1、1第一章 第 4 节 用一元二次方程解决问题专项练习二二、 等积变形、面积问题 2：1某家庭农场要建一个长方形的养兔场，兔场的两边靠 墙（两堵墙互相垂直，长度不限） ，另两边用木栏围成，木栏总长 20 米（1）兔场的面积能达到 100 平方米吗？请你给出设计方案；（2）兔场的面积能达到 110 平方米吗？如能，请给出设计方案，若不能说明理2张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2 米，现已知购买这种铁皮每平方米需 20 元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多
2、少元钱？3如图，学校打算用 16 m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如下图） ，面积是 30 m2求生物园的长和宽4现有 一块长 20cm，宽 10cm 的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为 56cm2 的无盖长方体盒子，求出剪去的小正方形的边长？25校生物小组有一块长 32m，宽 20m 的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为 540m2，小道的宽应是多少米？6要对一块长 60 米，宽 40 米的矩形荒地 ABCD 进行绿化和硬化、设计方案如图所示，矩形 P、
3、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形 ABCD 面积的 14，求 P、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽7如图，在矩形 ABCD 中，BC=24cm，P、Q、M、N 分别从 A、B、C、D 出发，沿 AD、BC、CB、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x0） ，则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x 2cm，（1）当 x 为何值时，点 P、N 重合；（2）当 x 为何值时，以 P、Q、M、N 为顶点的四边形是平行四边形8如图，要建一个面积为 15
4、0 m2的矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边沿用原来的一堵墙，墙长为 a m，其余三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆的长为 35 m.(1)如果 a40，那么养鸡场的长和宽各为多少米？(2)如果 a 是一个可以变化的量，那么墙的长度 a 对所建的养鸡场有怎样的影响？9如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边如图，地毯中央的矩形图案长 6 米、宽33 米，整个地毯的面积是 40 平方米求花边的宽10如图，在 RtACB 中，C=90，BC=6m，AC=8m，点 P、Q 同时由 A、B 两点出发分别沿AC，BC 方向向点 C 匀速运动，已知点 P 移动的速度是 20cm/s，点 Q 移动的速度是
5、10cm/s，几秒后PCQ 的面积为 RtACB 面积的 58？11做一个底面积为 24 cm2，长，宽，高的比为 421 的长方体求：(1)这个长方体的长、宽、高分别是多少？(2)长方体的表面积是多少？12把一边长为 36cm 的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板 的厚度忽略不4计）（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子要使折成的长方体盒子的底面积为 676cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由（2）若 在正方形硬纸
6、板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上） ，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为 880cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）13在一块长 ，宽为 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案（ ）小芳说， 我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同 ，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度（ ）小华说， 我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形荒地的四条边上 ，请
7、你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩形，在图 和图 中画出相应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理由514用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 的正方形(阴影部分)并制成一个长方体纸盒。（1）用 a，b，x 表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积；（2）当 a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长6答案详解：1 （1）10 m；（2）110 m 2试题分析：（1）设 AB=x，则 BC=20x，利用矩形的面积作为等量关系列方程，解方程求解即可，根据方程解的情况给出方案；（2）设 AB=x，则 BC=20x，利用矩形的面积作为等量关
