1、1第二章 对称图形圆单元测试题七1如图，AP 为O 的切线，P 为切点，若A=20，C、D 为圆周上的两点，且PDC=60，则OBC 等于（ ）A 55 B 65 C 70 D 752如图，直线 AB、 CD相交于点 O， AOD30，半径为 1cm的 P的圆心在射线 OA上，且与点O的距离为 6cm.如果 P以 1cm/s的速度沿由 A向 B的方向移动，那么多少 s后 P与直线 CD相切（ ）A 4s B 8s C 4s 或 6s D 4s 或 8s3已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积是（ ）.A 40 B 24 C 20 D 124如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等
2、于 20，则阴影部分的面积等于( )A 102 B 20 C 18 D 205已知 A、C、B 是O 上三点，若AOC=40，则ABC 的度数是( )A 10 B 20 C 40 D 806如图，BD 是O 的直径，点 A、C 在O 上， AB= C，AOB=60，则BDC 的度数是（ ）.A 60 B 45 C 35 D 307如图，A 是O 的圆周角，A=40，则BOC=( )A 140 B 40 C 80 D 6028如图，直径为 10的 A经过点 C(0，5)和点 O(0，0)， B是 y轴右侧 A优弧上一点，则cos OBC的值为( )A B C D 9如图，线段 AB是O 的直径，
3、弦 CDAB，CAB20 ，则AOD 等于( )A 120 B 140 C 150 D 16010如图，已知 、 、 、 、 E均在 O上，且 AC为直径，则的度数是（ ） A 30 B 45 C 60 D 911如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，半径为 2的P 的圆心 P的坐标为（3，0） ，将P沿 x轴正方向平移，使P 与 y轴相切，则平移的距离为 12如图，点 O是O 的圆心，点 A、B、C 在O 上，AOBC，AOB=42，则OAC 的度数是_13如图， AB是 O的直径，且弦 AC=3，圆周角 D=30，则弦 BC的长为_.14如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，交
4、AB的延长线于 D，且 CO=CD，则ACO=_315如图是一张电脑光盘的表面，两个圆的圆心都是点 O，大圆的弦 AB所在直线是小圆的切线，切点为 C已知大圆的半径为 5cm，小圆的半径为 1cm，则弦 AB的长度为 cm 16用一直径为 10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽可以制成一个不倒翁玩具，不倒翁的轴剖面图如图所示，圆锥的母线 AB与O 相切于点 B，不倒翁的顶点 A到桌面 L的最大距离是18cm若将圆锥形纸帽的表面全涂上颜色，则需要涂色部分的面积约为 cm 2（精确到1cm2） 17一个圆锥的侧面展开图是半径为 16，且圆心角为 90的扇形，则这个圆锥的底面半径为_18如图，AB
5、 是O 的直径，C、D 是O 上的点，CDB=30，过点 C作O 的切线交 AB的延长线于 E，则 sinE的值为_19如图， AB、 BC是 O的弦， OM BC交 AB于 M，若 AOC=100，则 AMO=_. 20圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 5cm，则这个圆锥的侧面积是_cm 2421如图，已知 PA、PB 切O 于 A、B 两点，连 AB，且 PA，PB 的长是方程 x22mx+3=0 的两根，AB=m试求：（1）O 的半径；（2）由 PA，PB， 围成图形（即阴影部分）的面积22已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值23如图所示，AB 是O 的直径，点
6、 C是 BD中点，COB=60，过点 C作 CEAD，交 AD的延长线于点 E （1）求证：CE 为O 的切线； （2）判断四边形 AOCD是否为菱形？并说明理由524如图所示，已知圆锥底面半径 r=10cm，母线长为 40cm（1）求它的侧面展开图的圆心角；（2）若一甲虫从 A点出发沿着圆锥侧面行到母线 SA的中点 B，求它所走的最短路线。25 【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知 为锐角，且 sin=13，求sin2 的值小娟是这样给小芸讲解的：构造如图 1所示的图形，在O 中，AB 是直径，点 C在O 上，所以ACB=90，作 CDAB 于D设BAC=，则 sin=13B
