1、- 1 -正视图 侧视图俯视图2221浙江杭州八中 2019 届上学期高三数学周末自测卷五选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设 UR，A ，B ，则 （ ）02|x1|x)(BCAuA B C D 10|x| 20|2x1|2设 ， （ i 是虚数单位） ，则 （ ）iz1z2 21zA1 B1 C i D i3某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A1 B 2 C 3 D 44 “a1”是“函数 在区间1，)内为增函数”|)(xaf的 （ ）A充分不必要条件 B必要不
2、充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5已知 m，n 是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A若 ， ，则 B若 ， ，则/nm/C若 ， ，则 D若 ， ，则nnm6已知向量 ， ， 满足 1，且 ，则 （ ）abc|cbaabcA （ ） B （ ） C D acb7已知 成等比数列， 和 都成等差数列，且 ，那么 的值为（ ,abc,axb,yc0xyyx） 。A1 B2 C3 D48已知函数 ()fx满足：定义域为R； xR，有 (2)(fxfx；当 0,2时，()|f记 ()|(8,xf根据以上信息，可以得到函数的零点个数为 （ ）a1 a2 a3-
3、2 -A15 B10 C9 D89在如图所示的方阵中有 9 个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （ ）A B C D 10如图，在三棱锥 P-ABC 中，D、E 分别是734143BC、AB 的中点，PA平面 ABC，BAC=90，ABAC，ACAD，PC 与 DE 所成的角为，PD 与平面 ABC 所成的角为 ，二面角 PBCA 的平面角为 ，则 的大小关,系是（ ）A B C D非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。11.二项式 展开式中的常数项为_， 前的系数为_.621x 3x12随机
4、变量 的取值为 0,1,2.若 P( 0) ， E( )1，则 D( )_. 1513如图所示，在 ABC 中， AB4， BC2， ABC D60，若 ADC 是锐角三角形，则 DA DC 的取值范围是_14.某校开设 10 门课程供学生选修，其中 A， B， C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是_15若关于 x 的方程 x22 kx10 的两根 x1， x2满足1 x10 x22，则 k 的取值范围是_16.在梯形 ABCD 中， AB DC， AB AD， AD DC1， AB2.若 ，则AP 16AD 56AB | t |(t
5、R)的取值范围是_ BC PB 17设 a b0，则 a2 的最小值是_1ab 1a a b三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（本小题满分 14 分）b1 b2 b3c1 c2 c3- 3 -ABC的内角 ， B， C的对边分别为 a， b,c已知 22acb， 5sinco0AB.（1）求 cos；（2）若 的面积 52S，求 .19 （本题满分 15 分）如图，已知三棱锥 ，DABC， ，2DCABCD平 面 平 面， 是 中点M（）证明： ；平 面（）求直线 与平面 所成的角的正弦值20 （本小题满分 15 分）已知函数 bxax
6、f 231, )(R(1）当 a时, 若 f有 个零点, 求 的取值范围；(2）对任意 154, 当 mx1时恒有 axf, 求 m的最大值, 并求此时 xf的最大值。21. （本题满分 15 分）在平面直角坐标系 xOy 中有一直角梯形 ABCD,AB 的中点为 ,o, ,AB=4,BC=3,ABDCAD=1,以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点 E(0,1),问是否存在直线 与椭圆交于 M,N 不同两点且| ME|=|NE|,l若存在,求出直线 斜率的取值范围;若不存在,请说明理由. l第 19 题图图DBMAC- 4 -22 （本题 15 分）已知数
7、列 满足： ， （其中 ） na112,()nna*N（1）证明： ；12()nn（2）证明： 123na浙江杭州八中 2019 届上学期高三数学周末自测卷五参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D A B A D B B D D B1D 提示：A=x|01, =)(Cu2x1|2A 提示： =21z211ii3B提示：本题考查的是几何体的三视图所以应选 B4A提示：“ a1”能推出“函数 在区间1，)内为增函数”,反之不|)(xaf行,所以应选
8、 A5D6B提示： 1，且 ， , , 的关系|cbaabcabcabc- 5 -如图所示,观察可得 B.7B提示：由已知可得 .注意到 ，可从已知中整理出：213bacxy acyxx， ，代入上式即可得到.选 B2caycx24b8B解析：当 时， ，由 ，有 ；及当40xRx)(2(xfxf时， ，得 ，同理 时，2,0x()2|fx |3|4)2()ff 64，当 时， ，|5|8)(f 86x |7|1)(xxf当 时， ，当 时， ，当x|1|)(xf 4|2时， ，当 时， ，由46|46x|8)(xf，利用函数图象可知共有 10 个零点。故选 B|)(xf8,9D提示：考虑其对
9、立事件，至少有两个数位于同行或同列的对立事件为这三个数位于不同行也不同列，所以其概率为 故选 D14313912C10如图所示：D、E 分别是 BC、AB 的中点，DE/AC，PC 与 DE 所成角为 ，即PCA，PA平面 ABC，PD 与平面 ABC 所成角为 ，即PDA，过点 A 作AQBC，垂足为 Q，连接 PQ，PA平面 ABC，二面角 PBCA 的平面角为，即PQA，则 ACADAQ，在 RtPAC，RtPAD，RtPAQ 中：tanPCA tanPDA tanPQA,即 tan tan tan，又，（0， ） ，2二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4
