1、1第 2 讲 统计与统计案例考情考向分析 1.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.2.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现热点一 抽样方法1简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取适用范围：总体中的个体数较少2系统抽样特点是将总体平均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取适用范围：总体中的个体数较多3分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取适用范围：总体由差异明显的几部分组成例 1 (1)(2018绵阳诊断)为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001,0002，2000 的 2 000 名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量
2、为 50 的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为 0003，则最后一个样本编号是( )A0047 B1663 C1960 D1963答案 D解析 2 0005040，故最后一个样本编号为 349401963.(2)(2018东莞统考)某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层抽样调查，得到了如下表所示的数据，则 _.xyz年级段 小学 初中 高中总人数 800 x y2样本中人数 16 15 z答案 37 500解析 由分层抽样的特点，得 ，即 x750， 50，则 37 500.80016 x15 yz yz xyz思维升华 (1)随机抽样的各种方法中，每个个体被
3、抽到的概率都是相等的(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例跟踪演练 1 (1)(2018福州检测)为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A简单随机抽样 B按性别分层抽样C按年龄段分层抽样 D系统抽样答案 C解析 我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信
4、健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大了解某地区的“微信健步走”活动情况，按年龄段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理(2)(2018江西省重点中学盟校联考)要从已编号(170)的 70 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 7 枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 7枚导弹的编号可能是( )A5,10,15,20,25,30,35 B3,13,23,33,43,53,63C1,2,3,4,5,6,7 D1,8,15,22,29,36,43答案 B解析 根据系统抽样的定义可知，编号间距为 70710，则满足条件的可能是 3,13,23,3
5、3,43,53,63.热点二 用样本估计总体1频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示 ，频率组距 .频 率组 距 频 率组 距2频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1.3利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数3(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等(3)平均数是频率分布直方图的“重心” ，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和例 2 (1)一组数据共有 7 个数，记得其中有 10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但
6、知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为( )A11 B3 C9 D17答案 C解析 设没记清的数为 x，若 x2，则这列数为 x,2,2,2,4,5,10，平均数为 ，中位数25 x7为 2，众数为 2，所以 22 2，得 x11；若 26.635，60(2418 126)230303624因此在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关思维升华 (1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；7回归直线过样本点的中心( ， )
7、，应引起关注x y(2)独立性检验问题，要确定 22 列联表中的对应数据，然后代入公式求解 K2即可跟踪演练 3 (2018河南省中原名校质检)下表为 2014 年至 2017 年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元)，其中年份代码 x年份2013.年份代码 x 1 2 3 4线下销售额 y 95 165 230 310(1)已知 y 与 x 具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 2019 年该百货零售企业的线下销售额；(2)随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随
8、机调查了55 位男顾客、50 位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有 10 人、女顾客有 20 人，能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据： ， ，b ni 1xiyi nx yni 1x2i nx2 a y b xK2 ， n a b c d.nad bc2a bc da cb dP(K2 k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63
9、5 7.879解 (1)由题意得 2.5， 200， x 30，x y 4 i 12ixiyi2 355，4 i 1所以 b 4 i 1xiyi 4x y 4 i 1x2i 4x2 2 355 42.520030 42.52 71，3555所以 200712.522.5，a y b x8所以 y 关于 x 的线性回归方程为 71 x22.5.y 由于 2 0192 0136，所以当 x6 时， 71622.5448.5，y 所以预测 2019 年该百货零售企业的线下销售额为 4485 万元(2)由题意可得 22 列联表如下：持乐观态度 持不乐观态度 总计男顾客 10 45 55女顾客 20 3
10、0 50总计 30 75 105故 K2的观测值 k 6.109，105(1030 4520)255503075由于 6.1095.024，所以可以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关真题体验1(2017山东改编)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位：件)若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为_答案 3,5解析 甲组数据的中位数为 65，由甲、乙两组数据的中位数相等得 y5.又甲、乙两组数据的平均值相等， (5665627470 x) (5961676578)， x3.