7、CA，可设 BC=x，则 AB=3x，【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图 1求出 sin2 的值；（写出完整的解答过程）（2）如图 2，已知点 M，N，P 为O 上的三点，且P=，sin=35，求 sin2 的值26如图，点 P是正方形 ABCD内一点，连接 PA， PB， PC将 PAB绕点 B顺时针旋转 90到PCB 的位置6（1）设 AB=m， PB=n（ m n） ，求 PAB旋转到 PCB 的过程中边 PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；（2）若 PA=2， PB=4， APB=135，求 PC的长27如图， ABC中， C=90，它的三边长是三个连续的正偶数，且 AC B
8、C.7(1)这个直角三角形的各边长；(2)若动点 Q从点 C出发，沿 CA方向以 1个单位长度/秒的速度运动，到达点 A停止运动，请运用尺规作图作出以点 Q为圆心， QC为半径，且与 AB边相切的圆，并求出此时点 Q的运动时间.(3) 若动点 Q从点 C出发，沿 CA方向以 1个单位长度/秒的速度运动,到达点 A停止 运动，以 Q为圆心、 QC长为半径作圆，请探究点 Q在整个运动过程中，运动时间 t为怎样的值时， Q与边 AB分别有 0个公共点、1 个公共点和 2个公共点？28如图，已知半圆 O，AB 为直径，P 为射线 AB上一点，过点 P作O 的切线，切点为 C点，D 为弧 AC上一点，连
9、接 BD、BC（1）求证：D=PCB；（2）若四边形 CDBP为平行四边形，求BPC 度数；（3）若 AB=8，PB=2，求 PC的长度.答案1B连接 OP，AP 是切线，APO=90，A=20，POA=90-20=70，PDC=60，POC=2PDC=120，BOC=POC-POA=50，OB=OC，OBC=OCB，OBC=（180-BOC）2=65，故选 B.82D解：由题意 CD与圆 P1相切于点 E， P1E CD又 AOD=30， r=1cm在 OEP1中 OP1=2PE=21=2cm又 OP=6cm P1P=6-2=4cm圆 P到达圆 P1需要时间为：41=4(s)，同理，当圆 P
10、在直线 CD的右侧时，所需的时间为（6+2）1=8(s)。综上可知： P与直线 CD相切时，时间为 4s或 8s，故选 D.点拨： P与 CD相切应有两种情况，一种是在射线 OA上，另一种在射线 OB上，设对应的圆的圆心分别在 P1， P2两点当 P在 P1点时，根据切线的性质，在直角 O P1E中，由 30的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得 O P1的长，进而求得 P P1的长，从而求得由 P到 P1移动的时间；根据 O P2=O P1，即可求得 P P2，也可以求得求得由 P到 P2移动的时间3C根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为 8cm，即底面圆的半径为 4cm，圆锥的高为 3cm
11、，所以圆锥的母线长= 2435，所以这个圆锥的侧面积= 12245=20(cm).故选 C4B试题解析：作出正方形 ABCD9AEF 中，AE=x，则 AF=x，EF= 2x，正八边形的边长是 2x则正方形的边长是（2+ ）x根据题意得： 2x（2+ ）x=20，解得：x 2= 10+=10（ -1） 则阴影部分的面积是：2x（2+ 2）x- 2 1x2=2（ +1）x 2=2（ +1）10（ 2-1）=20故选 B5B根据圆周角定理,得 ABC= 12 AOC=20.故选：B.6D试题分析：直接根据圆周角定理求解连结 OC，如图， AB= C，BDC= 12BOC= AOB=1260=30故
12、选：D7CA 是O 的圆周角，A=40，BOC=2A=80故选 C8B试题分析：连接 CD，由COD 为直角，根据 90的圆周角所对的弦为直径，可得出 CD为圆 A的直径，再利用同弧所对的圆周角相等得到CBO=CDO，在直角三角形 OCD中，由 CD=10，及 OC=5，10利用勾股定理求出 OD= ，然后利用余弦函数定义求出 cosCDO=cosCBO=故选 B9B试题分析：弦 CDAB，CAB20，所以 9027ACD,由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得AOD=140，故选 B10D解：连接 AB， BC， AC为直径， ABC=90， CBD= CAD， ABE= ACE， CAD+
13、EBD+ ACE= CBD+ EBD+ ABE= ABC=90故选 D111 或 5试题分析：当P 位于 y轴的左侧且与 y轴相切时，平移的距离为 1；当P 位于 y轴的右侧且与 y轴相切时，平移的距离为 51221AOB=42，ACB= 12AOB=21AOBC，OAC=ACB=21故答案为：211113 3 连接 OD利用直径所对的圆周角是直角及勾股定理求出 BC的长.解：连接 ODAB 是O 的直径，AC=3 ，D=30，ACB=90，D=ABC= 30，AB=6， 2369BCA.142 2.5，试题解析：如图，PD 切O 于点 C，OCPD，又OC=CD，COD=45，AO=CO，A
