1、1第一节 角、相交线与平行线1.2014 河南,3涉及考点:角平分线、直角如图,直线 AB,CD 相交于点 O,射线 OM 平分AOC,ONOM.若AOM=35,则CON 的度数为( )A.35 B.45 C.55 D.65(第 1 题) (第 2 题)2.2018 河南,12涉及考点:直角、补角如图,直线 AB,CD 相交于点 O,EOAB 于点 O,EOD=50,则BOC 的度数为 . 3.2010 河南,10涉及考点:三角形内角和定理的推论将一副直角三角板如图放置,使含 30角的三角板的短直角边和含 45角的三角板的一条直角边重合,则1 的度数为 . 4.2015 河南,4涉及考点:平行
2、线的性质、补角如图,直线 a,b 被直线 c,d 所截,若1=2,3=125,则4 的度数为( )A.55 B.60C.70 D.755.2011 河南,2涉及考点:平行线的性质、补角如图,直线 a,b 被直线 c 所截,ab,若1=35,则2 的大小为( )A.35 B.145C.55 D.125(第 5 题) (第 6 题)6.2013 河南,10涉及考点:平行线的性质将一副直角三角板 ABC 和 EDF 如图放置(其中A=60,F=45),使点 E 落在 AC 边上,且EDBC,则CEF 的度数为 . 2第二节 三角形及其性质1.2016 河南,6涉及考点:垂直平分线、勾股定理、中位线如
3、图,在ABC 中,ACB=90,AC=8,AB=10.DE 垂直平分 AC 交 AB 于点 E,则 DE 的长为( )A.6 B.5 C.4 D.3(第 1 题) (第 2 题)2.2011 河南,8涉及考点:等腰三角形的性质、角平分线如图,在ABC 中,AB=AC,CD 平分ACB,A=36,则BDC 的度数为 . 3.2017 河南,15涉及考点:折叠、勾股定理如图,在 RtABC 中,A=90,AB=AC,BC= +1,点 M,N 分别是边 BC,AB 上的动点,沿 MN 所在2的直线折叠B,使点 B 的对应点 B始终落在边 AC 上.若MBC 为直角三角形,则 BM 的长为 . 4.2
4、012 河南,15涉及考点:折叠、三角函数如图,在 RtABC 中,ACB=90,B=30,BC=3.点 D 是 BC 边上一动点 (不与点 B,C 重合),过点 D 作 DEBC 交 AB 边于点 E,将B 沿直线 DE 翻折,点 B 落在射线 BC 上的点 F 处.当AEF为直角三角形时,BD 的长为 . 5.2010 河南,15涉及考点:切线、三角函数如图,RtABC 中,C=90,ABC=30,AB=6,点 D 在 AB 边上,点 E 是 BC 边上一点(不与点B,C 重合),且 DA=DE,则 AD 的取值范围是 . 第三节 全等三角形1.2009 河南,17涉及考点:全等三角形的判
5、定与性质、垂直平分线3如图所示,BAC=ABD,AC=BD,点 O 是 AD,BC 的交点,点 E 是 AB 的中点.试判断 OE 和 AB 的位置关系,并给出证明.2.2010 河南,17涉及考点:等腰三角形、轴对称、全等三角形的判定如图,四边形 ABCD 是平行四边形,ABC 和ABC 关于 AC 所在的直线对称,AD 和 BC 相交于点 O,连接 BB.(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母);(2)求证:ABOCDO.3.2017 河南,22涉及考点:等腰直角三角形、旋转、全等三角形的判定与性质如图(1),在 RtABC 中,A=90,AB=AC,点 D,E 分别在边 AB,
6、AC 上,AD=AE,连接 DC,点M,P,N 分别为 DE,DC,BC 的中点.(1)观察猜想图(1)中,线段 PM 与 PN 的数量关系是 ,位置关系是 . (2)探究证明把ADE 绕点 A 逆时针旋转到图(2)的位置,连接 MN,BD,CE,判断PMN 的形状,并说明理由.4(3)拓展延伸把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转,若 AD=4,AB=10,请直接写出PMN 面积的最大值.图(1) 图(2)4.2016 河南,22涉及考点:线段和差、等边三角形、全等三角形的判定与性质(1)发现图(1)如图(1),点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=a,AB=b.填空:当点 A 位于 时,
7、线段 AC 的长取得最大值,且最大值为 (用含 a,b 的式子表示). (2)应用点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=3,AB=1.如图(2)所示,分别以 AB,AC 为边,作等边三角形 ABD和图(2)等边三角形 ACE,连接 CD,BE.请找出图中与 BE 相等的线段,并说明理由;直接写出线段 BE 长的最大值.(3)拓展如图(3),在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(5,0),点 P 为线段 AB 外一动点,且 PA=2,PM=PB,BPM=90.请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标.图(3) 备用图55.2014 河南,22涉及考点:
8、等边三角形、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质、圆(1)问题发现如图(1),ACB 和DCE 均为等边三角形,点 A,D,E 在同一直线上,连接 BE.填空:AEB 的度数为 ; 线段 AD,BE 之间的数量关系为 . (2)拓展探究如图(2),ACB 和DCE 均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,点 A,D,E 在同一直线上,CM 为DCE 中 DE 边上的高,连接 BE.请判断AEB 的度数及线段 CM,AE,BE 之间的数量关系,并说明理由.(3)解决问题如图(3),在正方形 ABCD 中,CD= .若点 P 满足 PD=1,且BPD=90,请直接写出点 A 到 BP2的距离.
