1、1方法技巧专题(六) 中点联想训练【方法解读】1 .与中点有关的定理:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .(2)等腰三角形“三线合一”的性质 .(3)三角形的中位线定理 .(4)垂径定理及其推论 .2.与中点有关的辅助线:(1)构造三角形的中位线,如连结三角形两边的中点;取一边的中点,然后与另一边的中点相连结;过三角形一边的中点作另一边的平行线等等 .(2)延长角平分线的垂线,构造等腰三角形,利用等腰三角形的“三线合一” .(3)把三角形的中线延长一倍,构造平行四边形 .1.2018南充 如图 F6-1,在 Rt ABC 中, ACB=90, A=30,D,E,F 分别为 AB,AC
2、,AD 的中点,若 BC=2,则 EF 的长度为( )图 F6-1A. B.1 C. D.12 32 32.2017株洲 如图 F6-2,点 E,F,G,H 分别为四边形 ABCD 四条边 AB,BC,CD,DA 的中点,则下列关于四边形 EFGH 的说法正确的是( )2图 F6-2A.一定不是平行四边形B.一定不会是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当 AC=BD 时,它为矩形3.2018荆门 如图 F6-3,等腰直角三角形 ABC 中,斜边 AB 的长为 2,O 为 AB 的中点, P 为 AC 边上的动点, OQ OP 交BC 于点 Q,M 为 PQ 的中点,当点 P 从点 A 运动到
3、点 C 时,点 M 所经过的路线长为 ( )图 F6-3A. B. C.1 D.224 224.如图 F6-4,在正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中,点 D 在 CG 上, BC=1,CE=3,H 是 AF 的中点,那么 CH 的长是 ( )图 F6-4A.2.5 B. C. D.253225.2018眉山 如图 F6-5,在 ABCD 中, CD=2AD,BE AD 于点 E,F 为 DC 的中点,连结 EF,BF,下列结论: ABC=2 ABF; EF=BF; S 四边形 DEBC=2S EFB; CFE=3 DEF.其中正确的结论有 ( )3图 F6-5A.1 个 B.2 个C.3
4、 个 D.4 个6.2018苏州 如图 F6-6,在 ABC 中,延长 BC 至点 D,使得 CD= BC.过 AC 的中点 E 作 EF CD(点 F 位于点 E 右侧),12且 EF=2CD.连结 DF,若 AB=8,则 DF 的长为 . 图 F6-67.2018天津 如图 F6-7,在边长为 4 的等边三角形 ABC 中, D,E 分别为 AB,BC 的中点, EF AC 于点 F,G 为 EF 的中点,连结 DG,则 DG 的长为 . 图 F6-78.2018哈尔滨 如图 F6-8,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,AB=OB,点 E,F 分别是 OA,OD
5、 的中点,连结 EF, CEF=45,EM BC 于点 M,EM 交 BD 于点 N,FN= ,则线段 BC 的长为 . 10图 F6-89.2018德阳 如图 F6-9,点 D 为 ABC 的 AB 边上的中点,点 E 为 AD 的中点, ADC 为正三角形,给出下列结论, CB=2CE,tan B= , ECD= DCB,若 AC=2,点 P 是 AB 上一动点,点 P 到 AC,BC 边的距离分别为 d1,d2,则 + 的最34 2122小值是 3.其中正确的结论是 (填写正确结论的序号) . 4图 F6-910.2017徐州 如图 F6-10,在平行四边形 ABCD 中,点 O 是边
