1、- 1 -20182019 学年三明一中高三半期考复习卷 6（文科数学）（圆锥曲线综合应用）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 “mn0”是“方程 mx2ny 21”表示焦点在 y 轴上的椭圆的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2从椭圆 1(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正x2a2 y2b2半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A B C D24 12 22
2、323已知点 O 为坐标原点，点 M 在双曲线 C：x 2y 2( 为正常数)上，过点 M 作双曲线 C的某一条渐近线的垂线，垂足为 N，则|ON|MN|的值为( )A B C D无法确定 4 24若双曲线 1(a0，b0)的离心率为 ，则其渐近线方程为( )x2a2 y2b2 3Ay x By2x Cy x 212Dy x225已知双曲线 1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线x24 y2b2的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为( )A 1 B 1 C 1 D 1x24 3y24 x24 4y23 x24 y24
3、 x24 y2126已知 F1，F 2是双曲线 E： 1 的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF 1与 x 轴垂直，x2a2 y2b2sinMF 2F1 ，则 E 的离心率为( )13A B C D2232 37点 M(1,1)到抛物线 yax 2准线的距离为 2，则 a 的值为( )A B C 或 D 或14 112 14 112 14 1128已知 M(x0，y 0)是曲线 C： y0 上的一点，F 是曲线 C 的焦点，过 M 作 x 轴的垂线，x22垂足为 N，若 0，则 x0的取值范围是( )MF MN A(1,0)(0,1) B(1,0) C(0,1) D(1,1)9过抛物线 y22
4、px(p0)的焦点 F 的直线与双曲线 x2 1 的一条渐近线平行，并交抛物y23线于 A、B 两点，若|AF|BF|，且|AF|2，则抛物线的方程为( )Ay 22x By 23x Cy 24x Dy 2x10以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4 ，|DE|2 ，则 C 的焦点到准线的距离为( )2 5- 2 -A2 B4 C6 D811设 F1，F 2为椭圆 1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1的x29 y25中点在 y 轴上，则 的值为( )|PF2|PF1|A B C D514 513 49 5912如图所示，
5、已知椭圆 1(ab0)，以 O 为圆心，短半轴长为半径作圆 O，过椭圆x2a2 y2b2的长轴的一端点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A，B，若四边形 PAOB 为正方形，则椭圆的离心率为( )A B C D32 22 53 33第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上13已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为直线 l，过抛物线上一点 P 作 PEl 于点 E，若直线 EF 的倾斜角为 150，则|PF|_14抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 与双曲线 1 的右焦点重合，过点 P(2,0)且斜率x23 y26为 1 的直线 l 与抛物
6、线 C 交于 A，B 两点，则弦 AB 的中点到抛物线准线的距离为_15已知双曲线的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l1，l 2，经过右焦点 F 且垂直于 l1的直线分别交 l1，l 2于 A，B 两点已知| |、| |、| |成等差数列，且OA AB OB 与 同向，则双曲线的离心率为_BF FA 16已知椭圆方程为 1(ab0)，A，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M，N 是椭圆上x2a2 y2b2关于 x 轴对称的两点，直线 AM，BN 的斜率分别为 k1，k 2，若|k 1k2| ，则椭圆的离心率14为_三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的
7、文字说明、证明过程或演算步骤17已知点 M( ， )在椭圆 C： 1(ab0)上，且椭圆的离心率为 6 2x2a2 y2b2 63(1)求椭圆 C 的方程；(2) 若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)，求PAB 的面积- 3 -18(本小题满分 12 分)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M(1)求抛物线的方程；(2)若过 M 作 MNFA，垂足为 N，求点 N 的坐标1