9、图(1) 图(2) 图(3)第四节 相似三角形1.2010 河南,4涉及考点:中位线、平行线分线段成比例如图,ABC 中,点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,则下列结论:BC=2DE;ADEABC; = .其中正确的有( )6A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个(第 1 题) (第 2 题)2.2015 河南,10涉及考点:平行线分线段成比例、解方程如图,ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,DEAC.若 BD=4,DA=2,BE=3,则 EC= . 3.2012 河南,14涉及考点:旋转、相似三角形的判定与性质、三角形面积如图,在 RtABC 中,C=90,AC=6
10、,BC=8.把ABC 绕 AB 边上的点 D 顺时针旋转 90后得到ABC,AC交 AB 于点 E.若 AD=BE,则ADE 的面积是 . 4.2018 河南,22涉及考点:全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理(1)问题发现如图(1),在OAB 和OCD 中,OA=OB,OC=OD,AOB=COD=40,连接 AC,BD 交于点 M.填空: 的值为 ; AMB 的度数为 . (2)类比探究如图(2),在OAB 和OCD 中,AOB=COD=90,OAB=OCD=30,连接 AC,交 BD 的延长线于点 M.请判断 的值及AMB 的度数,并说明理由.(3)拓展延伸在(2)的条
11、件下,将OCD 绕点 O 在平面内旋转,AC,BD 所在直线交于点 M.若 OD=1,OB= ,请7直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长.图(1) 图(2)备用图75.2015 河南,22涉及考点:相似三角形的判定与性质、旋转、勾股定理如图(1),在 RtABC 中,B=90,BC=2AB=8,点 D,E 分别是边 BC,AC 的中点,连接 DE.将EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转,记旋转角为 .(1)问题发现当 =0时, = ; 当 =180时, = . (2)拓展探究试判断:当 00),则 的值是 (用含 m 的代数式表示),试 写出解答过程. (3)拓展迁移如图(3),梯形
12、ABCD 中,DCAB,点 E 是 BC 的延长线上一点,AE 和 BD 相交于点 F.若 =a,=b(a0,b0),则 的值是 (用含 a,b 的代数式表示). 图(1)图(2)图(3)第五节 锐角三角函数及其应用9类型一 背对背型1.2016 河南,19如图,小东在教学楼距地面 9 米高的窗口 C 处,测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 37,旗杆底部 B 点的俯角为 45.升旗时,国旗上端悬挂在距地面 2.25 米处.若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放 45 秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sin 370.60,cos 370.80,tan 370
13、.75)类型二 母子型2.2017 河南,19如图所示,我国两艘海监船 A,B 在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船 C.此时,B 船在 A 船的正南方向 5 n mile 处,A 船测得渔船 C 在其南偏东 45方向,B 船测得渔船 C 在其南偏东 53方向.已知 A 船的航速为 30 n mile/h,B 船的航速为 25 n mile/h,问 C 船至少要等待多长时间才能得到救援.(参考数据:sin 53 ,cos 53 ,tan 53 , 1.41)45 35 43 23.2015 河南,20如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度,
14、他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30,朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处,在 A 处测得大10树顶端 B 的仰角是 48.若坡角FAE=30,求大树的高度.(结果保留整数.参考数据:sin 480.74,cos 480.67,tan 481.11, 1.73)34.2014 河南,19如图,在中俄“海上联合2014”反潜演习中,我军舰 A 测得潜艇 C 的俯角为 30,位于军舰 A 正上方 1 000 米的反潜直升机 B 测得潜艇 C 的俯角为 68.试根据以上数据求出潜艇 C 离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据:sin 680.9,cos 680.4,tan
