1、- 1 -牡一中 2016 级高二学年下学期期末考试文科数学试题一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】全集 ，集合 ， ，集合 ，所以 ，故选 A.2. 已知复数 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先代入，再根据复数乘法与除法法则求解.详解：因为 ，所以 ,选 A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为 、虚部为 、模为 、对应点
2、为 、共轭为3. 下列关于命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”B. “ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件C. 命题“ ，使得 ”的否定是：“ 均有 ”D. “若 为 的极值点，则 ”的逆命题为真命题- 2 -【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的构成关系可知答案 A 是正确的；当 时，函数 在定义域内是单调递增函数，故答案 B 也是正确的；由于存在性命题的否定是全称命题，所以命题“ ，使得 ”的否定是：“ 均有 ”，即答案 C 是也是正确的；又因为 的根不一定是极值点，例如函数 ，则 就不是极值点，也就是说命题“若 为 的极值点，则 ”的逆
3、命题是假命题，所以应选答案 D。4. 若 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据指数、对数、幂函数的单调性确定三个数所在区间，再比较大小.详解：因为 ，所以 ,选 C.点睛：比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小，有时需借助第三量比较大小.5. 已知 ，则“ ”是“ ”的 ( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析：先解不等式 ，再根据解集之间包含关系确定充要关系.详解：因为 ，所以 或
4、所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件- 3 -选 D.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件6. 函数 的图象的对称轴方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据余弦函数对称轴得方程，解得结果.详解：因为 ，所以选 C.点睛：函数 的性质(1) .(2)周期(3)由 求对称轴(4)由
5、求增区间; 由 求减区间7. 已知 且 ,则 的值为 ( )A. B. 7 C. D. -7【答案】A【解析】- 4 -分析：先根据同角三角函数关系求 ，再根据两角和正切公式求结果.详解：因为 且 ，所以所以选 A.点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.8.
6、下列函数 中，满足“任意 且 ， ”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】“任意 ， ，且 ， ”等价于函数为减函数，四个选项中，只有 选项符合.9. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数 图象平移变换的性质可知：将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为：- 5 -.则函数的单调递增区间满足： ，即 ，令 可得函数的一个单调递增区间为 ，选项 A 正
7、确，B 错误；函数的单调递减区间满足： ，即 ，令 可得函数的一个单调递减区间为 ，选项 C，D 错误；本题选择 A 选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10. 函数 的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先确定函数是连续函数，然后结合函数零点存在定理求解函数零点所在的区间即可.详解：函数 的图像是连续的，且：，由函数零点存在定理可得函数点所在的区间为 .本题选择 D 选项.- 6 -点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)
8、零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a， b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点11. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且对任意的 ，当 ，若直线 与函数 的图像在 内恰有两个不同的公共点，则实数 的值是（ ）A. 0 B. 0 或 C. 或 D. 0 或【答案】D【解析】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数 的值.详解：因为 ，所以周期为 2，作图如下
9、：由图知，直线 与函数 的图像在 内恰有两个不同的公共点时直线 点A(1,1)或与 相切，即 或- 7 -选 D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等12. 设定义在 上的函数 满足任意 都有 ，且 时，有 ，则 的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意，函数 满足任意 都有 ，则有 ，则是周期为 的函数，则有 ，设 ，则导数为，又由 时， ，则有 ，则有，则函数 在 上
10、为减函数，则有 ，即 ，又由 ，则有 ，变形可得，故选 C.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.
