1、11.3.1 函数的单调性与导数(二)学习目标 1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间( a， b)内的函数 y f(x)：f( x)的正负 f(x)的单调性f( x)0 单调递增f( x)0，则 f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似) f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x( a， b)都有 f( x)0 且在( a， b)内的任一非空子区间上 f( x)不恒为 0.2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数 y f(x)，在区间( a， b)上导数的绝对值 函数值变化 函数的图象越大 快
2、 比较“陡峭”(向上或向下)越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题2(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开1如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f( x)0，则 f(x)在此区间内没有单调性( )2函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大( )类型一 利用导数求参数的取值
3、范围例 1 若函数 f(x) kxln x 在区间(1，)上单调递增，则 k 的取值范围是_考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 1，)解析 由于 f( x) k ， f(x) kxln x 在区间(1，)上单调递增，等价于 f( x)1x k 0 在(1，)上恒成立1x由于 k ，而 00 时，令 f( x)0，得 x ，1k只需 (1，)，即 1，则 00(或 f( x)1，即 a2 时，函数 f(x)在(，1)和( a1，)上单调递增，在(1， a1)上单调递减，由题意知(1,4)(1， a1)且(6，) (a1，)，所以 4 a16，即 5 a7.
4、故实数 a 的取值范围为5,7方法二 (数形结合法)如图所示，4f( x)( x1) x( a1)因为在(1,4)内， f( x)0，在(6，)内 f( x)0，且 f( x)0 有一根为 1，所以另一根在4,6上所以Error! 即Error!所以 5 a7.故实数 a 的取值范围为5,75方法三 (转化为不等式的恒成立问题)f( x) x2 ax a1.因为 f(x)在(1,4)上单调递减，所以 f( x)0 在(1,4)上恒成立即 a(x1) x21 在(1,4)上恒成立，所以 a x1，因为 27，所以当 a7 时， f( x)0 在(6，)上恒成立综上知 5 a7.故实数 a 的取值
5、范围为5,7类型二 证明不等式例 2 证明 ex x1sin x1( x0)考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式证明 令 f(x)e x x1( x0)，则 f( x)e x10， f(x)在0，)上单调递增，对任意 x0，)，有 f(x) f(0)，而 f(0)0， f(x)0，即 ex x1，令 g(x) xsin x(x0)， g( x)1cos x0， g(x) g(0)，即 xsin x0， x1sin x1( x0)，综上，e x x1sin x1.反思与感悟 用导数证明不等式 f(x)g(x)的一般步骤(1)构造函数 F(x) f(x) g(x)， x a， b
6、2)证明 F( x) f( x) g( x)0，且 F(a)0.(3)依(2)知函数 F(x) f(x) g(x)在 a， b上是单调递增函数，故 f(x) g(x)0，即 f(x)g(x)这是因为 F(x)为单调递增函数，所以 F(x) F(a)0，即 f(x) g(x) f(a) g(a)0.6跟踪训练 2 已知 x0，证明不等式 ln(1 x)x x2成立12考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式证明 设 f(x)ln(1 x) x x2，12则 f( x) 1 x .11 x x21 x当 x1 时， f( x)0，则 f(x)在(1，)内是增函数当 x0 时， f(
7、x)f(0)0.当 x0 时，不等式 ln(1 x)x x2成立.121已知命题 p：对任意 x( a， b)，有 f( x)0， q： f(x)在( a， b)内是单调递增的，则 p是 q 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性答案 A2已知对任意实数 x，都有 f( x) f(x)， g( x) g(x)，且当 x0 时， f( x)0， g( x)0，则当 x0， g( x)0 B f( x)0， g( x)0 D f( x)0 时， f(x)， g(x)都单调递增，则当 x0， g(
8、 x)0，12所以 f(x)在(，)上为单调递增函数，其图象若穿越 x 轴，则只有一次穿越的机会，显然 x0 时， f(x)0.所以方程 x sin x0 有唯一的实根 x0.128利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即 f( x)0(或 f( x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意；(2)先令 f( x)0(或 f( x)f(b) B f(a) f(b)C f(a)1考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 A解析 由 f( x) e，1 ln xx2 f(x)在(e，)上为减函
9、数，ef(b)3若函数 f(x)2 x2ln x 在定义域内的一个子区间( k1， k1)上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是( )A. B. C(1,2 D1,2)1，32) (1， 329考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 A解析 显然函数 f(x)的定义域为(0，)， f( x)4 x .由 f( x)0，得函1x 4x2 1x数 f(x)的单调递增区间为 ；由 f( x)0，得函数 f(x)单调递减区间为 .因(12， ) (0， 12)为函数在区间( k1， k1)上不是单调函数，所以 k1 k1，解得 k ，又因12 12 32为( k1