8、系列方程，若一元二次方程有解则可求出长和宽从而可设计方案，若方程无解，则不能围成上述条件的长方形试题解析：（1）设 AB=x，则 BC=20x，根据题意，得 x（20 x）=100整理，得 x220x+100=0，解得 x1=x2=10，所以兔场的面积能达到 100 m2，设计方案为： AB=BC=10 m （2）设 AB=x，则 BC=20x，根据题意，得 x（20 x）=110，整理，得 x220x+110=0， =4004400，原方程无解故兔场的面积不能达到 110 m2点拨：本题考查了一元二次方程的应用，解决这类题目要读懂题意，准确的找到等量关系列方程，解出方程的解后要注意代入实际问
9、题中判断是否符合题意，进行值的取舍2700试题分析：本题可设无盖长方体箱子宽为 x 米，则长为（x+2）米，根据刚好能围成一个容积为 15米 3的无盖长方体箱子，结合图形可列出方程，求出答案试 题解析：设长方体箱子宽为 x 米，则长为（x+2）米依题意，有 x（x+2）1=15整理，得 x2+2x-15=0，解得 x1=-5（舍去） ，x 2=3，这种运动箱底部长为 5 米，宽为 3 米由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为（5+2）（3+2）=35做一个这样的运动箱要花 3520=700（元） 答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了 700 元73长和宽分别是 3、10 或 5、6.试题分析：首
10、先设生物园的宽为 x 米，则长为（16-2x）米，根据题意可得等量关系：长方形的长宽=面积 30 米 2，由等量关系列出方程 x（16-2x）=30，再解方程即可试题解析：设宽为 x m，则长为（16-2x）m由题意，得 x（16-2x）=30， 解得 x 1=3，x 2=5 当 x=3 时，16-23=10， 当 x=5 时，16-25=643cm试题分析：设剪去的小正方形的边长为 x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果试题解析：设剪去的小正方形的边长为 xcm，根据题意得：（20-2x） （10-2x）=56，整理得：（x-3） （x-12）=0，解得：x=3 或 x=12，经检验
11、 x=12 不合题意，舍去， x=3，则剪去小正方形的边长为 3cm52m首先设道路的宽为 xm，然后根据种植面积列出方程（32-x） （20-x）=540，整理，得 x2-52x+100=0， （x-50） （x-2）=0， x 1=2，x 2=50（不合题意，舍去） ，小道的宽应是 2m故答案为：2.点拨：此题应熟记长方形的面积公式，另外求出 4 块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.6两块绿地周围 的硬化路面宽都为 10 米试题分析：可把 P，Q 通过平移看做一个矩形，设 P、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 x 米，用含 x 的代数式分别表示出绿地的长为 603x，宽为
12、402x，利用“两块绿地面积的和为矩形 ABCD面积的 ”作为相等关系列方程求解即可解：设 P、 Q 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 x 米，根据题意，得8解之得x1=10，x 2=30经检验，x 2=30 不符合题意，舍去答：两块绿地周围的硬化路面宽都为 10 米7 （1）x=4 时点 P 与点 N 重合；（2）当 x=2 或 时四边形 NQMP 是平行四边形.分析：（1）P、N 两点重合，即 AP+DN=AD=BC，联立方程解答即可；（2）把 P、N 两点分两种情况讨论，点 P 在点 N 的左侧或点 P 在点 N 的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可详解：（1）当点 P 与点
13、 N 重合时，由 x2+2x=24，得 x1=4、x 2=-6（舍去） ，所以 x=4 时点 P 与点 N 重合（2）因为当 N 点到达 A 点时，x 2=24，解得： ，此时 M 点和 Q 点还未相遇，所以点 Q 只能在点 M 的左侧，如图 1，当点 P 在点 N 的左侧时，由 24-（x+3x）=24-（2x+x 2） ，解得 x1=0（舍去） ，x 2=2；故当x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形；如图 2，当点 P 在点 N 的右侧时，由 24-（x+3x）=（2x+x 2）-24，解得 ，（舍去） ；故当 时四边形 NQMP 是平行四边形；综上：当 x=2 或 时四边形 NQMP
14、 是平行四边形.点拨：本题主要考查一元二次方程的应用；平行四边形的判定与性质 ；矩形的性质； 关键是能借助图形的性质找出数量关系，并能针对具体问题进行分类讨论.98 （1）养鸡场的长、宽分别为 20 m，7.5 m 或 15 m，10 m.（2）建成长为 15 m，宽为 10 m 或长为 20 m，宽为 7.5 m 的养鸡场分析：（1）设与墙垂直的一边长为 xm，则由题意可得与墙平行的一边长为（35-2x）m，根据长方形的面积计算公式结合题意列出方程，解方程即可求得养鸡场的长和宽；（2）由养鸡场与墙平行的一边的长度不大于墙的长度 a，结合（1）中所得结果进行分析即可.详解：(1)设养鸡场与墙垂