14、CO=22.5，154 6试题分析：连接 OA、OC；AB 切小圆于 C，OCAB；OCA=90，AC=BC= 21AB； RtOCA 中，OA=5cm，OC=1cm； 由勾股定理，得：AC= 2OA =2 6cm； AB=2AC=4 6cm 1216174cm 2直径为 10cm的玻璃球，玻璃球半径 OB=5，所以 AO=185=13，由勾股定理得，AB=12，BDAO=ABBO,BD= 6013ABO，圆锥底面半径=BD= 6013,圆锥底面周长=2 ,侧面面积= 122 60312= 721.点拨: 利用勾股定理可求得圆锥的母线长，进而过 B作出垂线，得到圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积
15、=底面周长母线长2本题是一道综合题，考查的知识点较多，利用了勾股定理，圆的周长公式、圆的面积公式和扇形的面积公式求解把实际问题转化为数学问题求解是本题的解题关键174设这个圆锥的底面半径为：r，由题意可得：90 =2r，解得：r=4，故答案为：4.18 12 连结 OC，如图，CDB=30，COB=2CDB=60，CE 为O 的切线，OCCE，OCE=90，E=30，sinE=sin30= 12，故答案为： 131950 AOC=2 B， AOC=100， B=50， OM BC， AMO= B=50，故答案为：502020试题分析：根据圆锥的侧面积公式可得这个圆锥的侧面积= 12245=20
16、（cm 2） 21 （1）OA=1；（2） 试题分析：用切线的性质及根的判别式求出 m的 值即 AB 的长，代入原方程得出两根即 PA、PB 的长，因 AB=PA=PB，ABP 为等边三角形，APB=60，则APO=30，再用正切公式求出 OA的长及圆的半径用正切求出 OP的长，四边形的度数和求出AOB 的度数，再求出AOB 和APB 的面积和，减去扇形 OAB的面积即为所求解：（1）连 OA，OB，PA=PB，=（2m） 243=0，m 2=3，m0，m= ，x 22 x+3=0，x 1=x2= ，PA=PB=AB= ，ABP 等边三角形，APB=60，APO=30，PA= ，OA=1；（2
17、）AOP=60，AOB=120，14S 阴 =S 四边形 OAPBS 扇形 OAB=2SAOP S 扇形 OAB=2 1 ，= 222：3.试题分析：根据正多边形的面积等于周长与边心距的乘积的一半，所以只需根据它们的周长计算其边心距；在由正多边形的半径、边心距和边长组成的直角三角形中，根据锐角三角函数的概念可以分别求得它们的边心距，再进一步 计算其面积，从而得到其比值试题解析：设它们的周长是 1根据题意，得正三角形的边长是 3，正六边形的边长是 6 ，则正三角形的边心距是 6，正六边形的边心距是 312 ，则正三角形的面积是 3，正六边形的面积是 4 则它们的面积比是 2：323 （1）证明见
18、解析（2）四边形 AOCD是菱形试题分析：（1）连接 OD，可证明AOD 为等边三角形，可得到EAO=COB，可证明 OCAE，可证得结论；（2）利用OCD 和AOD 都是等边三角形可证得结论试题解析：（1）连接 OD，如图，C 是 BD的中点，BOC=COD=60，AOD=60，且OA=OD，AOD 为等边三角形，EAB=COB，OCAE，OCE+AEC=180，CEAE，OCE=18090=90，即 OCEC，OC 为圆的半径，CE 为圆的切线；（2）四边形 AOCD是菱形，理由如下：由（1）可知AOD 和COD 均为等边三角形，15AD=AO=OC=CD，四边形 AOCD为菱形24 （1
19、）90；（2）20 5cm试题分析：（1）圆锥侧面积展开图的圆心角 rl360；（2）首先将圆锥的侧面进行展开，然后根据直角三角形的勾股定理进行计算，得出答案试题解析：（1） rl360=104360=90（2）根据侧面展开图可得：AB= 25cm25 （1）sin2= 429；（2）sin2=sinMON= 4试题分析：（1）如图 1中，O 中，AB 是直径，点 C在O 上，所以ACB=90，作 CDAB 于D设BAC=，则 sin= 3BCA，可设 BC=x，则 AB=3x利用面积法求出 CD，在 RtCOD 中，根据 sin2= O ，计算即可 （2）如图 2中，连接 NO，并延长交O
20、于点 Q，连接 MQ，MO，过点 M作 MRNO 于点 R首先证明MON=2Q=2，在 RtQMN 中，由 sin=35MN，设MN=3k，则 NQ=5k，易得 OM=12NQ=5k，可得 MQ=2QN=4k，由12MNMQ= NQMR，求出在 RtMRO 中，根据 sin2=sinMON=MRO，计算即可试题解析：（1）如图 1中，O 中，AB 是直径，点 C在O 上，所以ACB=90，作 CDAB 于D设BAC=，则 sin= 3BCA，可设 BC=x，则 AB=3x16AC=2ABC=2(3)x=2 x，1ACBC= ABCD，CD=23x，OA=OC，OAC=OCA=，COB=2，si