10、 k1)为定义域内的一个子区间，所以 k10，即 k1.综上可知，1 k .324若 a0，且 f(x) x3 ax 在1，)上是增函数，则 a 的取值范围是( )A(0,3) B(0,3C(3，) D3，)考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 B解析 由题意得， f( x)3 x2 a0 在 x1，)上恒成立，即 a(3 x2)min3，又 a0，00.6设 f(x)， g(x)在 a， b上可导，且 f( x)g( x)，则当 ag(x)10B f(x)g(x) f(a)D f(x) g(b)g(x) f(b)考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造
11、法的应用答案 C解析 设 h(x) f(x) g(x)， f( x) g( x)0， h( x)0， h(x)在 a， b上是增函数，当 ah(a)， f(x) g(x)f(a) g(a)，即 f(x) g(a)g(x) f(a)二、填空题7若 ysin x ax 在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是_考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 1，)解析 因为 ycos x a0，所以 acos x 对 xR 恒成立所以 a1.8若函数 y ax3 ax22 ax(a0)在1,2上为增函数，则 a 的取值范围是_13 12考点 利用导数求函数的单调区间题点
12、 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 (，0)解析 y ax2 ax2 a a(x1)( x2)0，当 x(1,2)时，( x1)( x2)0， a0.1110若函数 f(x) x2 bln(x2)在(1，)上是减函数，则 b 的取值范围是12_考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 (，1解析 f( x) x ，bx 2由题意知 f( x) x 0 在(1，)上恒成立，bx 2即 x 在(1，)上恒成立，bx 2 x1， x210， b x(x2)，设 y x(x2)，则 y x22 x( x1) 21， x1， y1，要使 b x(x2)成立，则有
13、b1.11若 f(x) (xR)在区间1,1上是增函数，则 a 的取值范围是_2x ax2 2考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 1,1解析 f( x)2 ， x2 ax 2x2 22 f(x)在1,1上是增函数， f( x)2 0. x2 ax 2x2 22( x22) 20， x2 ax20 对 x1,1恒成立令 g(x) x2 ax2，则Error! 即Error!1 a1.即 a 的取值范围是1,1三、解答题12已知函数 f(x) ax2ln( x1)12(1)当 a 时，求函数 f(x)的单调区间；14(2)若函数 f(x)在区间1，)上为减函
14、数，求实数 a 的取值范围考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)当 a 时，14f(x) x2ln( x1)( x1)，14f( x) x (x1)12 1x 1 x 2x 12x 1当 f( x)0 时，解得11.故函数 f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1，)(2)因为函数 f(x)在区间1，)上为减函数，所以 f( x)2 ax 0 对任意 x1，)恒成立，1x 1即 a 对任意 x1，)恒成立12xx 1令 g(x) ，12xx 1易求得在区间1，)上 g( x)0，故 g(x)在区间1，)上单调递增，故 min g(1) ，
15、 12xx 1 14故 a .14即实数 a 的取值范围为 .( ， 1413已知函数 f(x)ln x .x 122(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)证明：当 x1 时， f(x)0，得Error!解得 01 时， F(x)1 时， f(x)0 时， xf( x) f(x)0 成立的 x 的取值范围是_考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用答案 (，1)(0,1)解析 因为 f(x)(xR)为奇函数， f(1)0，所以 f(1) f(1)0.当 x0 时，令g(x) ，则 g(x)为偶函数，且 g(1) g(1)0.则当 x0 时， g( x) fxx (fxx)g(1)
16、0 0f(x)0；在(，0)上，当 x0.fxx综上，使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)15设函数 f(x) xekx(k0)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在区间(1,1)上单调递增，求 k 的取值范围考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)由 f( x)(1 kx)ekx0，得 x (k0)1k14若 k0，则当 x 时， f( x)0，函数 f(x)单调递增(1k， )若 k0，函数 f(x)单调递增；( ， 1k)当 x 时， f( x)0 时， f(x)的增区间为 ，减区间为 ，(1k， ) ( ， 1k)k0，则当且仅当 1，1k即 0k1 时，函数 f(x)在(1,1)上单调递增；若 k0，则当且仅当 1，即1 k0 时，函数 f(x)在(1,1)上单调递增1k综上可知，函数 f(x)在区间(1,1)上单调递增时， k 的取值范围是1,0)(0,1