11、15 152(2017山东改编)为了研究某班学生的脚长 x(单位：厘米)和身高 y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其线性回归方程为 x .已知 xi225， yi1 600， 4.该班某学生的脚长y b a 10 i 1 10 i 1 b 为 24，据此估计其身高为_9答案 166解析 xi225， xi22.5.10 i 1 x 11010 i 1 yi1 600， yi160.10 i 1 y 11010 i 1又 4， 160422.570.b a y b x线性回归方程为 4 x70.y 将 x24 代
12、入上式，得 42470166.y 3(2016全国改编)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 ， B 点表示四月的平均最低气温约为 5 .下列叙述不正确的是_(填序号)各月的平均最低气温都在 0 以上；七月的平均温差比一月的平均温差大；三月和十一月的平均最高气温基本相同；平均最高气温高于 20 的月份有 5 个答案 解析 由题意知，平均最高气温高于 20 的有七月，八月，故不正确4(2017江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100 件，为检验产品的质
13、量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件答案 18解析 ，样 本 容 量总 体 个 数 60200 400 300 100 350应从丙种型号的产品中抽取 30018(件)350押题预测1某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地分别随机调查了 10 个用户，将满意10度的分数绘成茎叶图，如图所示设甲、乙两地的满意度分数的平均数分别为 甲 ， 乙 ，中x x位数分别为 m 甲 ， m 乙 ，则( )A. 甲 m 乙x xB. 甲 乙 ， m 甲 m 乙x xC. 甲 乙 ， m 甲 乙x x中位数分别为 m 甲 75， m 乙 73，74
14、 762 73 732所以 m 甲 m 乙2某校为了解高三学生寒假期间的学习情况，抽查了 100 名学生，统计他们每天的平均学习时间，绘制成频率分布直方图，如图所示，则这 100 名学生中学习时间在 6 至 10 小时之间的人数为_押题依据 频率分布直方图多以现实生活中的实际问题为背景，对图形的理解应用可以考查学生的基本分析能力，是高考的热点11答案 58解析 由题图知，(0.040.12 x0.140.05)21，解得 x0.15，所以学习时间在6 至 10 小时之间的频率是(0.150.14)20.58，所求人数为 1000.5858.3某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间
15、，为此做了四次试验，得到的数据如下：零件的个数 x(个) 2 3 4 5加工的时间 y(小时) 2.5 3 4 4.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 x ，并在坐标系中画出回归直线；y b a (3)试预测加工 10 个零件大约需要多少小时？(注： ， )b ni 1xiyi nx yni 1x2i nx2 a y b x押题依据 线性回归分析在生活中具有很强的应用价值，是高考的一个重要考点解 (1)散点图如图(2)由表中数据得 iyi52.5，4i 1x3.5， 3.5， 54，x y4i 1x2i12 0.7，b 52.5 43.53.
16、554 43.523.50.73.51.05，a 0.7 x1.05，回归直线如图所示y (3)将 x10 代入线性回归方程，得 0.7101.058.05，y 故预测加工 10 个零件大约需要 8.05 小时A 组 专题通关1(2018北京师范大学附中模拟)已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )A30 B31 C32 D33答案 B解析 阅读茎叶图可知，乙组的中位数为 33，32 342结合题意可知，甲组的中位数为 33，即 m3，则甲组数据的平均数为 31.24 33 3632(2018衡水金卷信息卷) A 地的天气预报显示， A 地在今后的三天
17、中，每一天有强浓雾的概率为 30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生 09 之间整数值的随机数，并用 0,1,2,3,4,5,6 表示没有强浓雾，用 7,8,9 表示有强浓雾，再以每 3 个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下 20 组随机数：402 978 191 925 273 842 812 479 569 683231 357 394 027 506 588 730 113 537 77913则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似值为( )A. B. C. D.14 25 710 15答案 D解析 由随机数表可知，满足题意的数据为 97
18、8,479,588,779，据此可知，这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为 P .420 153(2018黄山模拟)在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中，下列说法正确的是( )A若 K2的观测值 k6.635，则在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺癌B由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时，我们说某人吸烟，那么他有 99%的可能患有肺癌C若从随机变量中求出在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，是指有 1%的可能性使得判断出现错误D以上三