15、 682.5, 1.7)3115.2013 河南,19我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的 162 米增加到 176.6 米,以抬高蓄水位.如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为 BE,背水坡坡角BAE=68,新坝体的高为 DE,背水坡坡角DCE=60.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC(结果精确到 0.1 米.参考数据:sin 680.93,cos 680.37,tan 682.48, 1.73).36.2012 河南,20某宾馆为庆祝开业,在楼前悬挂了许多宣传条幅.如图所示,一条幅从楼顶A 处放下
16、,在楼前点 C 处拉直固定.小明为了测量此条幅的长度,他先在楼前 D 处测得楼顶 A点的仰角为 31,再沿 DB 方向前进 16 米到达 E 处,测得点 A 的仰角为 45.已知点 C 到大厦的距离 BC=7 米,ABD=90.请根据以上数据求条幅的长度(结果保留整数.参考数据:tan 310.60,sin 310.52,cos 310.86).127.2011 河南,19如图所示,中原福塔(河南广播电视塔)是世界第一高钢塔.小明所在的课外活动小组在距地面 268 米高的室外观光层的点 D 处,测得地面上点 B 的俯角 为 45,点 D 到 AO 的距离 DG 为 10 米;从地面上的点 B
17、沿 BO 方向走 50 米到达点 C 处,测得塔尖 A 的仰角 为 60.请你根据以上数据计算塔高 AO,并求出计算结果与实际塔高 388 米之间的误差.(参考数据: 1.732, 1.414,结果精确到 0.1 米)3 28.2009 河南,20如图所示,电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2.90 m 的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成,每个矩形面的长都被六条踏板七等分,使用时梯脚的固定跨度为 1 m,矩形面与地面所成的角 为 78.李师傅的身高为 1.78 m,当他攀升到头顶距天花板 0.050.20 m 时,安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上,请你通过计算判断他
18、安装是否比较方便?(参考数据:sin 780.98,cos 780.21,tan 784.70)13类型三 其他类型9.2018 河南,20“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,如图(1),运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图(2)所示,底座上 A,B 两点间的距离为 90 cm,低杠上点 C 到直线 AB 的距离 CE 的长为155 cm,高杠上点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234 cm,已知低杠的支架 AC 与直线 AB 的夹角CAE
19、 为 82.4,高杠的支架 BD 与直线 AB 的夹角DBF 为 80.3.求高、低杠间的水平距离 CH 的长.(结果精确到 1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.495,sin 80.30.986,cos 80.30.168,tan 80.35.850)图(1) 图(2)参考答案第一节 角、相交线与平行线1.C 射线 OM 平分AOC,MOC=AOM=35.ONOM,MON=90,CON=90-35=55.2.140 EOAB,EOD+BOD=90,BOD=90-EOD=40,BOC=180-BOD=140.3.75 1=45+30=
20、75.4.A 如图,1=2,ab,4=5=180-3=180-125=55.5.B 根据两直线平行,同位角相等,得2 的补角为 35,所以2=180-35=145.6.15 在 RtABC 中,A=60,ACB=30.在 RtDEF 中,F=45,DEF=45.DEBC,DEC=ACB=30,CEF=DEF-DEC=45-30=15.第二节 三角形及其性质1.D 根据题意可知,DE 是 AC 的垂直平分线,ACB=90,DEBC,DE 是ABC 的中位14线.BC= =6,DE= BC=3.故选 D.2-2122.72 因为 AB=AC,所以B=ACB= (180-A)=72.因为 CD 平分