15、直的一边长为 x m，则与墙平行的一边长为(352 x)m，根据题意得： x(352 x)150，解得： x110， x27.5，当 x10 时，352 x15；当 x7.5 时，352 x20.答：养鸡场的长、宽分别为 20 m，7.5 m 或 15 m，10 m.(2)由题意可知，养鸡场与墙平行的一边的长度不大于墙的长度 a，结合（1）中的结果可知：当 a15 时，问题无解；当 15 a20 时，问题有一解，即可建成长为 15 m、宽为 10 m 的养鸡场；当 a20 时，问题有两解，即可建成长为 15 m，宽为 10 m 或长为 20 m，宽为 7.5 m 的养鸡场点拨：（1） “读懂题
16、意，结合图形，知道用竹篱笆只围了养鸡场的三面”是解答第 1 小题的关键；（2） “读题题意，知道养鸡场与墙平行一边的长度不大于墙的长度 a”是解答第 2 小题的关键.9花边的宽为 1 米.试题分析：可以设花边的宽为 x 米，可以列出方程解题.试题解析：解：设花边的宽为 x 米，列方程为26340x解之得 12,（舍去）答：花边的宽为 1 米.1010 秒后PCQ 的面积为 RtACB 面积的 58 试题分析：设运动时间为 t 秒，表示出 PC、QC，再根据三角形的面积公式列出方程，然后根据一元二次方程的解法求解即可试题解析：设运动时间为 t 秒，则 PC=80.2t，QC=60.1t，10由题
17、意得， 12（80.2t） （60.1t）= 58 1268，整理得，t 2100t+900=0，解得 t1=10，t 2=90（舍去） ，答：10 秒后PCQ 的面积为 RtACB 面积的 5811(1)这个长方体的长、宽、高分别是 4 3cm，2 cm， 3cm； (2)长方体的表面积是 84 cm2.试题分析：(1)(2)设出长宽高，利用底面积，求出长宽高，最后再求出表面积.试题解析：(1)设长方体的高为 x，则长为 4x，宽为 2x，由题意得 4x2x24 解得 x 3，则4x4 3，2 x2 .答：这个长方体的长、宽、高分别是 4 3 cm，2 cm， cm (2)(4 2 4 32
18、 )2(24126)242284(cm 2)答：长方体的表面积是 84 cm212 （1）剪掉的正方形的边长为 5cm， 当剪掉的正方形的边长为 9cm 时，长方形盒子的侧面积最大为 648cm2；（2）剪掉的正方形的边长为 8cm此时长方体盒子的长为 20cm，宽为 10cm，高为 8cm分析 ：（1）设剪掉的正方形的边长为 xcm，根据题意得出（36-2x） 2=676，求出即可；设剪掉的正方形的边长为 xcm，盒子的侧面积为 Scm2，则 y 与 x 的函数关系为：S=4（36-2x）x，利用二次函数最值求出即可；（2）设剪掉的长方形盒子的高为 acm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为
19、 880cm2，得出等式方程求出即可详解：（1）设剪掉的正方形的边长为 xcm则（362x） 2=676，即 362x=26，解得：x 1=31（不合题意，舍去） ，x 2=5，剪掉的正方形的边长为 5cm 侧面积有最大值设剪掉的正方形的边长为 xcm，盒子的侧面积为 Scm2，则 S 与 x 的函数关系为：S=（362x）x4 =8x 2+144x=（x9） 2+648，x=9 时，S 最大=648 11即当剪掉的正方形的边长为 9cm 时，长方形盒子的侧面积最大为 648cm2；（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为 acm，长为（362a）cm，宽为（18a）cm，高为 ac
20、m（362a）36+2a（18a）=880解得：a 1=26（不合题意，舍去） ，a 2=8 剪掉的正方形的边长为 8cm此时长方体盒子的长为 20cm，宽为 10cm，高为 8cm点拨：本题考查了二次函数的应用及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，建立数学模型，利用所学知识求解13 （ ）能，宽度为 米;（ ）见解析分析：（ ）设宽度为 米，根据花园面积是荒地面积的一半列出方程，求解即可；（ ）作矩形的中点四边形，得菱形，则菱形面积 矩形面积，以矩形两宽的中点连线 为直径，作圆，交两长于 、 ，得矩形 ，则 详解：（ ）设宽度为 米，则 ， ，解得： ，又 ， ，答：路宽为 米（
21、）如图，作矩形的中点四边形，得菱 形，则菱形面积 矩形面积，如图，以矩形两宽的中点连线 为直径，作圆，12交两长于 、 ，得矩形 ，则 点拨：本题主要考查了应用设计与作图，正确作图是 解题的关键14 （1） ； ；（2）分析：（1）根据图形可知剩余部分的面积=长方形的面积4 个小正方形的面积，从而可以用代数式表示出来，纸盒的底面是一个长方形，面积=长宽；（2）根据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程，求解即可详解：（1）由题意得：纸片剩余部分的面积是 ab4 x2；纸盒的底面积=( a-2x)(b-2x)，（2 依题意有： 4 2=4 2将 =6， =4，代入上式，得 2=3解得即正方形的边长为 点拨：本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）利用长方形的面积减去四个正方形的面积，列出代数式；（2）根据剩余部分与减去部分面积间的关系，列出一元二次方程