21、n2=CDO=429 （2）如图 2中，连接 NO，并延长交O 于点 Q，连接 MQ，MO，过点 M作 MRNO 于点 R在O 中，NMQ=90，Q=P=，MON=2Q=2，在 RtQMN 中，sin=35MNQ，设 MN=3k，则 NQ=5k，易得 OM=12NQ=k，MQ=2N=4k，1MQSQMRA，173k4k=5kMRMR=12k5，在 RtMRO 中，sin2=sinMON=1245kMRO26 （1） (m2-n2)；（2）6试题分析：(1)、根据旋转的性质可知：ABP 和CB ，从而得出阴影部分的面积等于扇形 ABC的面积减去扇形 BPP的面积；(2)、连接 PP，根据旋转的性
22、质得出PBP为等腰直角三角形，从而求出 PP的长度，根据APB=BPC，从而得出PPC 为直角三角形，从而根据勾股定理求出 PC的长度试题解析：(1)将 PAB绕点 B顺时针旋转 90到 PCB 的位置， PAB PCB， SPAB =SPCB ， S 阴影 =S 扇形 BAC-S 扇形 BPP = (m2-n2)；(2)连接 PP ，根据旋转的性质可知： APB CPB ， BP=BP =4， PC =PA=2， PBP =90， PBP是等腰 直角三角形， PP 2=PB2+PB2=32.又 BPC = BPA=135， PPC = BPC - BPP =135-45=90，即 PPC 是
23、直角三角形，PC= =6点拨：本题主要考查的就是旋转图形的性质、扇形的面积计算以及直角三角形的勾股定理在求不规则阴影部分的面积时，我们一般会将不规则图形转化为规则图形，然后再进行计算；在解决旋转问题的时候，一定要找准旋转前后不变的量以及旋转前后所对应的线段、角；在出现较大角的时候，我们往往会通过辅助线将角度进行拆分，方便我们进行解答27 （1）6,8,10；（2） t=3；（3）当 0 t3 时， Q与边 AB有 0个公共点，当 t=3或 4 t8 时， Q与边 AB有 1个公共点，18当 3 t4 时， Q与边 AB有 2个公共点.（1）根据直角 ABC的三边长是三个连续的正偶数，设最短的边
24、为 x，则另两边分别为 x+2,x+4.根据勾股定理得：（ x+4） 2=x2+(x+2)2，解得 x1=6,x2=-2（舍去） ，三边长分别是 6,8,10. （2）设 Q与 AB相切与点 P.根据切线的性质得： BPQ=90,由于 C=90,根据切线的判定得，BC与 Q 相切，根据切线长定理得， BC=BP=6， AP=4 设 CQ=x，则 AQ=8-x在 Rt 中，利用 勾股定理得： AQ2=PQ2+AP2，即 (8-x)2=x2+42解得： x=3，即 t=3 （3）根据（2）的求解，依据数形结合思想,易得：当 0 t3 时， Q与边 AB有 0个公共点；当t=3或 4 t8 时， Q
25、与边 AB有 1个公共点；当 3 t4 时， Q与边 AB有 2个公共点.（1）设最短的边为 x，则另两边分别为 x+2,x+4.根据题意，得：（ x+4） 2=x2+(x+2)2整理得 x2-4x-12=0，解得 x1=6,x2=-2（舍去）三边长分别是 6,8,10. （2）设 Q与 AB相切与点 P BPQ=90 C=90 BC与 Q 相切 BC=BP=6 AP=4 设 CQ=x，则 AQ=8-x AQ2=PQ2+AP219(8- x)2=x2+42 x=3即 t=3 （3）当 0 t3 时， Q与边 AB有 0个公共点，当 t=3或 4 t8 时， Q与边 AB有 1个公共点，当 3
26、t4 时， Q与边 AB有 2个公共点.28 （1）证明见解析；（2）30；(3)连接 OC，PC= 25.试题分析：（1）连接 AC，OC，得OAC=OCA，由 AB是直径得OCA+OCB=90由圆周角推论可得A=CDB，由切线性质可得OCB+PCB=90，从而可得答案；（2）由四边形 CDBP是平行四边形得D=P，又D=BCP，D=A，所以A=BCP=P，再由AB是直径得ACB=90，然后再由三角形的内角和定理即可得解；（3）由切线的性质得 OCP 是直角三角形，再由勾股定理可求出 PC的长.试题解析：（1）如图，连接 AC，OCD=AAB 是圆 O的直径ACB=90ACO+OCB=9020CP 是切线OCP=90OCB+PCB=90ACO=PCBOA=OCOAC=OCAD=PCB;(2)四边形 CDBP是平行四边形D=BPCA=D=BPC=PCB又A+ACB+BCP+BPC=180,且ACB=90BPC=30(3)AB=8OC=OB=4在 RtOCP 中，OC=4，OP=OB+BP=4+2=6PC= 22645OPC