19、种说法都不正确答案 C解析 独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释结合所给选项可得若从随机变量中求出在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，是指有 1%的可能性使得判断出现错误4(2018吉林省长春市名校联盟)下列命题：在线性回归模型中，相关指数 R2表示解释变量 x 对于预报变量 y 的贡献率， R2越接近于 1，表示回归效果越好；两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1；在线性回归方程
20、0.5 x2 中，当解释变量 xy 每增加一个单位时，预报变量 平均减少 0.5 个单位；对分类变量 X 与 Y，它们的随机变y 量 K2的观测值 k 来说， k 越小， “X 与 Y 有关系”的把握程度越大其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 对于，在回归分析模型中，相关指数 R2表示解释变量 x 对于预报变量 y 的贡献率，R2越接近于 1，表示回归效果越好，正确，因为相关指数 R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，正确；对于，两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1；14对于，在线性回归方程 0.5 x2 中，当解释变量 x 每增加一个单位时
21、，预报变量 平y y 均减少 0.5 个单位，正确；对于，对分类变量 X 与 Y，它们的随机变量 K2的观测值 k 来说， k 越小， “X 与 Y 有关系”的把握程度越大，错误，因为在对分类变量 X 与 Y 进行独立性检验时，随机变量 K2的观测值 k 越大，则“ X 与 Y 相关”的可信程度越大，故错误故选 C.5(2018辽宁省部分重点中学协作体模拟)一支田径队共有运动员 98 人，其中女运动员42 人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是 ，则男运动员应抽27取_人答案 16解析 由题意得男运动员的人数为 984256.因为每名运动员被抽到的概率都是 ，27所以男运
22、动员应抽取 56 16(人)276(2018重庆调研)某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从 100 件产品中抽取 5 件进行检测，对这 100 件产品随机编号后分成 5 组，第一组 120 号，第二组2140 号，第五组 81100 号，若在第二组中抽取的编号为 24，则在第四组中抽取的编号为_答案 64解析 设在第一组中抽取的号码为 a1，则在各组中抽取的号码满足首项为 a1，公差为 20 的等差数列，即 an a1( n1)20，又在第二组抽取的号码为 24，即 a12024，所以 a14，所以在第四组抽取的号码为 4(41)2064.7某班 40 名学生参加普法知识竞赛
23、，成绩都在区间40,100内，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于 60 分的人数为_答案 3015解析 由题意可得 40(0.0150.0300.0250.005)1030，则成绩不低于 60 分的人数为 30.8某设备的使用年数 x 与所支出的维修总费用 y 的统计数据如下表：使用年数 x (单位：年) 2 3 4 5 6维修总费用 y (单位：万元) 1.5 4.5 5.5 6.5 7.5根据上表可得线性回归方程为 1.4 x .若该设备维修总费用超过 12 万元就报废，据此模y a 型预测该设备最多可使用_年答案 8解析 因为 4，x2 3 4 5 65 5.1，y1.5 4.5 5
24、.5 6.5 7.55故代入线性回归方程可得 5.11.440.5，a 所以线性回归方程为 1.4 x0.5，y 当 y12 时，解得 x8.9.9(2018全国)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m
25、 的工人数填入下面的列联表；超过 m 不超过 m 总计第一种生产方式第二种生产方式总计(3)根据(2)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？16附： K2 ， n a b c d.nad bc2a bc da cb dP(K2 k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828解 (1)第二种生产方式的效率更高理由如下：()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min；用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 min.因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图
26、可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 min.因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时