11、设命题 ， ，则 为_.【答案】【解析】- 8 -分析：根据全称命题的否定得结果.详解：因为 的否定为 ，所以 为点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；对原命题的结论进行否定14. 若实数 满足 则 的最小值为_【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=3xy 得 y=3xz，平移直线 y=3xz,由图象可知当直线 y=3xz 经过点(0,1)时，直线 y=3xz 的纵截距-z 最大，z 最小， 的最小值为 30-1=-1.故填-1.15. 设 为曲线 图象上任意一点，且在点 处切线的倾斜角为 ，则的最小
12、值为_.【答案】【解析】由题意得 ，因为 ，当且仅当 时取等号，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，即 的最小值是 .点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等- 9 -式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16. 已知函数定义在 上的奇函数，当 时， ，给出下列命题： 时， 函数有 2 个零点 的解集为 ,都有 其中正确命题为_.【答案】 , 【解析】分析：先根据奇函数性质求 时解析式，根据函数 确定零点个数以及不等式解集，根据函数最值判断不等式恒成立问题.详解：
13、因为函数 定义在 上的奇函数，所以 时， ， ，因为当 时， ，所以 ，当 时 ，当 时 ，因此当 时， ，根据奇函数性质得，因为 ，所以 ，即函数有 0，1，-1 三个零点，当 时， 得-11,所以 的解集为 ，综上正确命题为 , 点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.三、解答题：17. 已知函数 在一个周期内的部分对应值如下表：- 10 -（1）求 的解析式；（2）求函数 的最大值和最小值.【答案】 （1） ；（
14、2） .【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于 的方程组即可求解；（2）根据（1）以及条件列出关于 的方程即可求解试题解析：（1）由表格可知， 的周期 ，所以 ，又由 ，且 ，所以 ，所以 ；（2），由 ，所以当 时， 有最大值 ；当 时， 有最小值 考点：三角函数综合18. 已知函数 的最小正周期为 ，且图象关于直线对称（1）求 的解析式；（2） 若函数 的图象与直线 在 上只有一个交点，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】分析：(1)根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质确定 的解析式；(2)先化简 ，再同一坐标系中作出 ysin 和
15、 ya 的图象，根据图像确定实数 的取值范围详解：(1) f(x) sinxcosxcos 2x sin2x (1cos2x) sin- 11 -1. 函数 f(x)的最小正周期为 ， ，即 1， f(x)sin 1. 当 1 时，f(x)sin 1， f sin 1 不是函数的最大值或最小值， 其图象不关于 x 对称，舍去 当 1 时，f(x)sin 1， f sin 10 是最小值， 其图象关于 x 对称故 f(x)的解析式为 f(x)1sin .(2) y1f(x)sin ，在同一坐标系中作出 ysin 和 ya 的图象：由图可知，直线 ya 在 a 或 a1 时，两曲线只有一个交点，
16、a 或 a1.点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为 的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征19. 已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若不等式 对于 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据分段函数图像确定 最小值，再解不等式 ，可得实数 的取值范围.- 12 -试题解析：（1）依题意， 故不等式 的解集为 . （2）由（1）可得，当 时， 取最小值 ， 对于 恒成立， ，即 ， ，解之得
17、，实数 的取值范围是 .点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向20. 设椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 已知椭圆的离心率为 ，（1）求椭圆的方程；（2）设直线 与椭圆交于 两点， 与直线 交于点 ，且点 均在第四象限若 的面积是 面积的 2 倍，求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】分析：（I）由题意结合几何关系可求得 .则椭圆的方程为 .（II）设点 P 的坐标为 ，
18、点 M 的坐标为 ，由题意可得 .易知直线 的方程为 ，由方程组 可得 .由方程组可得 .结合 ，可得 ，或 .经检验 的值为 .- 13 -详解：（I）设椭圆的焦距为 2c，由已知得 ，又由 ，可得 由,从而 所以，椭圆的方程为 （II）设点 P 的坐标为 ，点 M 的坐标为 ，由题意， ，点 的坐标为 由 的面积是 面积的 2 倍，可得 ，从而 ，即 易知直线 的方程为 ，由方程组 消去 y，可得 由方程组消去 ，可得 由 ，可得 ，两边平方，整理得 ，解得 ，或 当 时， ，不合题意，舍去；当 时， ， ，符合题意所以， 的值为 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应
19、用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21. 已知函数 ，其中 .（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；（2）)若函数 在区间 内恰有一个极大值和一个极小值，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】分析：（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程. (2)先求函数 在区间内的极大值和极小值，再分析得到实数 的取值范围.- 14 -详解：（） 当 时， ， ，所以切线方程为 .（）令 ，则 在 恰有一个极大值,和一个极小值可以转化为 在 有两个变
20、号零点.， 或 .所以 g(x)在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，所以 g(x)在 处取到极小值 ,在 处取到极大 .又 g(0)=a+1,g(2)= ,要想使函数恰有两个变号零点，只需满足所以 .点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调性和极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出 g(x)在 处取到极小值 ,在 处取到极大 后，分析出要想使函数恰有两个变号零点，只需满足22. 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 的极坐标方程为 ，直线
21、与圆 相交于 ， 两点（1）求直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程；（2）求弦长 - 15 -【答案】 （1） ， ；（2） .【解析】分析：(1)先根据加减消元法得直线 的普通方程，再根据 及 得圆 的直角坐标方程(2)将直线 的参数方程代入圆 的直角坐标方程，根据参数几何意义以及韦达定理求弦长 详解：（1）由直线 的参数方程消去参数 ，可得直线 的普通方程为 ，因为圆 的极坐标方程为 ，即 ，所以圆 的直角坐标方程为 ，即 .（2）把 代入 ，得 ，即 ，设方程的两个实根为 ，则 ， ，所以 ，即 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点 M0(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程是 .(t 是参数， t 可正、可负、可为 0)若 M1， M2是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1， t2，则(1)M1， M2两点的坐标分别是( x0 t1cos ， y0 t1sin )，( x0 t2cos ， y0 t2sin ).(2)|M1M2| t1 t2|.(3)若线段 M1M2的中点 M 所对应的参数为 t，则 t ，中点 M 到定点 M0的距离- 16 -|MM0| t| .(4)若 M0为线段 M1M2的中点，则 t1 t20.