10、分，共 36 分。11.【答案】15，-20【解析】 的通项为 ，令621x常数项为 ，令 12-3r=3,r=3,所以 前的系数为 =-20，所以答案分3x36C- 6 -别为 15，-20.12.【答案】 25【解析】由题意设 P( 1) p，则 的分布列如下： 0 1 2P15p p45由 E( )1，可得 p ，35所以 D( )1 2 0 2 1 2 .15 35 15 2513. 【答案】(6,4 3【解析】 在 ABC 中，由余弦定理得 AC2 AB2 BC22 ABBCcos ABC12，即 AC2.设 ACD (30 90)，则在 ADC 中，由正弦定理得 323sin 60
11、 DAsin ，则 DA DC4sin sin(120 )4 4DCsin 120 32sin 32cos sin( 30)，而 60 30120，4 sin 60DA DC4 sin 90，即3 3 36DA DC4 .314. 【答案】98【解析】可分为两类：选 A， B， C 中的一门，其它 7 科中选两门，有 C C 63；不选1327A， B， C 中的一门，其它 7 科中选三门，有 C 35；所以共有 98 种。3715. 【答案】 3-04，【解析】构造函数 f(x) x22 kx1，因为关于 x 的方程 x22 kx10 的两根 x1， x2满足1 x10 x22，所以 即()
12、ff043k所以 k0，即 k 的取值范围是34 -04，16. 【答案】 5+，【解析】以 A 为坐标原点， AB， AD 分别为 x 轴， y 轴建立直角坐标系(图略)，则 D(0,1)，- 7 -B(2,0)， C(1,1)，设 P(x， y)，由 得( x， y) (0，1) (2,0)， x ， yAP 16AD 56AB 16 56 53，所以 P ，16 (53， 16) ， (1,1)，即| t | ，当PB (13， 16) BC BC PB (t3 1)2 (1 t6)2 536t2 t 2 55且仅当 t 时等号成立，故所求范围为185 5+，17. 【答案】4【解析】
13、a2 a2 ab ab a(a b)1ab 1a a b 1ab 1a a b ab 1a a b 1ab224.当且仅当 a(a b)1 且 ab1，即 a ， b 时取“” 222三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 （本题满分 14 分）解：（1）由 22acb，得 22acbac， coscB. 0B， 34.2 分由 5ins0A，得 5210sinos()A， 22130cos1i().4 分 ()cosin4CAA231025.7 分（2）由（1），得 225in1()C.由 siSacB及题设条件，得 3sin4ac， ac
14、.10 分由 iniinbAC，得 1025b， 2525ac， .14 分- 8 -19. 本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。（）由 得 ，ADBMD由 得 ，所以 ，C平 面 平 面 ACB平 面 AMBC又因为 ，所以 6 分平 面（）过 作 且 ，连结 EE由 得 ，B平 面 平 面 平 面所以 ，故 为直线 与平面 所成的MAC平 面 MBDABC角 10 分 不妨设 2D由 得 3由 ， ，22得 ， ， 2()CBC3A2C7MB所以 ， ，34ME7sin14E故直线 与平面 所成的角的正弦值是
15、 15 分D371420解：解法一：（1）由题意， ， ，COAB是二面角 是直二面角，B又 二面角 是直二面角，又 ，平面 ，又 平面 D平面 平面 4 分COAB（2）作 ，垂足为 ，连结 （如图） ，则 ，EECDEAO是异面直线 与 所成的角在 中， ， ，Rt 21OB25C又 在 中， 13DEAORtCDE 51tan3CED 异面直线 与 所成角的余弦值为 9 分46cosA46（3）由（I）知， 平面 ，BADBEEDBMAC- 9 -是 与平面 所成的角，且 CDOAB2tanOCD当 最小时， 最大，这时， ，垂足为 ， ， ，D3OA3t与平面 所成角中最大角的正切值为
16、 14 分CDAB2解法二：（I）同解法一 4 分（II）建立空间直角坐标系 ，如图，Oxyz则 ， ， ， ，(0)O， ， (23)A， ， (0)C， ， (13)D， ， ， ， 1， ， |,cosAOD= 4623异面直线 与 所成角的余弦值为 9 分AOCD（III）同解法一 14 分20 2234axxf -2 分(1） 3a, 9f, xf极小值 bf36)(, xf极大值bf)9(由题意: 036 36b-6 分(2） 1,54a时,有 21a, 由 xf图示, xf在 ma,1上为减函数fmf易知 af1必成立；-8 分只须 a 得 2mOCADBxyz- 10 -1,5
17、4a 可得 25m-10 分又 m 最大值为 2-12 分此时 ,ax, 有 231af在 31内单调递增，在 ,内单调递减，bfxma-15 分21.（15 分）解：(1)连接 AC,依题意设椭圆的标准方程为 0),在 Rt ABC 中,21(yxabAB=4,BC=3, AC=5. CA+CB=5+3=2a,即 a=4. 又 2c=4, c=2,从而 . 椭圆的标准方程为 . 23bc 216yx5 分(2)由题意知,当直线 l 与 x 轴垂直时,不满足| ME|=|NE|,当直线 l 与 x 轴平行时,| ME|=|NE|显然成立,此时 k=0.当直线 l 的斜率存在,且不等于零时, 设直线 l 的方程为 (0)ykm由 消去 y 得 216yxm22(34)8480kx (3)mk2216km9 分令 的中点为 则12()()MxyN 0()Fxy- 11 -1200224334xkmmyxk| ME|=|NE|, . 即 化简得 EFMN1EF213k2(43)mk12 分结合得 即 解之,得 .2216(43)k421680k1(0)2k综上所述,存在满足条件的直线 l,且其斜率 k 的取值范围为 . ()15 分
