1、- 1 -辽宁省实验中学 20182019 学年度上学期期中阶段测试高二理科(数学)试卷考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分1本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。第卷一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，每题四个选项中只有一项是符合题目要求的)1. 椭圆 的焦距是( )2149xyA. B. C. D.562132. 在等差数列 中，已知 ， ，公差 ，则 ( )na21
2、0na2dnA.16 B.17 C.18 D.193. 直线 与椭圆 的公共点个数是( )230xy23xyA.0 B.1 C.2 D.44. 若 ，则下列不等式不成立的是( )1baA. B. C. D.abb2ab5. 设正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的公比为( )nnS102SnaA.4 B.2 C.1 D.6. 如图， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，12F、 21(0)xyabP是面积为 的正三角形，则 的值为( )2PO32A. B. C.12 D.1623- 2 -7. 已知命题 是命题“已知 为一个三角形的两内角,若 ，则 ”1pAB、 siniAB的否命
3、题命题 ：公比大于 1 的等比数列是递增数列。2则在命题 1q： 2p， q： 12p， 3q： 和 4q： 中，真命题12()p12()p是( )A. 1， 3 B. 2， 3 C. 1， 4 D. 2， 48. 已知数列 满足 ，若 ，则 的值为( )na1,02,1nnna67a20A. B. C. D.3745769. 已知 ， 分别在 轴和 轴上运动， 为原点， ,点ABuv,yxO123PAOBuvuv的轨迹方程为( )PA. B. C. D.214xy214x219y29yx10. 已知集合 ， ，则交集(,)My(,)()0Nx所表示的图形面积为( )NA.1 B.2 C.4
4、D.811. 设条件 ：实数 满足 条件 ：实数 满足 ，则 是p,mn2403nq,mn0123p的( )qA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件12. 若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是( )1,2x41xaaA. B. C. D.76,00,36,0,7164,73- 3 -第卷二、填空题(本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡相应位置).13. 张邱建算经记载一题：今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月，日织九匹三丈.问日益几何？题的大意是说，有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度
5、都是一样的.已知第一天织了 5 尺，一个月(30 天)后共织布 390 尺，则该女子织布每天增加了 尺. 14. 如果关于 的不等式 的解集是非空集合 ，则 .x32xa4xm15. 已知椭圆 的左右焦点为 ，过 的直线与圆21(0)yba12F、相切于点 ，并与椭圆 交于两点 ，若 ，则椭圆的离心22xbACPQ、 12PF率为 . 16. 已知数列 ， ， ，前 项和为 ，则 na1121nnanS21三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. (本小题满分 10 分)用一根长 7.2 米的木料，做成“日”字形的窗户框，窗户的宽与高各为多少时，窗户的面积最大？并求出这个最大
6、值。(不考虑木料加工时的损耗和中间木料的所占面积)18. (本小题满分 12 分)已知椭圆 ，24xy()求出椭圆上的动点 到点 的距离的最大值；P(0,)Q()若点 是椭圆的左顶点， 在椭圆上， 是以点 为直角顶点的等腰直角ABC、 ABC三角形，求斜边 的长。19. (本小题满分 12 分)已知数列 满足 .na13,23,4na()若 成等差数列，求 的值；123,a1()是否存在 ，使数列 为等比数列？若存在，求出所有这样的 ；若不存在，n 1a说明理由.20. (本小题满分 12 分)已知关于 的不等式 ，其中 .x2(4)(0kxkR()当 变化时，试求不等式的解集 ；kA()对于
7、不等式的解集 ，若满足 (其中 为整数集)，试探究集合 能否为BZ=I B- 4 -有限集？若能，求出使得集合 中元素个数最少的 的值，并用列举法表示集合 ，若BkB不能，请说明理由.21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 交椭圆于216xyFl两点(直线 与坐标轴不垂直 )，若 的中点为 ， 为坐标原点，直线 交PQ、 lPQNOON直线 于 .3xM()求证： ；() 求 的最大值.FF22. (本小题满分 12 分)已知数列 中， ，对于任意的 ，有na12,pqN.pqqa()求数列 的通项公式；n()数列 满足 ，b 1312412nbbba N求数列 的
8、通项公式；n()设 ，是否存在实数 ，使数列 是递增数列，若存在，求3ncNnc实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.- 5 -辽宁省实验中学 20182019 学年度上学期期中阶段测试高二理科(数学)试卷参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。1.A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.B 10.C 11. B 12. A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。13. 14. 15. 16.11291633517解：由题意 设窗户的宽为 米，则窗户的高为 米 2 分x)23.7(x窗户的面积 )
9、2.7(S4.(或 ) 8 分213423x516.当且仅当 时，即 时，取“=”x答：当窗户宽 1.2 米，高 1.8 米时，面积最大，最大值为 2.16 平方米 10 分18. 解：(1)由题意 设 yP,2 分84242222 yyxPQ1当 时， 取最大值 y6 分246max(2)由题意 等腰直角三角形设点 8 分B,2代入方程 得 y42m，则 或 0432 34斜边 BC 长为 12 分819.解：由题意 ，1,2,na， ， 2 分2312a923a若 成等差数列，则 ，即, 23 23911a解得 6 分451(2)若数列 为等比数列na则 必成等比数列，则 ，即123, 2
10、31a 2113)9(a解得 ，此时 ，公比 10 分,2q又 ，5434a34a所以， 不存在 ，使数列 为等比数列。 12 分1n20.解：(1)当 时， ；0k,A- 6 -当 且 时， ；0k 24,Ak当 时， ；(不单独分析 时的情况不扣分),42k当 时， . 8 分 k(2)由(1)知：当 时，集合 中的元素的个数无限；0 B当 时，集合 中的元素的个数有限，此时集合 为有限集.k B因为 ，当且仅当 时取等号，4 2k所以当 时，集合 的元素个数最少 .2此时 ，故集合 . 12 分,A3,1,0321.(1)联立 可得 .21,6xyk2226kxk设 点的坐标为 ， 点的
11、坐标为 ，则P,pQ,qy， .213pqxk2163qkx于是有 .241py因为 的中点为 ，所以 .因此 的斜率为 .PQN6,3kON13ONk因为直线 交直线 于 ，所以 .故 的斜率为 ，OxM,kMFMF即得 .因此 与 垂直， . 6 分1MFPQkFPQ2(2)设 22221pqpqxkxI22 4pqpqpqkxk.42222111333k令 ，则uk.2226698 416Iuu由于 ，故 .31k 01 因此 (当 时取到最大值，也即 ).Imax4k- 7 -综上所述， 的最大值为 . 12 分PQMF322.(1)取 ， ，则 .pn1q112nnaa所以 ，即 是
12、公差为 2，首项为 2 的等差数列.所以 .*2aN2na检验对任意 成立 4 分、(2)因为 131 4212nbbb 1na所以.1 1212nna 得：，所以 .1nb nbn当 时， ，所以 ，满足上式.13a1所以 . 8 分*2nnbN(3)由题意得： ，假设存在 ，使12nC，则*1n. 1233n n 所以 .12323nn 所以 .14nnA若 为正偶数时， 恒成立，则3n，max max12233nnn所以 .22max1194233nn所以 .914若 为正奇数时， 恒成立，则n1242nn，maxmax3223nnn- 8 -所以 .11max1382233nn所以 .8综上可知，存在实数 .使 时， 恒成立. 12 分9,148*nN1nC
