1、121.2 演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系知识点一 演绎推理思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被 2 整除，(2 1001)是奇数，所以(2 1001)不能被 2 整除答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理梳理 演绎推理的概念定义 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点 由一般到特殊的推理知识点二 三段论思考 所有的金属都能导电，铜是金属
2、，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案 分为三段大前提：所有的金属都能导电小前提：铜是金属结论：铜能导电2梳理 三段论的基本模式一般模式 常用格式大前提 已知的一般原理 M 是 P小前提 所研究的特殊情况 S 是 M结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 S 是 P1演绎推理的结论一定正确( )2在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断( )3大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的( )类型一 演绎推理与三段论例 1 将下列演绎推理写成三段论的形式平行四边形的对角线互相平分，菱形
3、是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；等腰三角形的两底角相等， A， B 是等腰三角形的两底角，则 A B；通项公式为 an2 n3 的数列 an为等差数列考点 “三段论”及其应用题点 三段论的应用解 平行四边形的对角线互相平分， 大前提菱形是平行四边形， 小前提菱形的对角线互相平分 结论等腰三角形的两底角相等， 大前提 A， B 是等腰三角形的两底角， 小前提 A B. 结论在数列 an中，如果当 n2 时， an an1 为常数，则 an为等差数列， 大前提当通项公式为 an2 n3 时，若 n2，则 an an1 2 n32( n1)32(常数)， 小前提通项公式为 an2 n3 的数
4、列 an为等差数列 结论反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前3提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提跟踪训练 1 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： 是无理数；结论： 是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： 是无限不循环小数；结论： 是无理数C大前提： 是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结
5、论： 是无理数D大前提： 是无限不循环小数；小前提： 是无理数；结论：无限不循环小数是无理数考点 “三段论”及其应用题点 三段论的结构答案 B解析 对于 A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于 B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于 C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式类型二 演绎推理的应用命 题 角 度 1 证 明 几 何 问 题例 2 如图， D， E， F 分别是 BC， CA， AB 上的点， BFD A， DE BA，求证： ED AF，写出三段论形式的演绎推理考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理
6、在其他方面的应用证明 因为同位角相等，两直线平行， 大前提 BFD 与 A 是同位角，且 BFD A， 小前提所以 FD AE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 大前提DE BA，且 FD AE， 小前提所以四边形 AFDE 为平行四边形 结论因为平行四边形的对边相等， 大前提ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边， 小前提所以 ED AF. 结论反思与感悟 (1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提
7、正确，才能得到正确的结论4(2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论跟踪训练 2 已知：在空间四边形 ABCD 中，点 E， F 分别是 AB， AD 的中点，如图所示，求证： EF平面 BCD.考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用证明 因为三角形的中位线平行于底边， 大前提点 E， F 分别是 AB， AD 的中点， 小前提所以 EF BD. 结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行， 大前提EF平面 BCD， BD平面 BCD， EF BD， 小前提所以 EF平面
8、 BCD. 结论命 题 角 度 2 证 明 代 数 问 题例 3 设函数 f(x) ，其中 a 为实数，若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范exx2 ax a围考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在函数中的应用解 若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为 R， 大前提因为 f(x)的定义域为 R， 小前提所以 x2 ax a0 恒成立 结论所以 a24 a0.在(，0)和(2 a，)上， f( x)0. f(x)的单调递增区间为(，0)，(2 a，)5当 a2 时， f( x)0 恒成立， f(x)的单调递增区间为(，)当 20， f(x)的单调递增区间为(，2 a)，(0，)综
9、上所述，当 01)，证明：函数 f(x)在(1，)上为增函x 2x 1数考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在函数中的应用证明 方法一 (定义法)任取 x1， x2(1，)，且 x10，且 a1，所以 21，而10， x210，所以 f(x2) f(x1)0，所以 f(x)在(1，)上为增函数方法二 (导数法)f(x) ax ax1 .x 1 3x 1 3x 1所以 f( x) axln a .3x 12因为 x1，所以( x1) 20，所以 0.3x 12又因为 a1，所以 ln a0， ax0，所以 axln a0，所以 f( x)0.7所以 f(x) ax 在(1，)上是增函数x 2x
