1、1全等在几何探究题中的应用深度练习1(2018襄阳)如图，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F.(1)证明与推断：求证：四边形 CEGF 是正方形；推断： 的值为_； AGBE(2)探究与证明：将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角(045)，如图所示，试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图所示，延长 CG 交 AD 于点 H.若AG6，GH2 ，则 BC_22(2018益阳)如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD
2、 的中点，以点 E 为直角顶点的直角三角形 EFG 的两边EF，EG 分别过点 B，C，F30.(1)求证：BECE；(2)将EFG 绕点 E 按顺时针方向旋转，当旋转到 EF 与 AD 重合时停止转动，若 EF，EG 分别与 AB，BC 相交于点 M，N(如图)求证：BEMCEN；若 AB2，求BMN 面积的最大值；当旋转停止时，点 B 恰好在 FG 上(如图)，求 sinEBG 的值2参考答案1(1)证明： 四边形 ABCD 是正方形，BCD90，BCA45.GEBC，GFCD，CEGCFGECF90.3四边形 CEGF 是矩形，CGEECG45.EGEC.四边形 CEGF 是正方形 .A
3、GBE 2(2)解：如解图，连接 CG，由旋转性质可知BCEACG.在 RtCEG 和 RtCBA 中， cos 45 ， cos 45 .CECG 22 CBCA 22 .ACGBCE. .CGCE CACB 2 AGBE CACB 2线段 AG 与 BE 之间的数量关系为 AG BE.2(3)解：如解图，连接 DF，由(2)知BCEACG，BECAGC.四边形 CEGF 是正方形，CEFCFECGF 45，CGEF.BEC180CEF135，AGC135.AGCCGF13545180.A，G，F 三点在一条直线上又BCDECF90，BCEDCF.而 BCDC，ECFC，第 1 题解图BEC
4、DFC(SAS)BEDF，BECDFC. ，AG6，AGBE 2BEDF3 .2BEC135，CFE45，BFDDFCCFE1354590.又 CHBF，CHDF.AGHAFD. .GHFD AGAF AHAD4 .2 23 2 66 GF AHADGF3， .AHAD 23设 AH2x，则 AD3x，DHx.又由正方形 ABCD 和正方形 CEGF，知 ADCD3x，GC GF3 ，2 2在 RtCDH 中，由 DH2CD 2CH 2，得 x2(3x) 2(2 3 )2，2 2解得 x1 ，x 2 (不合题意，舍去)5 5AD3 ，即 BC3 .5 5故答案为 3 .52解：(1)矩形 AB
5、CD，ABDC，AD90，AEDE，ABEDCE，BECE；(2)AEBABE90，AEBCED90，第 2 题解图ABECED，CEDECB，ABEECB，BECMEN90，BEMCEN，由(1)得 BECE，BEMCEN；由(1)得ABEDCE，BEACED，ABECED，BEAABE，ABAEDE2，设 BMx，由得BEMCEN，BMCNx，BN4x，BMN 面积 x(4x) (x2) 22，又 0x2，当 x2 时，BMN 面积最大，最大值为 2.12 12如解图，过点 E 作 EHFG 于点 H.在 RtABF 中，F30，AB2，FA2 ，FEFAAE2 2，3 3EH 1，35在 RtBEH 中，BE2 ，2sinEBG . EHBE 3 12 2 6 24