8、9(本小题满分 12 分)已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ，过点 M(1,0)的直x2a2 y2b2 22线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，|MA|MB|，且当直线 l 垂直于 x 轴时，|AB| 2(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 ，求弦长|AB|的取值范围12， 220(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点(0， )、(0， )的距离3 3之和等于 4设点 P 的轨迹为 C(1)写出 C 的方程； (2)设直线 ykx1 与 C 交于 A、B 两点，k 为何值时 ？OA OB - 4 -21(本小题满分 12 分)已知椭圆 M： 1(ab0)的左
9、、右焦点分别为 F1(2,0)、x2a2 y2b2F2(2,0)在椭圆 M 中有一内接三角形 ABC，其顶点 C 的坐标为( ，1)，AB 所在直线的斜率3为 33(1)求椭圆 M 的方程；(2)当ABC 的面积最大时，求直线 AB 的方程22(本小题满分 12 分)已知椭圆 C： 1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构x2a2 y2b2成等腰直角三角形，直线 xy10 与以椭圆 C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 为椭圆 C 上一点，若过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T，满足 t (O 为坐标原点)
10、，求实数 t 的取值范围OS OT OP - 5 -20182019 学年三明一中高三半期考复习卷 6 答案（圆锥曲线综合应用）1C 将方程 mx2 ny21 转化为 1, 根据椭圆的定义，要使焦点在 y 轴上必须满足x21my21n0， 0，且 ，所以 m n0，故选 C1m 1n 1n 1m2C 由已知，点 P( c， y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P AB OP， kAB kOP，即 ，则 b c， a2 b2 c22 c2，则 ，( c，b2a) ba b2ac ca 22即该椭圆的离心率是 223B 因为 M 为双曲线上任一点，所以可取 M 为双曲线的右顶点，由渐近线 y x 知 O
11、MN 为等腰直角三角形，此时| OM| ，| ON| MN| ，所以| ON|MN| 2 24A 由于双曲线 1 的离心率为 ，故 e2 1 3， ，故其x2a2 y2b2 3 c2a2 a2 b2a2 b2a2 ba 2渐近线方程为 y x，选 A25D 不妨设 A(x0， y0)在第一象限，由题意得Error!由得 x ，所以 y ，20164 b2 20 b24 164 b2 4b24 b2由可得 b212所以双曲线的方程为 1故选 Dx24 y2126A 解法一：由 MF1 x 轴，可得 M ，| MF1| 由 sin MF2F1 ，可得( c，b2a) b2a 13cos MF2F1
12、 ，又1 (13)2 223tan MF2F1 ， ， b2 ac， c2 a2 b2b2 c2 a2， c2 a2|MF1|F1F2| b2a2c b2a2c13223 22ac0 e2 e10， e 故选 A22 22 2解法二：由 MF1 x 轴，得 M ，| MF1| ，由双曲线的定义可得( c，b2a) b2a|MF2|2 a| MF1|2 a ，又 sin MF2F1 a2 b2a b， eb2a |MF1|MF2|b2a2a b2a 13 故选 Aa2 b2a2 2- 6 -7C 抛物线 y ax2化为 x2 y，它的准线方程为 y ，点 M(1,1)到抛物线 y ax2准1a
13、14a线的距离为 2，可得 2，解得 a 或 故选 C|114a| 14 1128A 由题意知曲线 C 为抛物线，其方程为 x22 y，所以 F ，根据题意可知， N(x0,0)，(0，12)x00， ， (0， y0)，所以 y0 0，即 0 y0 ，因MF ( x0， 12 y0) MN MF MN (12 y0) 12为点 M 在抛物线上，所以有 0 ，又 x00，解得1 x00 或 0 x01，故选 Ax202 129A 由双曲线方程 x2 1 知其渐近线方程为 y x，过抛物线焦点 F 且y23 3与渐近线平行的直线 AB 的斜率为 ，不妨取 kAB ，则其倾斜角为 60，3 3即
14、AFx60过点 A 作 AN x 轴，垂足为 N由| AF|2，得|FN|1过 A 作 AM准线 l，垂足为 M，则| AM| p1由抛物线的定义知，| AM| AF| p12， p1，抛物线的方程为 y22 x，故选A10B 不妨设 C： y22 px(p0)， A(x1,2 )，则 x1 ，由题意可知2 22 22p 4p|OA| OD|，得 28 25，解得 p4故选 B(4p) (p2)11B 由题意知 a3， b ， c2设线段 PF1的中点为 M，则有5OM PF2， OM F1F2， PF2 F1F2，| PF2| 又b2a 53| PF1| PF2|2 a6，| PF1|2 a
15、| PF2| ， ，故选 B133 |PF2|PF1| 53 313 51312B 由题意知| OA| AP| b，| OP| a， OA AP，所以 2b2 a2， ，故 e b2a2 12 1 b2a2，故选 B221343解析：设直线 l 与 x 轴交于点 H，直线 EF 的倾斜角为 150， EFH30在 Rt EHF中，| EH| HF| 2 ， E ， P ，| PF| 1 33 33 233 ( 1， 233) (13， 233) 13 431411解析：因为双曲线 1 的右焦点坐标是(3,0)，所以 3， p6，即抛物线的标准方程x23 y26 p2为 y212 x设 A(x1