27、间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少因此第二种生产方式的效率更高(2)由茎叶图知 m 80.79 812列联表如下：超过 m 不超过 m 总计第一种生产方式 15 5 20第二种生产方式 5 15 20总计 20 20 40(3)因为 K2 106.635，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效401515 55220202020率有差异B 组 能力提高10某公司有 30 名男职员和 20 名女职员，公司进行了一次全员参与的职业能力测试，现随17机询问了该公司 5 名男职员和 5 名女职员在测试中的成绩(满分为 30
28、分)，可知这 5 名男职员的测试成绩分别为 16,24,18,22,20,5 名女职员的测试成绩分别为 18,23,23,18,23，则下列说法一定正确的是( )A这种抽样方法是分层抽样B这种抽样方法是系统抽样C这 5 名男职员的测试成绩的方差大于这 5 名女职员的测试成绩的方差D该测试中公司男职员的测试成绩的平均数小于女职员的测试成绩的平均数答案 C解析 根据抽样方法的特点，可知这种抽样既不是分层抽样，也不是系统抽样，故 A，B 是错误的；由这 5 名男职员和 5 名女职员的测试成绩得不出该公司男职员和女职员的测试成绩的平均数，故 D 是错误的；根据公式，可以求得这 5 名男职员的测试成绩的
29、方差为 s 8,521名女职员的测试成绩的方差为 s 6，所以 C 正确故选 C.211某青少年成长关爱机构为了调查所在地区青少年的年龄与身高状况，随机抽取 6 岁，9岁，12 岁，15 岁，18 岁的青少年身高数据各 1 000 个，根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回归直线 l.根据图中数据，下列对该样本描述错误的是( )A据样本数据估计，该地区青少年身高与年龄成正相关B所抽取数据中，5 000 名青少年平均身高约为 145 cmC直线 l 的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量D从这 5 种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这 5 人的平均年龄和平均身高数据作出的点一
30、定在直线 l 上答案 D解析 在给定范围内，随着年龄增加，年龄越大身高越高，故该地区青少年身高与年龄成正相关，故 A 正确；用样本数据估计总体可得平均数大约是 145 cm，故 B 正确；根据直线斜率的意义可知，斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量，故 C 正确；各取一人具有随机性，根据数据作出的点只能在直线附近，不一定在直线上，故 D 错误12为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的实验数据，计算得线性回归方程为 0.85 x0.25.由以上信息，可得表中 c 的值为_.y 18天数 x 3 4 5 6 7繁殖数量 y(千个) 2.5 3 4 4.5 c答案
31、 6解析 5， ，代入线性回归方程，得x3 4 5 6 75 y 2.5 3 4 4.5 c5 14 c50.8550.25，14 c5解得 c6.13(2018咸阳模拟)某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各 20 人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间(单位：小时)的频数分布表和高二学生学习时间的频率分布直方图19高一学生学习时间的频数分布表(学习时间均在区间 内)：0， 6学习时间 0， 1) 1， 2) 2， 3) 3， 4) 4， 5) 5， 6频数 3 1 8 4 2 2高二学生学习时间的频率分布直方图：(1)求高二学生学习时间在
32、内的人数；3， 5)(2)利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在 ， 的两组里抽取 6 人，再从这2， 3) 3， 4)6 人中随机抽取 2 人，求学习时间在 这一组中恰有 1 人被抽中的概率；3， 4)(3)若周日学习时间不少于 4 小时为学习投入时间较多，否则为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成下列 22 列联表，并判断是否有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关.年级 学习投入时间较多 学习投入时间较少 总计高一高二总计K2 ，其中 n a b c d.nad bc2a bc da cb dP(K2 k0) 0.025 0.010 0
33、.005k0 5.024 6.635 7.879解 (1)高二学生学习时间在 内的人数为 20(0.250.30)11.3， 5)(2)根据分层抽样，从高一学生学习时间在 中抽取 4 人，从高一学生学习时间在2， 3)中抽取 2 人3， 4)设从高一学生学习时间在 中抽的 4 人分别为 A， B， C， D，在 中抽的 2 人分别为2， 3) 3， 4)a， b，则在 6 人中任抽 2 人的所有情况有( A， B)，( A， C)，( A， D)，( A， a)，( A， b)，(B， C)，( B， D)，( B， a)，( B， b)，( C， D)，( C， a)，( C， b)，( D， a)，( D， b)，( a， b)，共有 15 种，其中 这一组中恰有 1 人被抽中的情况包含( A， a)，( A， b)，( B， a)，( B， b)，( C， a)，3， 4)20(C， b)，( D， a)，( D， b)，共有 8 种，因此学习时间在3,4)这一组中恰有 1 人被抽中的概率为 .815(3)22 列联表如下：年级 学习投入时间较多 学习投入时间较少 总计高一 4 16 20高二 9 11 20总计 13 27 40K2 2.8496.635，40411 169220201327所以没有 99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关