21、ACB,所以12ACD=36,所以BDC=A+ACD=72.3. 或 1 A=90,AB=AC,B=C=45.由折叠的性质可得,2+12BMN=BMN,BNM=BNM,BM=BM.分两种情况:(1)当BMC=90时,BMN+BMN=90,BMN=45.B=45,BNM=90,BNM=90,B,N,B三点共线.点 B在边 AC 上,点 B与点 A 重合,此时点 N 是 AB 的中点.BAC=90,BNM=BAC,NMAC,NM 是ABC 的中位线,BM= BC= .(2)当CBM=90时,12 2+12C=45,BMC=45,BM=BC.设 BM=x,则 BM=BC=x,CM= +1-x.在等腰
22、直角三角2形 MBC 中,CM= BM,即 +1-x= x,解得 x=1,BM=1.综上所述,BM 的长为 或 1.2 2 22+124.1 或 2 AC=BCtan 30= .分三种情况.当AFE=90时,AFC=180-AFE-3EFD=180-AFE-B=60,FAC=30,FC=ACtan 30=1,BD=DF= BF= (BC-12 12FC)=1.当EAF=90时,点 F 在点 C 的右侧,AFC=90-B=60,CF= =1,BD=DF= BF= (BC+FC)= 2.AEF=180-DEF-BED=180-tan60 12 122BED=60,AEF 不可能为直角.故答案为 1
23、 或 2.5.2AD3 以点 D 为圆心,AD 的长为半径画圆.如图(1),当D 与 BC 相切,即 DEBC 时,AD 取得最小值.ABC=30,DE= BD.AB=6,AD=DE,AD=2;如图(2),当D 与 BC 相12交,且交点为 B,C 时,AD 取得最大值,为 AB=3.故 AD 的取值范围为 2AD3.12图(1) 图(2)第三节 全等三角形1.OEAB.证明:在BAC 和ABD 中,=,=,=, BACABD,OBA=OAB,OB=OA.又AE=BE,OEAB.2.(1)ABB,AOC 和BBC.(2)证明:在ABCD 中,AB=DC,ABC=D,由轴对称知,AB=AB,AB
24、C=ABC,15AB=CD,ABO=D.在ABO 和CDO 中,=,=,=, ABOCDO.3.(1)PM=PN PMPN(2)等腰直角三角形.理由如下:由旋转可得,BAD=CAE.又 AB=AC,AD=AE,BADCAE,BD=CE,ABD=ACE.点 P,M 分别是 DC,DE 的中点,PM 是DCE 的中位线,PM= CE 且 PMCE.12同理可证 PN= BD 且 PNBD,12PM=PN,MPD=ECD,PNC=DBC,MPD=ECD=ACD+ACE=ACD+ABD,DPN=PNC+PCN=DBC+PCN,MPN=MPD+DPN=ACD+ABD+DBC+PCN=ABC+ACB=90
25、,即PMN 为等腰直角三角形.(3) .4924.(1)CB 的延长线上 a+b(2)DC=BE.理由如下:ABD 和ACE 都为等边三角形,AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=60,BAD+BAC=CAE+BAC,即CAD=EAB,CADEAB,DC=BE.BE 长的最大值是 4.(3)线段 AM 的最大值为 3+2 ,此时点 P 的坐标为(2- , ).2 2 25.(1)60 AD=BE(2)AEB=90,AE=2CM+BE.理由:ACB 和DCE 均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,AC=BC,CD=CE,ACB-DCB=DCE-DCB,即ACD=BCE,ACDBCE,AD=
26、BE,BEC=ADC.ADC=DCE+CED,AEB=BEC-CED=ADC-CED=DCE=90.在等腰直角三角形 DCE 中,CM 为斜边 DE 上的高,16CM=DM=ME,DE=2CM,AE=DE+AD=2CM+BE.(3) 或 .3-12 3+12第四节 相似三角形1.A 由题意得,DE 是ABC 的中位线,DE= BC,DEBC,BC=2DE,ADEABC, = ,即12 = .故正确的结论有 3 个,选 A.2. DEAC, = ,即 = ,EC= .32 44+2 33+ 323.6 由旋转可知ADA=90,ADE=90,ADE=ACB,又DAE=CAB,ADEACB, = ,
27、设 AD=AD=x,AC=AC=6,BC=BC=8,DE= x,又AB= = =10,x+ x+x=10,解43 2+2 62+82 43得 x=3, DE= x=4,S ADE = ADDE= 34=6.43 12 124.(1)140(2) = ,AMB=90.3理由如下:AOB=COD=90,OAB=OCD=30, = = ,COD+AOD=AOB+AOD,即AOC=BOD,3AOCBOD, = = ,CAO=DBO.3设 AO,BM 交于点 N,ANM=BNO,AMB=AOB=90.(3)AC 的长为 2 或 3 .3 35.(1)5252(2)无变化.证明:在题图(1)中,DE 是A
