1、1规范答题示例 3 数列的通项与求和问题典例 3 (12 分)下表是一个由 n2个正数组成的数表，用 aij表示第 i 行第 j 个数(i， jN *)已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等且 a111， a31 a619， a3548.a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2na31 a32 a33 a3n an1 an2 an3 ann(1)求 an1和 a4n；(2)设 bn (1) nan1(nN *)，求数列 bn的前 n 项和 Sn.a4na4n 2a4n 1审题路线图 数 表 中 项 的 规 律 确 定 a
2、n1和 a4n 化 简 bn 分 析 bn的 特 征 选 定 求 和 方 法 分 组 法 及 裂 项 法 、 公 式 法 求 和规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解 (1)设第 1 列依次组成的等差数列的公差为 d，设每一行依次组成的等比数列的公比为 q.依题意a31 a61(12 d)(15 d)9， d1， an1 a11( n1) d1( n1)1 n(nN *)，3 分 a31 a112 d3， a35 a31q43 q448， q0， q2，又 a414， a4n a41qn1 42 n1 2 n1 (nN *).6 分第一步 找关系：根据已知条件确定数列的项之间的
3、关系.第二步 求通项：根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法求数列的通项2(2) bn (1) nan1a4na4n 2a4n 1(1) nn7 分2n 12n 1 22n 1 1 (1) nn (1)2n2n 12n 1 1 12n 1 12n 1 1nn， Sn (113) (13 17) (17 115) ( 12n 1 12n 1 1)12345(1) nn，10 分当 n 为偶数时， Sn1 ，11 分12n 1 1 n2当 n 为奇数时， Sn1 n12n 1 1 n 121 .12 分12n 1 1 n 12 1 n2 12n 1 1公式.第三步 定方法：根据数列表达式的
4、结构特征确定求和方法(常用的有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等).第四步 写步骤.第五步 再反思：检查求和过程中各项的符号有无错误，用特殊项估算结果.评分细则 (1)求出 d 给 1 分，求 an1时写出公式结果错误给 1 分；求 q 时没写 q0 扣 1 分；(2)bn写出正确结果给 1 分，正确进行裂项再给 1 分；(3)缺少对 bn的变形直接计算 Sn，只要结论正确不扣分；(4)当 n 为奇数时，求 Sn中间过程缺一步不扣分跟踪演练 3 (2018全国)已知数列 an满足 a11， nan1 2( n1) an.设 bn .ann(1)求 b1， b2， b3；(2)判断数列 bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求 an的通项公式解 (1)由条件可得 an1 an，2n 1n将 n1 代入得， a24 a1，而 a11，所以 a24.将 n2 代入得， a33 a2，所以 a312.从而 b11， b22， b34.(2)bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列由条件可得 ，即 bn1 2 bn，an 1n 1 2ann又 b11，所以 bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列(3)由(2)可得 2 n1 ，ann3所以 an n2n1 .
