角形面积公式,列出等式,可将时间求出;(2)将PBQ 的面积表示出来,根据=b 24ac 来判断(1)解:设经过 x 秒,CPQ 的面积
16、等于 3cm2则x(82x)=3,化简得 x24x+3=0,解得 x1=1,x 2=3;(2)解:设存在某一时刻 t,使 PQ 恰好平分ABC 的面积则t(82t)= 68,化简得 t24t+12=0,b24ac=1648=320,故方程无实数根,即不存在满足条件的 t11(1)两动点运动 s 后,四边形 PBCQ 的面积是矩形 ABCD 面积的;( 2)存在当运动 s 或 s 时,点 P 与点 Q 之间的距离为 cm.分析:(1)要使四边形 PBCQ 的面积是矩形 ABCD 面积的 49,此时点 P 应在 AB 上,才是四边形;根据路程=速度时间,分别用 t 表示 BP、 CQ 的长,再根据
17、梯形的面积公式列方程;(2)根据勾股定理列方程即可,注意分:0 t3、3 t4,两种情况讨论.详解:(1)设两动点运动 x s 后,四边形 PBCQ 的面积是矩形 ABCD 面积的 .根据题意,得 BP(62x) cm,CQx cm,矩形 ABCD 的面积是 12 cm2,则有 (x62x)2 12 ,解得 x .11即两动点运动 s 后,四边形 PBCQ 的面积是矩形 ABCD 面积的 .(2)存在设两动点经过 t s 使得点 P 与点 Q 之间的距离为 cm.当 0t3 时,则有(62tt) 245,整理,得 9t236t350,解得 t 或 ;当 3t4 时,则有(82t) 2t 25,
18、整理,得 5t232t590,此时 32 245591560,此方程无解综 上所述,当运动 s 或 s 时,点 P 与点 Q 之间的距离为 cm.点拨:本题考查了一元二次方程的应用-几何问题仔细审题,找出题目中的等量关系列出方程是解答本题的关键. 在直角三角形中,如果两条直角边分别为 a 和 b,斜边为 c,那么 a2+b2=c2.也就是说,直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平 方.12 (1) (n+3) , (n+2) , (n+2) (n+3) ;(2)n=20;(3)共花 1604 元钱购买瓷砖; (4)不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形试题分析:(1)第一个图形用的正方形的个数=
19、34=12,第二个图形用的正方形的个数=45=20,第三个图形用的正方形的个数=56=30以此类推,根据发现的规律可得在第 n 个图中,第一横行共(n+3) 块瓷砖,第一竖列共有(n+2) 块瓷砖,铺设地面所用瓷砖的总块数为(n+2)(n+3)个;(2)根据(1)中的结果可得(n+2)(n+3)=506,解方程即可得;(3)根据(2)得出的结果,求出白瓷砖和黑瓷砖各有多少块,分别乘上它们的单价再相加即可;(4)先假设黑瓷砖与白瓷 砖块数相等的情形,根据黑、白瓷砖数量相等,看是否得到 n 的整数解即可试题解析:(1)第一个图形用的正方形的个数=34=12,第二个图形用的正方形的个数=45=20,
20、第三个图形用的正方形的个数=56=30以此类推,在第 n 个图中,第一横行共(n+3) 块 瓷砖,第一竖列共有(n+2) 块瓷砖,铺设地面所用瓷砖的总块数为(n+2) (n+3)个,故答案为:(n+3) , (n+2) , (n+2) (n+3) ;(2)根据题意得:(n+2) (n+3)=506,解得 n1=20,n 2=25(不符合题意,舍去) ;(3)观察图形可知,每横行有白砖(n+1)块,每竖列有白砖 n 块,因而白砖总数是n(n+1)块,n=20 时,白砖为 2021=420(块) ,黑砖数为 506420=86(块) ,故总钱数为 4203+864=1260+344=1604(元) ,12答:共花 1604 元钱购买瓷砖;(4)根据题意得:n(n+1)=2(2n+3) ,解得 n=32(不符合题意,舍去) ,不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形