16、， y1)， B(x2， y2)，过点 P(2,0)且斜率为 1 的直线 l 的方程为 y x2，联立Error!消去 y 得 x216 x40，则 x1 x216所以线段 AB 的中点到抛物线的准线的距离为 11x1 x2 p2 16 621552解析：由题意，可设双曲线的方程为 1( a0， b0)，因为| |、|x2a2 y2b2 OA |、| |成等差数列，所以可设| OA| m d，| AB| m，| OB| m d，作AB OB 出草图如图所示，由勾股定理可得( m d)2 m2( m d)2，从而可得- 7 -d m，tan AOF ，tan AOBtan 2 AOF ，所以 ，
17、解得14 ba |AB|OA| mm d 432ba1 ba 2 43 ( 2 舍去)，则离心率 e ba 12ba ca a2 b2a2 521632解析：设 M(x0， y0)，则 N(x0， y0)，| k1k2| |y0x0 ay0a x0| y20a2 x20 b2(1 x20a2)a2 x20 b2a2，从而 e 14 ca 1 b2a2 3217解析：(1)由已知得Error!解得Error!故椭圆 C 的方程为 1x212 y24(2)设直线 l 的方程为 y x m， A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 的中点为 D(x0， y0)由Error!消去 y，整理得
18、 4x26 mx3 m2120，则 x0 m， y0 x0 m m，即 D x1 x22 34 14 ( 34m， 14m)因为 AB 是等腰三角形 PAB 的底边，所以 PD AB，即 PD 的斜率 k 1，解得2 m4 3 3m4m2此时 x1 x23， x1x20，则| AB| |x1 x2| 3 ，又点 P2 2 x1 x2 2 4x1x2 2到直线 l： x y20 的距离为 d ，所以 PAB 的面积为 S |AB|d 32 12 9218解析：(1)抛物线 y22 px 的准线为 x ，于是 4 5，p2 p2 p2，抛物线方程为 y24 x(2)点 A 的坐标是(4,4)，由题
19、意得 B(0,4)， M(0,2)又 F(1,0)， kFA MN FA， kMN 又 FA 的方程为 y (x1)，43 34 43故 MN 的方程为 y2 x，解方程组得 x ， y ， N 的坐标为 34 85 45 (85， 45)19解析：(1)由 e ，知 ，当直线 l 垂直于 x 轴时，| AB| ，椭圆 C 过点22 ca 22 2，(1，22)代入椭圆方程得 1，又 a2 b2 c2，故联立可解得 a22， b21，椭圆 C 的方程1a2 12b2为 y21x22(2)当直线 l 的斜率为 0 时，点 A， B 分别为椭圆长轴的两个端点， 32 2 或 32 ，不符合题意，|
20、MA|MB| 2 12 1 2 |MA|MB| 2 12 1 2 12直线 l 的斜率不能为 0，则可设直线 l 的方程为 x my1， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!消去 x，得( m22) y22 my10，- 8 -由根与系数的关系可得Error!将式平方除以式可得： 2 ，y1y2 y2y1 4m2m2 2由| MA| |MB|可知， ， 2 ， ，y1y2 1 4m2m2 2 12， 2 2 ，即 0，解得 m2 ，1 12， 0 12 4m2m2 2 0， 27又| AB|2(1 m2)|y1 y2|2(1 m2)(y1 y2)24 y1y28 28 2，
21、(m2 1m2 2) (1 1m2 2) m2 ， ，| AB| 0，27 1m2 2 716， 12 2， 92820解析：(1)设 P(x， y)，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以(0， )，(0， )为焦点，3 3长半轴为 a2 的椭圆，它的短半轴 b 1，22 3 2故曲线 C 的方程为 x2 14 分y24(2)由Error!消去 y 并整理得( k24) x22 kx30， (2 k)24( k24)(3)16( k23)0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 2kk2 4 3k2 4由 ，得 x1x2 y1y20OA OB 而 y1
22、y2( kx11)( kx21) k2x1x2 k(x1 x2)1，于是 x1x2 y1y2 1 3k2 4 3k2k2 4 2k2k2 4 4k2 1k2 4由 0，得 k ，此时 12 分 4k2 1k2 4 12 OA OB 21解析：(1)由椭圆的定义知2a ， 2 3 2 0 1 2 2 3 2 0 1 2所以 a26，所以 b2 a2 c22所以椭圆 M 的方程为 13 分x26 y22(2)由题意设直线 AB 的方程为 y x m，33由Error!消去 y，得 2x22 mx3 m260，3因为直线 AB 与椭圆 M 交于不同的两点 A， B，且点 C 不在直线 AB 上，所以Error!解得20， k2 12设 P(x0， y0)， S(x1， y1)， T(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，8k21 2k2 8k2 21 2k2对于 t ，OS OT OP 当 t0 时，直线 l 为 x 轴， P 点在椭圆上任意位置均适合题意当 t0 时，有Error! x0 ， y0 1t 8k21 2k2 1t 4k1 2k2点 P 在椭圆上， 1，32k4t2 1 2k2 2 16k2t2 1 2k2 2整理得 t2 ，由 k2 知，0 t24，16k21 2k2 12 t(2,0)(0,2)，综上可得 t(2,2)12 分