28、BC 的中位线,DEAB, = ,EDC=B=90.如题图(2),EDC 在旋转过程中形状、大小不变,17 = 仍然成立,即 = ,又ACE=BCD=,ACEBCD, = .在 RtABC 中,AC= = =4 ,2+2 42+82 5 = = ,458 52 = ,52 的大小无变化.(3)4 或 .512556.(1)AB=3EH CG=2EH 32(2)2作 EHAB 交 BG 于点 H,则EFHAFB, = =m,AB=mEH.AB=CD,CD=mEH.EHABCD,BEHBCG, = =2,CG=2EH, = = .22(3)ab(提示:过 E 作 EHAB 交 BD 的延长线于点
29、H)第五节 锐角三角函数及其应用1.过点 C 作 CDAB,垂足为点 D,则 DB=9 米.在 RtCBD 中,BCD=45,CD= =9(米).tan45在 RtACD 中,ACD=37,AD=CDtan 3790.75=6.75(米),AB=AD+BD=6.75+9=15.75(米).(15.75-2.25)45=0.3(米/秒),故国旗应以约 0.3 米/秒的速度匀速上升.2.过点 C 作 CDAB,交 AB 的延长线于点 D,则CDA=90.已知CAD=45,设 CD=x n mile,则 AD=CD=x n mile,BD=AD-AB=(x-5)n mile.18在 RtBDC 中,
30、CD=BDtan 53,即 x=(x-5)tan 53,x= =20,5tan53tan53-154343-1BC= = =25(n mile),sin53sin532045B 船到达 C 船处约需 2525=1(h).在 RtADC 中,AC= x1.4120=28.2(n mile),2A 船到达 C 船处约需 28.230=0.94(h).0.941,C 船至少要等待约 0.94 h 才能得到救援.3.延长 BD 交 AE 于点 G,过点 D 作 DHAE 于点 H.由题意知BGA=DAE=30,DA=6,GD=DA=6,GH=AH=DAcos 30=6 =3 ,32 3GA=6 .3设
31、 BC 的长为 x 米.在 RtGBC 中,GC= = = x.tantan303在 RtABC 中,AC= = .tantan48GC-AC=GA, x- =6 ,3tan483x13,即大树的高度约为 13 米.4.过点 C 作 CDAB,交 BA 的延长线于点 D,则 AD 即为潜艇 C 的下潜深度.根据题意得ACD=30,BCD=68.设 AD=x,则 BD=BA+AD=1 000+x.在 RtACD 中,CD= = = x,tantan303在 RtBCD 中,BD=CDtan 68,1 000+x= xtan 68,3x= 308,10003tan68-1 10001.72.5-1
32、潜艇 C 离开海平面的下潜深度约为 308 米.5.在 RtBAE 中,BAE=68,BE=162 米,AE= 65.32(米).tan1622.48在 RtDCE 中,DCE=60,DE=176.6 米,19CE= 102.08( 米),tan176.61.73AC=CE-AE=102.08-65.32=36.7636.8(米).即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC 约为 36.8 米.6.设 AB=x 米.AEB=45,ABE=90,BE=AB=x 米.在 RtABD 中,tanD= ,即 tan 31= , +16x= =24,即 AB24 米.16tan311-tan3116
33、0.601-0.60在 RtABC 中,AC= = =25(米),2+2 72+242即条幅的长度约为 25 米.7.DEBO,=45,DBF=45,在 RtDBF 中,BF=DF=268.BC=50,CF=BF-BC=268-50=218.由题意知,四边形 DFOG 是矩形,FO=DG=10,CO=CF+FO=218+10=228.在 RtACO 中,=60,AO=COtan 602281.732394.9.394.9-388=6.9,即塔高 AO 约为 394.9 米,计算结果与实际塔高 388 米之间的误差为 6.9 米.8.如图,过点 A 作 AEBC 于点 E,过点 D 作 DFBC
34、 于点 F.AB=AC,CE= BC=0.5.12在 RtAEC 中,tan 78= ,AE=ECtan 780.54.70=2.35.又sin = = ,DF= AE= AE1.007, 37李师傅站在第三级踏板上时,头顶距地面的距离约为 1.007+1.78=2.787,20头顶与天花板的距离约为 2.90-2.7870.11.0.050.110.20,此时他安装比较方便.9.在 RtCAE 中,AE= = 20.7(cm).tan155tan82.41557.495在 RtDBF 中,BF= = =40(cm).tan234tan80.32345.850故 EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151(cm).易知四边形 CEFH 为矩形,CH=EF=151 cm,即高、低杠间的水平距离 CH 的长约是 151 cm.