6、BC 的中点,连结 DO 并延长,交 AB 的延长线于点 E.连结BD,EC.(1)求证:四边形 BECD 是平行四边形;(2)若 A=50,则当 BOD= 时,四边形 BECD 是矩形 . 图 F6-1011.2017成都 如图 F6-11,在 ABC 中, AB=AC,以 AB 为直径作圆 O,分别交 BC 于点 D,交 CA 的延长线于点 E,过点 D作 DH AC 于点 H,连结 DE 交线段 OA 于点 F.(1)求证: DH 是 O 的切线;(2)若 A 为 EH 的中点,求 的值 ;(3)若 EA=EF=1,求 O 的半径 .5图 F6-1112.2018淄博 (1)操作发现:如
7、图 F6-12,小明画了一个等腰三角形 ABC,其中 AB=AC,在 ABC 的外侧分别以 AB,AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取 BD,CE,BC 的中点 M,N,G,连结 GM,GN,小明发现:线段 GM 与 GN 的数量关系是 ;位置关系是 . (2)类比思考:如图,小明在此基础上进行了深入思考,把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形,其中 ABAC,其他条件不变,小明发现上述的结论还成立吗?请说明理由 .(3)深入探究:如图,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究,向 ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD,ACE,其他条件不变,试判断 GMN 的形状,
8、并给予证明 .图 F6-1267参考答案1.B 解析 在 Rt ABC 中, ACB=90, A=30,BC=2, AB=4,CD= AB, CD= 4=2. E,F 分别为 AC,AD 的中点,12 12 EF= CD= 2=1.故选 B.12 122.C 3.C 解析 如图,连结 OM,CM,OC. OQ OP,且 M 是 PQ 的中点, OM= PQ.12 ABC 是等腰直角三角形, ACB=90, CM= PQ, OM=CM,12 OCM 是等腰三角形, M 在 OC 的垂直平分线上 .当点 P 在 A 点时,点 M 为 AC 的中点,当点 P 在 C 点时,点 M 为 BC 的中点,
9、点 M 所经过的路线长为 AB=1.故选 C.124.B5.D 解析 如图,连结 AF 并延长与 BC 的延长线相交于点 M,易证 ADF MCF, AF=MF,AD=MC.又 AD=BC,DC=AB=2AD, AB=BM, ABC=2 ABF,故正确 .如图,延长 EF,BC 相交于点 G.易得 DEF CGF, FE=FG. BE AD,AD BC, EBG=90.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得 EF=BF,故正确 .如图,由于 BF 是 BEG 的中线, S BEG=2S BEF,而 S BEG=S 四边形 DEBC, S 四边形 DEBC=2S EFB,故正确 .如图,设
10、 DEF=x, AD BC, DEF= G=x,8又 FG=FB, G= FBG=x, EFB=2x. CD=2AD,F 为 CD 的中点, BC=AD, CF=CB, CFB= CBF=x, CFE= CFB+ BFE=x+2x=3x=3 DEF,故 正确 .故选 D.6.4 解析 解此题时可取 AB 的中点,然后再利用三角形的中位线和平行四边形的判定和性质 .取 AB 的中点 M,连结 ME,则 ME BC,ME= BC.12 EF CD, M,E,F 三点共线, EF=2CD,CD= BC, MF=BD,12四边形 MBDF 是平行四边形, DF=BM= AB= 8=4.12 127.
