1、- 1 -铜仁一中 2019 届高三第二次模拟考试试题理科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：解一元二次不等式 ，解得 或 ， 或 ，又 ， ，即 .考点：1.解一元二次不等式；2.集合的交集.2.若复数 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法法则化简，求出 z 的模，就是其共轭复数的模.【详解】因为 ，所以 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，复数的模及共轭复数的概念，属于中档
2、题.3.方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意知， ，则 C，D 均不正确，而 B 为充要条件，不合题意，故选 A.4.若函数 图象上点 处的切线平行于直线 ，则 （ ）- 2 -A. 1 B. 0 C. D. 1【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义知， ，即可求出 a.【详解】因为 ，切线与直线 平行，所以 ，解得 ，故选D.【点睛】本题主要考查了导数的求导法则，导数的几何意义，属于中档题.5.已知实数 x， y 满足 ，则 的取值范围为（ ）A. 2,5 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利
3、用几何意义求最值，只需求出直线 过点 A 或 B 点时，的取值即可.【详解】由约束条件，画出可行域如图：- 3 -由图象可知，当直线 过点 A 时，z 有最小值 2，当直线 过点 时，z的最大值为 5，所以 z 的取值范围为 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划及利用几何意义求最值，属于中档题.6.我国古代数学著作孙子算经中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为 ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（ ）- 4 -A. 121 B. 81 C. 74 D. 49【答案】B【解析】满足 ，第一次循环： ；满足 ，第二次循环： ；满足 ，第
4、三次循环： ；满足 ，第四次循环： ；满足 ，第五次循环： 。故选 B。7.已知函数 与 轴交点为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数与 x 轴交点为 ，代入可求出 m，然后直接求 即可.【详解】因为 与 轴交点为 ，所以 ， ，因此，所以 ，选 D.【点睛】本题主要考查了分段函数求值，对数函数，属于中档题.8.若点 的坐标满足 ，则点 的轨迹图象大致是（ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据所给关系式，分析 的取值范围即可通过排除法选出答案.【详解】由 知 ,可排除选项 C,D,又因为 ,所以 ，即，排除选项 A，故选 B.【点
5、睛】本题主要考查了函数的图象，及利用特殊点区分图象，属于中档题.9.下列选项中，说法正确的是（ ）A. 命题“ ， ”的否定为“ ， ”B. 命题“在 中， ，则 ”的逆否命题为真命题C. 若非零向量 、 满足 ，则 与 共线D. 设 是公比为 的等比数列，则“ ”是“ 为递增数列”的充分必要条件【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定，解三角形，向量的模，数列等概念，逐一验证各选项.【详解】对于 A,命题的否定需要把存在性量词改成全称量词，故 A 选项错误，对于 B,当时，若存在 ，则 错误，故 B 选项错误，对于 C，由 可得：，化简得 ，所以 与 共线正确，对于 D，当 时，若首项是负数
6、，则数列不是递增数列，故选项 D 错误.- 6 -【点睛】本题主要考查了命题的否定，解三角形，向量的模，数列等概念，属于中档题.10.函数 的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数 的图象A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度【答案】B【解析】【分析】由五点作图法求出函数的表达式，再由平移变换知识得到结果.【详解】 , ， , , ,解得： ，所以 ， ，根据平移原则，可知函数向左平移 个单位，故选：B.【点睛】本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础
7、题11.设 、 分别为圆 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距离是( )A. B. C. D. 【答案】D- 7 -【解析】【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出 P、Q 两点间的最大距离.【详解】设椭圆上点 Q ，则 ，因为圆 的圆心为 ，半径为 ，所以椭圆上的点与圆心的距离为 ，所以 P、Q 两点间的最大距离是 .【点睛】本题主要考查了圆与椭圆，两点间的距离转化为定点圆心与椭圆上动点间的距离的最值，属于中档题.12.已知函数 ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】函数在 R 上为偶函数，由 知当 时， ，所以函数在 上是增函
8、数，所以原不等式转化为 即 ，即可求出.【详解】因为 ,所以函数为偶函数，又 知当时， ，所以函数在 上是增函数，所以原不等式转化为 即，所以 ，解得 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，含绝对值的不等式，属于中档题.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.计算 =_.【答案】【解析】- 8 -原式 =14.已知 ，则 的最小值为 _【答案】【解析】【分析】根据 知 ，且 ，所以 ， 故，化简后利用均值不等式即可求解.【详解】因为 知 ，又 ，所以 ，而，经检验等号成立,故填 .【点睛】本题主要考查了均值不等式，考查了数学式子的变形化简，对计算能力要求较高，属
9、于中档题.15.已知函数 ，若函数 有 4 个零点，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】若函数 有 个零点，即方程 有 个解与 有 个交点，记则过原点作 的切线，切线斜率为则实数 的取值范围是点睛：本题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，考查了函数零点个数的问题。本题中根据题意可知，原问题等价于 与 有 个交点，这个是解决问题的关键，属中档题16.设 是定义在 上以 为周期的偶函数，在区间 上是严格单调递增函数，且满足- 9 -， ，则不等式 的解集为_【答案】【解析】【分析】根据周期性可知 ，因为 ， ，所以 关于的对称点为 ，且 ， ，因此不等式的解为 .【详解】根据函数周期为