10、 11下面几种推理过程是演绎推理的是( )A两条直线平行，同旁内角互补，如果 A 与 B 是两条平行直线的同旁内角，则 A B180B某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人C由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D在数列 an中， a11， an (n2)，由此归纳出 an的通项公式12(an 1 1an 1)考点 演绎推理的含义与方法题点 判断推理是否为演绎推理答案 A解析 A 是演绎推理，B，D 是归纳推理，C 是类比推理2指数函数 y ax(a1)是 R 上的增函数， y2 |x|是指数函数，所以 y2 |x|是 R 上
11、的增函数以上推理( )A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D正确考点 “三段论”及其应用题点 小前提或推理形式错误导致结论错误答案 B解析 此推理形式正确，但是，函数 y2 |x|不是指数函数，所以小前提错误，故选 B.3把“函数 y x2 x1 的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：_；小前提：_；结论：_.考点 “三段论”及其应用题点 三段论的结构答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数 y x2 x1 是二次函数 函数 y x2 x1 的图象是一条抛物线4设 m 为实数，利用三段论证明方程 x22 mx m10 有两个相异实根考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面中的
12、应用8证明 因为如果一元二次方程 ax2 bx c0( a0)的判别式 b24 ac0，那么方程有两个相异实根 大前提方程 x22 mx m10 的判别式 4 m24( m1)4 m24 m4(2 m1) 230， 小前提所以方程 x22 mx m10 有两个相异实根 结论1应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略2合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理3合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.一、
13、选择题1 论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足 ”上述推理用的是( )A类比推理 B归纳推理C演绎推理 D一次三段论考点 演绎推理的含义与方法题点 判断推理是否为演绎推理答案 C解析 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足” ，连续运用五次三段论，属演绎推理形式2对于三段论“因为对数函数 ylog a x 是减函数(大前提)，又 yln x 是对数函数(小前提)，所以 yln x 是减函数(结论)” ，下列说法正确的是( )A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错
14、误C推理形式错误导致结论错误D以上都不对考点 “三段论”及其应用9题点 大前提错误导致结论错误答案 A解析 “ ylog a x 是减函数”错误，故大前提错误3正弦函数是奇函数， f(x)sin( x21)是正弦函数，因此 f(x)sin( x21)是奇函数以上推理( )A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确考点 “三段论”及其应用题点 小前提或推理形式错误导致结构错误答案 C解析 由于函数 f(x)sin( x21)不是正弦函数故小前提不正确4在证明 f(x)2 x1 为增函数的过程中，有下列四个命题：增函数的定义是大前提；增函数的定义是小前提；函数 f(x)2 x1 满足增函
15、数的定义是大前提；函数 f(x)2 x1 满足增函数的定义是小前提其中正确的命题是( )A BC D考点 “三段论”及其应用题点 三段论的结构答案 A解析 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是 f(x)2 x1 满足增函数的定义；结论是 f(x)2 x1 为增函数，故正确5推理过程“大前提：_，小前提：四边形 ABCD 是矩形结论：四边形 ABCD 的对角线相等 ”应补充的大前提是( )A正方形的对角线相等B矩形的对角线相等C等腰梯形的对角线相等D矩形的对边平行且相等考点 “三段论”及其应用题点 三段论的结构答案 B解析 由三段论的一般模式知选 B.106若 a0， bc0
16、，则下列不等式中不成立的是( )A a b a c B ab ac0C. D. 1b1c 3b3c考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用答案 C解析 在 A 中， bc 两边同时加 a，不等号方向不变，不等式成立；在 B 中， bc 两边同时乘 a，因为 a0，所以不等号方向不变，不等式成立；在 C 中，若 b2， c1，则 0 对任意实数 x 都成立，则 14( a2 a1)” “解析 由 cos A b2 c2.12若不等式 ax22 ax20 的解集为，则实数 a 的取值范围为 _考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用答案 0,2解析 不等式 ax22 a
17、x20 无解，则不等式 ax22 ax20 的解集为 R.当 a0 时，20，显然成立，当 a0 时，Error!解得 0a2. a 的取值范围为0,2三、解答题13下面给出判断函数 f(x) 的奇偶性的解题过程：1 x2 x 11 x2 x 112解 由于 xR，且 fxf x 1 x2 x 11 x2 x 1 1 x2 x 11 x2 x 1 1.1 x2 x 121 x2 x 12 2x 2x f( x) f(x)，故函数 f(x)为奇函数试用三段论加以分析考点 “三段论”及其应用题点 三段论的应用解 判断奇偶性的大前提“若定义域关于原点对称，且 f( x) f(x)，则函数 f(x)是
18、奇函数；若定义域关于原点对称，且 f( x) f(x)，则函数 f(x)是偶函数” 在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数 f(x)满足 f( x) f(x)四、探究与拓展14.如图，设平面 EF， AB ， CD ，垂足分别是点 B， D，如果增加一个条件，就能推出 BD EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A AC B AC EFC AC 与 BD 在 内的射影在同一条直线上D AC 与 ， 所成的角相等考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用答案 D解析 只要能推出 EF AC 即可说明 BD EF.当 A
19、C 与 ， 所成的角相等时，推不出 EF AC，故选 D.15已知 y f(x)在(0，)上有意义，单调递增且满足 f(2)1， f(xy) f(x) f(y)(1)求证： f(x2)2 f(x)；(2)求 f(1)的值；(3)若 f(x) f(x3)2，求 x 的取值范围考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在函数中的应用13(1)证明 因为 f(xy) f(x) f(y)，所以 f(x2) f(xx) f(x) f(x)2 f(x)(2)解 因为 f(1) f(12)2 f(1)，所以 f(1)0.(3)解 因为 f(x) f(x3) f(x(x3)22 f(2) f(4)，且函数 f(x)在(0，)上单调递增，所以Error! 解得 0x1.所以 x 的取值范围为(0,1