11、解析 如图,连结 DE.192 D,E 分别为 AB,BC 的中点, DE AC,DE= AC=2,EC=2.12 EF AC, DE EF,9 DEG 为直角三角形 .在 Rt EFC 中, EC=2, C=60, EF= .3 G 为 EF 的中点, EG= .32在 Rt DEG 中, DE=2,EG= ,32由勾股定理,得 DG= = .2+2192故答案为 .1928.4 解析 如图,连结 BE,由 E,F 分别为 OA,OD 的中点可知 EF= AD,EF AD,易证 BEC 是等腰直角三角形, EM 三线212合一,可证得 EFN MBN,可得到 BN=FN= ,tan NBM=
12、 ,就能求出 BM=2 ,所以 BC=4 .1012 2 29. 解析 由题意得, AE=DE,AD=BD=CD. ACD 是正三角形, CDA=60,CE AD, B= DCB=30.在 Rt BCE 中, B=30, CB=2CE,故正确; B=30,tan B= ,故错误;33在正 ACD 中, CE 是 ACD 的中线, ECD= ACD=30, ECD= DCB,故正确;12如题图, PM=d1,PN=d2.在 Rt MPN 中, + =MN2. ACB= CMP= CNP=90,2122四边形 MPNC 为矩形, MN=CP.要使 + 最小,只需 MN 最小,即 PC 最小,当 C
13、P AB 时,即 P 与 E 重合时, + 最小 .2122 2122在 Rt ACE 中, AC=2, ACE=30,10 CE=ACcos30= ,则 CE2=3,3 + 的最小值为 3,故正确 .2122故正确的有 .10.解:(1)证明:平行四边形 ABCD, AE DC, EBO= DCO, BEO= CDO.点 O 是边 BC 的中点, BO=CO, EBO DCO(AAS), EO=DO,四边形 BECD 是平行四边形 .(2)100 提示:若四边形 BECD 为矩形,则 BC=DE,BD AE,又 AD=BC, AD=DE. A=50,根据等腰三角形的性质,可知 ADB= ED
14、B=40, BOD=180- ADE=100.11.解:(1)证明:连结 OD,如图 . OB=OD, OBD= ODB.又 AB=AC, ABC= ACB, ODB= ACB, OD AC. DH AC, DH OD, DH 是 O 的切线 .(2) E= B, B= C, E= C,11 EDC 是等腰三角形 .又 DH AC,点 A 是 EH 中点,设 AE=x,则 EC=4x,AC=3x.连结 AD, AB 为 O 的直径, ADB=90,即 AD BD.又 ABC 是等腰三角形, D 是 BC 的中点, OD 是 ABC 的中位线, OD AC,OD= AC= x, E= ODF.1
15、2 32在 AEF 和 ODF 中, =,=, AEF ODF, = , = = , = .3223 23(3)设 O 的半径为 r,即 OD=OB=r. EF=EA, EFA= EAF.又 OD EC, FOD= EAF, FOD= EFA= OFD, DF=OD=r, DE=DF+EF=r+1, BD=CD=DE=r+1. BDE= EAB, BFD= EFA= EAB= BDE, BF=BD=1+r,12 AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=r-1.在 BFD 与 EFA 中, =,=, BFD EFA, = , = ,1-1+1解得 r1= ,r2= (舍去) .1+52
16、 1- 52 O 的半径为 .1+5212.解析 (1)通过观察可得两条线段的关系是垂直且相等;(2)连结 BE,CD,可得 ACD AEB,从而得 DC BE,DC=BE,利用中位线得 GM CD 且等于 CD 的一半, GN BE 且等于 BE 的一半,从而得到 MG 和 GN 的关系;(3)连结 BE,CD,仿照(2)依然可得相同的结论 .解:(1)操作发现:线段 GM 与 GN 的数量关系为 GM=GN;位置关系为 GM GN.(2)类比思考:上述结论仍然成立 .理由如下:如图,连结 CD,BE 相交于点 O,BE 交 AC 于点 F.点 M,G 分别是 BD,BC 的中点, MG C
17、D,MG= CD.12同理可得 NG BE,NG= BE.1213 DAB= EAC, DAC= BAE.又 AD=AB,AC=AE, ADC ABE, AEB= ACD,DC=BE, GM=GN. AEB+ AFE=90, OFC+ ACD=90, FOC=90,易得 MGN=90, GM GN.(3)深入探究: GMN 是等腰直角三角形 .证明如下:如图,连结 BE,CD,CE 与 GM 相交于点 H.点 M,G 分别是 BD,BC 的中点, MG CD,MG= CD.12同理 NG BE,NG= BE.12 DAB= EAC, DAC= BAE.又 AD=AB,AC=AE, ADC ABE, AEB= ACD,DC=BE, GM=GN. GM CD, MHC+ HCD=180,14 MHC+(45+ ACD)=180, MHC+45+ AEB=180, MHC+45+(45+ CEB)=180, MHC+ CEB=90, GNH+ GHN=90, NGM=90,即 GM GN, GNM 是等腰直角三角形 .