10、 2 且为偶函数知， ，因为，且根据对称性知函数在 上单调递减，所以 的解为，故填 .【点睛】本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，单调性，及变形推理能力，属于难题.三、解答题17.已知函数 （1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；（2）当 时，求函数 的值域【答案】 （1） ， ；（2）【解析】【分析】（1）运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到（2）由 x 的范围可得 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域.【详解】 （1）f(x)2sinx( sinx cosx) sin2xsin(2x ) .函数 f(x)的最小正周期为 T由 2k
11、2x 2k，kZ，解得 kx k，kZ，所以函数 f(x)的单调递增区间是 k， k，kZ（2）当 x0， 时，2x ， ， sin(2x ) ，1，- 10 -f(x)0，1 所以当 x0， 时，函数 f(x)的值域为0，1 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和差的正弦公式及函数的单调性和值域，属于中档题.18.数列 满足： ， （ ）（1）求证：数列 是等差数列； （2）求数列 的前 999 项和.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）方程两边减 3 后，取倒数可化简得 ，即可证明（2）化简，相加相消求和即可.【详解】 （1）数列 满足： ， （
12、 ），所以， ，即，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；（2）由（1）得 ，解之得： ；所以，于是，【点睛】本题主要考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数的运算及相加相消- 11 -求和，属于中档题.19.已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为 设为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点(1) 求抛物线 的方程；(2) 当点 为直线 上的定点时，求直线 的方程；(3) 当点 在直线 上移动时，求 的最小值【答案】() () ()【解析】试题分析：（1）设拋物线 的方程为 ，利用点到直线的距离,求出 ,得到抛物线方程；（2）对抛物线方程求导,求出切线
13、的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线 的方程；（3）由拋物线定义可知 ，联立直线与抛物线方程,消去 ,得到一个关于 的一元二次方程,由韦达定理求得 的值,还有,将 表示成 的二次函数的形式,再求出最值.试题解析: 解：（1）依题意，设拋物线 的方程为 ，由 结合 ，解得 ，所以拋物线 的方程为 .（2）拋物线 的方程为 ，即 ，求导得 ，设 (其中 )则切线 的斜率分别为 ，所以切线 的方程为 ，即 ，即 ，同理可得切线 的方程为 ，因为切线 均过点 ，所以 ， ，所以 为方程 的两组解，所以直线 的方程为 .- 12 -（3）由拋物线定义可知 ，联立方程 ，消去 整
14、理得 .由一元二次方程根与系数的关系可得 ，所以又点 在直线 上，所以 ，所以 ，所以当 时， 取得最小值 ,且取得最小值为 .考点：1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于 的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线 的方程,得出直线 的方程;第三问先用抛物线定义把 的值表示出来,联立直线 与抛物线方程,得到 的值, 将 表示成 的二次函数的形式 ,再
15、求出最值.视频20.已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为 ，对于任意的 ，函数在区间 上总不是单调函数，求 的取值范围；（3）求证： .【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）求函数导数 ，分 三种情况进行讨论即可（2）由导数几何意义可求出 ,写出 ， 在区间 上总不是单调函数知 在 上有解即- 13 -可（3）构造函数证明 在 上成立，进而可得 ，即可证得结论.【详解】 （1）已知函数 ， 当 时， ， 的单调递增区间是 ， 的单调递减区间是当 时， ， 的单调递增区间是 ， 的单调递减区间是当 时， 恒成立， 不
16、具备单调性.（2） 得 ， 在区间 上总不是单调函数且 由题意知：对于任意的 ， 恒成立所以 ，解得 . （3）当 时， ， ， ，所以， 的单调递增区间是 ， 的单调递减区间是 ，所以， 时， 取极小值 .即，即 ，即 （ ）所以 ； ； ；叠乘得则 . 即证.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属于难题.运用函数的单调性最值等构造不等式是解决证明不等式的关键，是此类问题的核心.21.在极坐标系中，已知圆 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴方向为 轴正方向，- 14 -取与极坐标系相同单位长度建立平面直角坐标系，直
17、线 的参数方程为 .（1）写出圆 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（2）已知点 ，直线 与圆 交于 、 两点，求 的值.【答案】 （1） ， ；（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，及消参即可得出直角坐标方程和普通方程（2）将直线方程代入圆，结合参数的几何意义，利用根与系数的关系求解.【详解】 （1）由 得 ，化为直角坐标方程为 ，所以圆 的直角坐标方程为： .由 （ 为参数） ，消去参数 得，所以直线 的普通方程为 .（2）显然直线 经过点 ，将 代入 并化简得，由韦达定理得 .【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的转化，直线的参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中档题.22.函数 ，其最小值为 .（1）求 的值；（2）正实数 满足 ，求证： .【答案】 （1）3；（2）【解析】试题分析：（1）由题意，利用绝对值三角不等式求得 的最小值，即可求解 的值；（2）根据柯西不等式，即可作出证明.- 15 -试题解析：（1） ，当且仅当 取等，所以 的最小值（2）根据柯西不等式，.
