1、- 1 -重庆市育仁中学 2018-2019 学年高二数学 10 月月考试题 理（答案不全）学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1. 下列说法中正确的是( )A.棱柱的侧面可以是三角形 B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形 D.棱柱的各条棱都相等2.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )A. B. 834C. D. 233. 已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是 ,则该球的表面积为( 32)A.4 B.8 C.12 D.164. 水平放置的 的斜二测直观图如图所示,已知 ,则 中ABC4,3B
2、CABC边上的中线的长度为( )A. B. C. D. 73273552- 2 -5. 已知三条不重合的直线 和两个不重合的平面 ,下列命题正确的是( ),mnlA.若 ,则 B.若 ,且 ,则/,mn/ mnC.若 ,则 D.若 ,且 ,则ll ,ll6. 点 分别是正方体 的棱 和 的中点,则 和 所成角,MN1ABCD1BCMN1CD的大小为( )A. B. 30 60C. D. 9 1207. 定义:底面是正三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱叫做正三棱柱.将正三棱柱截去一个角(如图 1 所示, 分别是 的中点)得到几何体(如图 2),则该几何体按图 2 所示方,MN,ABC向的侧视图为(
3、)8. 如图,在大小为 的二面角 中,四边形 都是边长为 的正方形,则45AEFD,ABFECD1两点间的距离是( )BDA. B. C. D. 32132- 3 -9.已知三棱柱 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 的正三角形. 1ABC943若 为底面 的中心,则 与平面 的所成角的大小为 ( )P1PABCA. B. C. D. 523610. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 432518310311. 在长方体 中, , .点 为对角线 上的动点,点1ABCD2AB1CAP1AC为底面 上的动点(点 , 可以重合),则 的最小值为(
4、)QPQQA. B. C. 2332D. 12. 如图,在正方形 中,点 , 分别是 , 的中点,将 沿 所在直线进ABCDEFBCADBF行翻折,将 沿 所在直线进行翻折,在翻折过程中( )EA.点 与点 在某一位置可能重合 B.点 与点 的最大距离为ACAC3ABC.直线 与直线 可能垂直 D.直线 与直线 可能垂直BDFE二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13. 下图是一个正方体的表面展开图,图中的 、 、 和BD在原正方体中相互异面的有_对.GH- 4 -14. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆堡蹤,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一
5、百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡蹤就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡蹤(圆柱体)的体积 (底面圆的周长的平方 高),则该问题中圆周率 取值为12V_.15. 正三棱锥 高为 , 侧棱与底面 成 角, 则点 到侧面 的距离为PABCABC45APBC_.16. 如下图,平面 平面 , , , 是正三角形,则二面角ABD90BD的平面角的正切值为_.CBDA三、解答题17. 如图,在四棱锥 中,底面 是矩形,侧棱 底面 , ,PABCDPDABCPD是 的中点,作 交 于点 .ECEFF1.证明: 平面 ;/PAEDB2.证明: 平
6、面 .F- 5 -18. 如图,在边长为 的菱形 中, , 分别是 和aABCD60,PCABD.EFPA的中点。AB1.求证: | 平面 ;EFPBC2.求 到平面 的距离.19. 如图,边长为 的正方形 中.2ABCD1.点 是 的中点,点 是 的中点,将 , 分别沿 , 折起,使 ,EABFBC AEDCFEDFA两点重合于点 .求证: ;CA2.当 时,求三棱锥 的体积.14- 6 -20. 如图,四棱锥 中,侧面 为等比三角形且垂直于底面 ,PABCDPAABCD, , 是 的中点.12AB90ED1.证明:直线 平面 ./CEPAB2.点 在棱 上,且直线 与底面 所成锐角为 ,求
7、二面角 的余MMCD45MABD弦值.21. 如图, 是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面 为等腰直角三角形, 为底面圆周上OPABC一点1.若弧 的中点为 .求证: 平面 ;BCDACPOD2.如果 面积是 ,求此圆锥的表面积PA9- 7 -22. 如图,在四棱锥 中,平面 平面 为 的中点,且PABCDPA,BCDEA/, 2,1PADEE1.求证:平面 平面PADC2.求二面角 的余弦值;BE3.在线段 上是否存在点 ,使得 平面 ?若存在,求出点 的位置;若不存在,M/DPBCM请说明理由。- 8 -参考答案一、选择题1.答案：B解析：棱柱的侧面都是四边形,A 不正确;正方体和长方体都是特
8、殊的四棱柱,正确;所有的几何体的表面都能展成平面图形,球不能展开为平面图形,C 不正确;棱柱的各条棱都相等,应该为侧棱相等,所以 D 不正确;故选 B2.答案：B解析：试题分析:由三视图可知此几何体为有一侧面和底面垂直的三棱锥,体积为.3.答案：D解析：设球的半径为 .由 得 , .R342R2416R4.答案：A解析：由斜二测画法规则知 ,即 为直角三角形,其中 ,所以ACB3,8ACB, 边上的中线长度为 .73B7325.答案：D解析：选项 A 中,还有 的可能;选项 B 中,还有 的可能;选项 C 中,还有 及与 异面的可能;由线面垂直的性质定理可判断 D 选面正确.故正确答案为 D.
