1、1安平中学 2017-2018 学年第二学期期中考试高二数学(文科)试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1.1.若 a， b 是任意实数，且 ab，则下列不等式成立的是( )A. a2b2 B. C. lg(a b)0 D. (【答案】D【解析】试题分析：A 中 不成立，B 中 不成立，C 中 不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的考点：不等式性质2.2.将参数方程 ( 为参数)化为普通方程是( )A. y x2 B. y x2C. y x2(2 x3) D. y x2(0 y1)【答案】C【解析】分析
2、：先根据代入消元法消参数，再根据三角函数有界性确定范围.详解：因为 ，所以 y x2，因为 ，所以 2 x3,因此选 C.点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法 2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影响3.3.设 a、 bR，则“( a b)a20,则 + 的最小值为 .【答案】【解析】由 a+b=2,b0.则 + = + = + + ,由 a0,若 a0,则原式= + + +2 = .当且仅当 b=2a= 时,等号成立.若 a0,则原式=- - - - +2 = .9当且仅当 b=
3、-2a 即 a=-2,b=4 时等号成立.综上得当 a=-2,b=4 时, + 取最小值 .三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤).17. 将下列参数方程化为普通方程：（1） （ 为参数） ；（2） （为参数）.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）分别分离处参数中的 ，根据同角三角函数的基本关系式，即可消去参数得到普通方程；（2）由参数方程中 求出，代入整理即可得到其普通方程.试题解析：（1） ， ，两边平方相加，得 ，即 .（2） ，由 代入 ，得 ， .考点：曲线的参数方程与普通方程的互化.18.18.曲线 C1的参数
4、方程为 ( 为参数),将曲线 C1上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标伸长为原来的 倍,得到曲线 C2.以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l:(cos-2sin)=6.(1)求曲线 C2和直线 l 的普通方程.(2)P 为曲线 C2上任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最值.10【答案】(1) =1, x-2y-6=0.(2) 点 P 到直线 l 的距离的最大值为 2 ,最小值为 .【解析】【分析】（1）先根据变换得到 ，再利用 把直线的极坐标方程改成直角方程.（2）利用 的参数方程为 设出动点 ，再利用点到
5、直线的距离公式得到距离的表达式后可得其最大值和最小值.【详解】(1)由题意可得 的参数方程为 (为参数)，即.直线 化为直角坐标方程为 .(2)设点 ，由点到直线的距离公式得点 到直线的距离为因为 ，故而 .【点睛】一般地，当点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用含参数的代数式表示动点的横纵坐标.比如，动点在椭圆 ，可设动点为 ，又如动点在双曲线 ，可设动点为 .19.19.已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ( 为参数),直线 l经过定点 P(3,5),倾斜角为 .(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程.(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求 |P
6、A|PB|的值.11【答案】(1) , x2+y2-2x-4y-11=0.(2)3.【解析】【分析】（1）利用公式写出直线的参数方程.再利用平方消元法消去曲线 的参数可得曲线 的直角方程.（2）利用直线参数方程 中参数的几何意义把 归结为 ，其中 是把直线的参数方程代入曲线 后得到的关于参数的方程的两个根.【详解】(1)由曲线 的参数方程 (为参数)，得普通方程为，即 .直线经过定点 ，倾斜角为 ,直线的参数方程为 (是参数).(2)将直线的参数方程代入 ，整理得 ，设方程的两根分别为 ，则 ，因为直线与曲线 相交于 两点,所以 .【点睛】如果直线的参数方程是 （是参数且 ， 是直线的倾斜角）
7、 ，那么 表示 与 之间的距离因此，在参数方程中，针对直线上的动点到定点的距离和、积或差等问题（动点和定点都在该直线上） ，可用直线的参数方程结合韦达定理来考虑20.20.已知 a， b， c 为正实数，且 a b c2.(1)求证： ab bc ac ；(2)若 a， b， c 都小于 1，求 a2 b2 c2的取值范围【答案】(1)见解析.12(2) .【解析】【分析】（1） 可变形为 ，利用基本不等式可证（2） 可变形为 ，利用基本不等式可以得到，再根据 ， ， 可以得到 ， ， ，从而，故可求所需范围【详解】 （1）证明： ， ，又 ，所以 ，故 ，也就是 (2)解：由题意可知， ，
8、，也就是 ，当且仅当 时取等号， ， .同理 ， . ， ， 的取值范围为 .【点睛】基本不等式 有如下变形：（1） （ ） ；（2） ；上述不等式体现了代数式和与积两种形式之间的转化，解题中注意对代数式和或积的结构分析.1321.21.已知曲线 ： ，直线： （为参数）.（1）写出曲线 的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线 上任一点 作与夹角为 的直线，交于点 ，求 的最大值与最小值.【答案】 （1）曲线的参数方程为 为参数） ；直线的普通方程为 2x+y-6=0.（2）最大值为 ；最小值为 【解析】试题分析：（1）由平方关系和曲线 方程写出曲线 的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程
9、；（2）由曲线 的参数方程设曲线上 任意一点 的坐标，利用点到直线的距离公式求出点 直线的距离，利用正弦函数求出 ，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出 的最大值与最小值试题解析：（1）曲线 的参数方程为 ， （为参数） ，直线的普通方程为 （2）曲线 上任意一点 到的距离为 则 ，其中 为锐角，且 ，当 时， 取得最大值，最大值为 当 时， 取得最小值，最小值为 考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程22.22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数）M 是 C1上的动点，P 点满足 ,P 点的轨迹为曲线 C2（1）求 C2的方程（2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1的异于极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求 .【答案】 （1） （ 为参数）（2）14【解析】（I）设 P(x,y),则由条件知 M( ).由于 M 点在 C1上，所以即从而 的参数方程为（ 为参数）（2）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 。射线 与 的交点 的极径为 ，射线 与 的交点 的极径为 。所以 .
