1、1方法技巧专题(四) 构造法训练【方法解读】构造法是一种技巧性很强的解题方法,它能训练思维的创造性和敏捷性 .常见的构造形式有:(1)构造方程;(2)构造函数;(3)构造图形 .1.2018自贡 如图 F4-1,若 ABC 内接于半径为 R 的 O,且 A=60,连结 OB,OC,则边 BC 的长为 ( )图 F4-1A. R B. R C. R D. R232 22 32.2018遵义 如图 F4-2,直角三角形的直角顶点在坐标原点, OAB=30,若点 A 在反比例函数 y= (x0)的图象上,6x则经过点 B 的反比例函数的解析式为 ( )图 F4-2A.y=- B.y=-6x 4x2C
2、.y=- D.y=2x 2x3.设关于 x 的一元二次方程( x-1)(x-2)=m(m0)的两根分别为 , ,且 24.如图 F4-3,六边形 ABCDEF 的六个内角都相等 .若 AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于 . 图 F4-35.2018扬州 如图 F4-4,已知 O 的半径为 2, ABC 内接于 O, ACB=135,则 AB= . 图 F4-46.2018滨州 若关于 x,y 的二元一次方程组 的解是 则关于 a,b 的二元一次方程组3x-my=5,2x+ny=6 x=1,y=2,的解是 . 3(a+b)-m(a-b)=5,2(a+b)+n(a-b)=6
3、7.2018扬州 问题呈现如图 F4-5,在边长为 1 的正方形网格中,连结格点 D,N 和 E,C,DN 和 EC 相交于点 P,求 tan CPN 的值 .方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形 .观察发现问题中 CPN 不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连结格点 M,N,可得 MN EC,则 DNM= CPN,连结 DM,那么 CPN 就变换到 Rt DMN 中 .问题解决(1)直接写出图中 tan CPN 的值为 ; 3(2)如图,在边长为 1 的正方形网格中, AN 与 CM 相交于点 P,求 cos CPN 的值
4、.思维拓展(3)如图, AB BC,AB=4BC,点 M 在 AB 上,且 AM=BC,延长 CB 到点 N,使 BN=2BC,连结 AN 交 CM 的延长线于点 P,用上述方法构造网格求 CPN 的度数 .图 F4-54参考答案1.D 解析 如图,延长 CO 交 O 于点 D,连结 BD, A=60, D= A=60. CD 是 O 的直径, CBD=90.在 Rt BCD 中,sin D= = =sin 60= ,2 32 BC= R.故选 D.3注:此题构造了直角三角形 .2.C 解析 如图,过点 A 作 AM x 轴于点 M,过点 B 作 BN x 轴于点 N.由三垂直模型,易得 BN
5、O OMA,相似比等于 ,在 Rt AOB 中, OAB=30,所以 =tan 30= ,所以 = . 33 13因为点 A 在双曲线 y= 上,6所以 S OMA=3,所以 S BNO=1,所以 k=-2.即经过点 B 的反比例函数的解析式为 y=- .故选 C.25注:此题构造了相似三角形 .3.D 解析 一元二次方程( x-1)(x-2)=m(m0)的两根实质上是抛物线 y=(x-1)(x-2)与直线 y=m 两个交点的横坐标 .如图,显然 2.故选 D.注:此题构造了二次函数 .4.15 解析 分别将线段 AB,CD,EF 向两端延长,延长线构成一个等边三角形,边长为 8,则 EF=2
6、,AF=4,故所求周长=1+3+3+2+2+4=15.注:此题构造了等边三角形 .5.2 解析 如图,在优弧 AB 上取一点 D,连结 AD,BD,OA,OB,2 O 的半径为 2, ABC 内接于 O, ACB=135, ADB=45, AOB=90. OA=OB=2, AB=2 .2故答案为 2 .2注:此题构造了直角三角形 .6. 解析 根据题意,对比两个方程组得出方程组 所以=32,=-12 +=1,-=2, =32,=-12.注:此题构造了一个二元一次方程组 .7.解析 (1)根据方法归纳,运用勾股定理分别求出 MN 和 DM 的值,即可求出 tan CPN 的值;6(2)仿(1)的
7、思路作图,即可求解;(3)利用网格,构造等腰直角三角形解决问题即可 .解:(1)由勾股定理得: DM=2 ,MN= ,2 2DN= .10(2 )2+( )2=( )2,2 2 10 DM2+MN2=DN2, DMN 是直角三角形 . MN EC, CPN= DNM.tan DNM= = =2,222tan CPN=2.(2)如图,取格点 D,连结 CD,DM. CD AN, CPN= DCM.易得 DCM 是等腰直角三角形, DCM=45,cos CPN=cos DCM=cos 45= .22(3)构造如图网格,取格点 Q,连结 AQ,QN.7易得 PC QN, CPN= ANQ. AQ=QN, AQN=90, ANQ= QAN=45, CPN=45.