9、考点:直线与平面的平行、垂直关系.6.答案：B解析：7.答案：D解析： ,CE由题图 2 侧视的方向可知, 点的投影是棱 的中点, 点的投影为点的投影为 ,故MACNF应选 D.- 9 -8.答案：D解析：因为 22, 232BFEBDFEDBFEDBFE所以 39.答案：B解析：如图所示,过 作 平面 于 ,则 为平面 的中心,连接 ,延PABCPABCAP长交 于点 ,则 即为 与平面 所成的角 .由 ,得CMVSh, 即 .又 , 943132VhS321M , ,故选 .tanPAPAB10.答案：D解析：11.答案：C解析：由题意易得: ,作 平面 于 ,由对称性可知 ,PQAC1A
10、BQ1PQ因此 ,问题转化为在平面 内,体对角线 上找一点111minminBB1CA使得 最小,如下图所示,过点 作它关于直线 的对称点 ,交直线 与点P1 1B 1C, 再过点 作 于点 ,交 于点 ,则 的长度即为所求的最小值,易O11QAP1Q得 , , ,故选 C.130CAB131132B 考点:立体几何中的最值问题.12.答案：D解析：A 不正确,点 , 恒不重合;B 不成立,点 和点 的最大距离是正方形 的对ACACABCD角线 ;2B- 10 -C 不正确,不可能垂直,D 选项,当平面 平面 时,ABF ED平面 平面 ,直线 与直线 垂直,DE BFC故选 D.二、填空题1
11、3.答案： 65解析： 分析:在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离.本题采用的是“找垂面法”:即找(作)出一个过该点的平面与已知平面垂直,然后过该点作其交线的垂线,则得点到平面的垂线段.设 在底面 上的射影为 ,则 ,且 是三角形 的中心,设底面边长为 ,PABCO2PABCa23a23设侧棱为 ,则 ,斜高 .由面积法求 到侧面 的距离b5hP.3265h解:如图所示:设 在底面 上的射影为 ,PABCO则 平面 , ,且 是三角形 的中心,O2ABC BCM 平面 A又 平面 ,平面 平面 ,P又平
12、面 平面 ,BC 到侧面 的距离即为 的高AAM设底面边长为 ,a则 2323- 11 -设侧棱为 ,则 ,斜高 .b25h由面积法求 到侧面 的距离APBC3265故答案为: 65点评:本小题主要考查棱锥,线面关系、直线与平面所成的角、点到面的距离等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.14.答案：3解析：由题意知圆柱体积 (底面圆的周长的平方 高) ,化12V221rh简得 .15.答案： 23解析：作 于 .CHAB因为平面 平面 , D所以 平面 .作 于 ,连结 ,所以 ,EEHB所以 为二面角 的平面角.CHA在 中,因为 , 设 ,RtABCa所以 , ,且 为 中点,
13、 .a2B2a在正三角形 中,因为 为 的中点, ,DHAED所以 .31624HEa在 中, .RtC2tan364CEHa16.答案：3- 12 -解析：还原后的图形如图所示,相互异面的有 与 、 与 、 与 ，共 对.ABCDEFGHAB3三、解答题17.答案：1.以点 为坐标原点,射线 分别为 轴的正方向D,ADCPx,yz建立空间直角坐标系.设 .=a证明:连接 交 于 ,连接 .AC,BGE依题意得 .0,0,0,2aDaP因为底面 是正方形,所以 是此正方形的中心.故点 的坐标为 ,且 ,G02,0,02aAaEG所以 ,这表明 ,而 平面 ,PAE/PDB且 平面 ,所以 平面 .DB2.依题意得 ,所以 .(0)a(,)a又 ,故 .,2E200PE所以 ,由已知得 ,PBDFB所以 平面 .
