1、111.1 变化率问题 11.2 导数的概念学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系 A 是出发点， H 是山顶爬山路线用函数 y f(x)表示自变量 x 表示某旅游者的水平位置，函数值 y f(x)表示此时旅游者所在的高度设点 A 的坐标为( x1， y1)，点 B 的坐标为( x2， y2)思考 1 若旅游者从点 A 爬到点 B，自变量 x 和函数值 y 的改变量分别是多少？答案 自变量 x 的改变量为 x2 x1，记作 x，函数值
2、的改变量为 y2 y1，记作 y.思考 2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答案 对山路 AB 来说，用 可近似地刻画其陡峭程度 y x y2 y1x2 x1梳理 函数 y f(x)从 x1到 x2的平均变化率(1)定义式： . y x fx2 fx1x2 x1(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比(3)作用：刻画函数值在区间 x1， x2上变化的快慢(4)几何意义：已知 P1(x1， f(x1)， P2(x2， f(x2)是函数 y f(x)的图象上两点，则平均变化率 表示割线 P1P2的斜率 y x fx2 fx1x2 x1知识点二 瞬时速度思考 1 物体的路程 s 与时间 t 的关
3、系是 s(t)5 t2.试求物体在1,1 t这段时间内的平均速度答案 s5(1 t)2510 t5( t)2， 105 t.v s t思考 2 当 t 趋近于 0 时，思考 1 中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？2答案 当 t 趋近于 0 时， 趋近于 10，这时的平均速度即为当 t1 时的瞬时速度 s t梳理 瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(2)一般地，设物体的运动规律是 s s(t)，则物体在 t0到 t0 t 这段时间内的平均速度为 .如果 t 无限趋近于 0 时， 无限趋近于某个常数 v，我们就 s t st0 t st0 t s t说当 t 趋近于 0 时，
4、的极限是 v，这时 v 就是物体在时刻 t t0时的瞬时速度，即瞬时 s t速度 v lim t 0 s t.lim t 0st0 t st0 t知识点三 函数在某点处的导数函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率 ，我们称它为lim x 0 y x lim x 0fx0 x fx0 x函数 y f(x)在 x x0处的导数，记作 f( x0)或 0|x，即 f( x0) lim x 0 y x lim x 0.fx0 x fx0 x1在平均变化率中，函数值的增量为正值( )2瞬时变化率是刻画某函数值在区间 x1， x2上变化快慢的物理量( )3函数 y f(x)在 x x0处的导数值与
5、x 的正、负无关( )3类型一 函数的平均变化率命 题 角 度 1 求 函 数 的 平 均 变 化 率例 1 求函数 y f(x) x2在 x1,2,3 附近的平均变化率，取 x 都为 ，哪一点附近的平13均变化率最大？考点 变化问题与变化率题点 变化率大小的比较解 在 x1 附近的平均变化率为k1 f1 x f1 x 1 x2 1 x2 x；在 x2 附近的平均变化率为k2 f2 x f2 x 2 x2 22 x4 x；在 x3 附近的平均变化率为k3 f3 x f3 x 3 x2 32 x6 x.当 x 时， k12 ，13 13 73k24 ， k36 .13 133 13 193由于
6、k1v 乙B v 甲 0)上的平均变化率不大于1，求 x 的取值范围考点 平均变化率题点 平均变化率的应用解 函数 f(x)在2,2 x上的平均变化率为 y x f2 x f2 x 2 x2 2 x 4 2 x3 x，由3 x1，得 x2.又 x0， x 的取值范围是(0，)13已知 f(x) x2， g(x) x3，求适合 f( x0)2 g( x0)的 x0的值15考点 导数定义的应用题点 导数定义在函数中的应用解 由导数的定义知，f( x0) 2 x0，lim x 0x0 x2 x20 xg( x0) 3 x .lim x 0x0 x3 x30 x 20因为 f( x0)2 g( x0)
7、，所以 2x023 x ，即 3x 2 x020.20 20解得 x0 或 x0 .1 73 1 73四、探究与拓展14.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x， y0， x t(t0)围成的 OAB 的面积3为 S(t)，则 S(t)在 t2 时的瞬时变化率是_考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 2 3解析 x t 时， y t， B(t， t)，3 3则 AB t，3 S(t) OAAB t t t2，12 12 3 32 S(2) lim t 0S2 t S2 t 2 .lim t 0322 t2 23 t 315若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间
8、单位：s)s f(t)Error!求：(1)物体在 t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度 v0；(3)物体在 t1 时的瞬时速度16考点 求瞬时速度题点 用极限思想求瞬时速度解 (1)因为物体在 t3,5内的时间变化量为 t532，位移变化量为 s35 22(33 22)3(5 23 2)48，所以物体在 t3,5内的平均速度为 24 m/s. s t 482(2)求物体的初速度 v0，即求物体在 t0 时的瞬时速度因为物体在 t0 附近位移的平均变化率为 s t f0 t f0 t29 30 t 32 29 30 32 t3 t18，所以物体在 t0 处位移的瞬时变化率为 (3 t18)18，lim t 0 s t lim t 0即物体的初速度 v018 m/s.(3)物体在 t1 时的瞬时速度即为物体在 t1 处位移的瞬时变化率，因为物体在 t1 附近位移的平均变化率为 s t f1 t f1 t 3 t12，29 31 t 32 29 31 32 t所以物体在 t1 处位移的瞬时变化率为 (3 t12)12，lim t 0 s t lim t 0即物体在 t1 时的瞬时速度为12 m/s.
