1、1第 2 讲 不等式选讲考情考向分析 本部分主要考查绝对值不等式的解法求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想热点一 含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a 或 f(x)0) a1.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)4| x4|的解集；(2)已知关于 x 的不等式| f(2x a)2 f(x)|2 的解集为 x|1 x2，求 a 的值解 (1)当 a2 时
2、， f(x)| x4| x2| x4|Error!当 x2 时，由 f(x)4| x4|，得2 x64，解得 x1；当 20)(1)当 a2 时，求不等式 f(x)8 的解集；(2)若 xR，使得 f(x) 成立，求实数 a 的取值范围32解 (1)当 a2 时，由 f(x)8，得|2 x1| x2|8，即Error! 或Error!或Error!得 x3 或 x或 x3 或 x0，所以实数 a 的取值范围是 .(0， 1思维升华 绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为 a f(x)或 a f(x)的形式(2)转化最值： f(x)a 恒成立 f(x)mina；
3、 f(x)a 有解 f(x)maxa； f(x)a 无解 f(x)max a； f(x)4；4(2)若不等式 f(a) 对任意的实数 a 恒成立，求 b 的取值范围|b 1|解 (1)当 b1 时， f(x)|2 x1|2 x1|4，即Error! x1 或Error!x|b1|，所以(2 b)2(b1) 2，即(3 b1)( b1)0，所以 b 的取值范围为 (1，)( ， 13)热点三 不等式的证明1含有绝对值的不等式的性质|a| b| ab| a| b|.2算术几何平均不等式定理 1：设 a， bR，则 a2 b22 ab，当且仅当 a b 时，等号成立定理 2：如果 a， b 为正数，
4、那么 ，当且仅当 a b 时，等号成立a b2 ab定理 3：如果 a， b， c 为正数，那么 ，当且仅当 a b c 时，等号成立a b c3 3abc定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果 a1， a2， an为 n 个正数，则 ，当且仅当 a1 a2 an时，等号成立a1 a2 ann na1a2an例 3 (2018合肥模拟)已知函数 f(x)| x1| .|x 3|(1)解不等式 f(x) x1；(2)设函数 f(x)的最小值为 c，实数 a， b 满足 a0， b0， a b c，求证： 1.a2a 1 b2b 1(1)解 f(x) x1，即| x1| x1.|x 3|当
5、 x3 时，不等式可化为 2x4 x1，解得 x5.又 x3，31， n1， a m1， b n1， m n4， m n 4 1，a2a 1 b2b 1 (m 1)2m n 12n 1m 1n 4mn 4(m n2 )2当且仅当 m n2 时，等号成立，原不等式得证思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤：作差；分解因式；与 0 比较；结论关键是代数式的变形能力(2)在不等式的证明中，适当“放” “缩”是常用的推证技巧跟踪演练 3 (2018石家庄模拟)已知函数 f(x)|3 x1|3 x1|， M 为不等式 f(x)| a b|.(1)解 f(x)|3 x1|3
6、 x1|1，1 时， f(x)3 x13 x16 x，13由 6x0，6 |a b|.|ab 1|真题体验1(2017全国)已知函数 f(x) x2 ax4， g(x)| x1| x1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x) g(x)的解集；(2)若不等式 f(x) g(x)的解集包含1,1，求实数 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，不等式 f(x) g(x)等价于x2 x| x1| x1|40.当 x1 时，式化为 x2 x40，从而 10， b0， a3 b32，证明：(1)(a b)(a5 b5)4；(2)a b2.证明 (1)( a b)(a5 b5) a6 ab5 a5b b6
7、( a3 b3)22 a3b3 ab(a4 b4)4 ab(a4 b42 a2b2)4 ab(a2 b2)24.(2)因为( a b)3 a33 a2b3 ab2 b323 ab(a b)2 (a b)3a b242 ，3a b34所以( a b)38，(当且仅当 a b 时，等号成立)因此 a b2.押题预测1已知函数 f(x)| x2|2 x a|， aR.(1)当 a1 时，解不等式 f(x)4；(2)若 x0，使 f(x0)| x02|0， n0， m3 n mn， m3 n (m3n) ，13 13 m 3n24即 m3 n12，当且仅当Error!即Error! 时取等号， f(m
8、) f(3 n)|2 m1|6 n1|2 m6 n|，当且仅当(2 m1)(6 n1)0，即 n 时取等号，16又|2 m6 n|24，当且仅当 m6， n2 时，取等号， f(m) f(3 n)24.B 组 能力提高6(2018榆林模拟)已知函数 f(x)|3 x1|2 x1| a.(1)求不等式 f(x)a 的解集；(2)若恰好存在 4 个不同的整数 n，使得 f(n)a，得|3 x1|2 x1|，不等式两边同时平方，得 9x26 x14 x24 x1，即 5x210x，解得 x2.所以不等式 f(x)a 的解集为(，0)(2，)(2)设 g(x)|3 x1|2 x1|Error!作出函数
9、 g(x)的图象，如图所示，因为 g(0) g(2)0， g(3)2|x|；(2)若 f(x) a22 b23 c2(a0， b0， c0)对任意 xR 恒成立，求证： c2|x|，得 x2| x2|2| x|，即Error! 或Error!或Error!解得 x2 或 02 或 x2|x|的解集为(，1)(2，)(2)证明 当 x2 时， f(x) x2 x22 2224；当 x2 时， f(x) x2 x2 2 ，(x12) 74 74所以 f(x)的最小值为 .74因为 f(x) a22 b23 c2对任意 xR 恒成立，所以 a22 b23 c2 .74又 a22 b23 c2 a2
10、c22( b2 c2)2 ac4 bc4 ，且等号不能同时成立，2abc2所以 4 ，即 c .2abc274 ab 72328设函数 f(x)| x | x |.a 1 a(1)当 a1 时，解不等式 f(x) ；12(2)若对任意 a0,1，不等式 f(x) b 的解集不为空集，求实数 b 的取值范围解 (1)当 a1 时，不等式 f(x) 等价于12|x1| x| .12当 x1 时，不等式化为 x1 x ，无解；12当1 x0 时，不等式化为 x1 x ，1213解得 x0；14当 x0 时，不等式化为 x1 x ，12解得 x0.综上所述，不等式 f(x) 的解集为 .12 14， )(2)不等式 f(x) b 的解集不为空集， b f(x)max， a0,1， f(x)| x | x |a 1 a| x x |a 1 a| | ，a 1 a a 1 a f(x)max .a 1 a对任意 a0,1，不等式 f(x) b 的解集不为空集， b min，a 1 a令 g(a) ，a 1 a g2(a)12 12 12 .a 1 a a1 a (a 12)2 14当 a 时， g(a)单调递增，当 a 时， g(a)单调递减，当且仅当 a0 或 a10，12 12， 1时， g(a)min1， b 的取值范围为(，1
