1、1第 1 讲 函数的图象与性质考情考向分析 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大热点一 函数的性质及应用1单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则2奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性
2、相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2)在公共定义域内：两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数(3)若 f(x)是奇函数且在 x0 处有定义，则 f(0)0.(4)若 f(x)是偶函数，则 f(x) f( x) f(|x|)(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称3周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质若函数在其定义域上满足 f(a x) f(x)(a0)，则其一个周期 T| a|.常见结论：(1)若
3、 f(x a) f(x)，则函数 f(x)的最小正周期为 2|a|， a0.(2)若 f(x a) ，则函数 f(x)的最小正周期为 2|a|， a0.1fx(3)若 f(a x) f(b x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x 对称a b22例 1 (1)(2018贵州省黔东南州模拟)设函数 f(x) 的最大值为cos( 2 x) x e2x2 e2M，最小值为 N，则( M N1) 2 018的值为( )A1 B2 C2 2 018 D3 2 018答案 A解析 由已知 xR， f(x)cos( 2 x) x e2x2 e2 1，sin x x2 e2 2exx2 e2 sin x 2e
4、xx2 e2令 g(x) ，易知 g(x)为奇函数，sin x 2exx2 e2由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为 0，M N f(x)max f(x)min g(x)max1 g(x)min12，( M N1) 2 0181，故选 A.(2)(2018上饶模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：函数 y f(x1)的图象关于点(1,0)对称，且 x0 时恒有 f(x2) f(x)，当 x0,1时， f(x)e x1，则 f(2 017) f(2 018)_.答案 1e解析 因为函数 y f(x1)的图象关于点(1,0)对称，所以 y f(x)的图象关于原点对称，又定义域为 R
5、，所以函数 y f(x)是奇函数，因为 x0 时恒有 f(x2) f(x)，所以 f(2 017) f(2 018) f(2 017) f(0) f(1) f(0)(e 11)(e 01)1e.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成 f(x1)0 时， f(x1)1， f(2x)1，不合题意综上，不等式 f(x1)2 x.此时 x1.当 2x0 时， f(2x)1， f(x1)1，满足 f(x1)0，则 x1 或 x1 时， f(x)ln( x1) x 为增函数，当 x2 时， f(2)ln(|2|1
6、)220，所以a2a0 在 R 上恒成立，所以函数 f(x)在定义域内单调递增，不是选项 C 中的图象，故选 C.思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值跟踪演练 2 (1)(2018河北省衡水中学调研)函
7、数 f(x)sin 的图象大致为( )(lnx 1x 1)答案 B解析 由于 x0，故排除 A.f( x)sin f(x)，(ln x 1 x 1)又函数 f(x)的定义域为(1，)(，1)，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除 C.f(2)sin sin(ln 3)0 且 a0 时， f(x) x 2 ，当且仅当 x 时等号成立，当 x0 时， f(x) x 在(，0)上ax a a ax为减函数，故可能；对于 D，当 x0 且 a0， a1)与对数函数 ylog ax(a0， a1)的图象和性质，分01 两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质2幂函数 y x 的图象和性质，主要掌握
8、1,2,3，1 五种情况12例 3 (1)(2018安庆模拟)设 x， y， z 均大于 1，且 35logllogxyz，令 a12x， b13， c14z，则 a， b， c 的大小关系是( )A abc B bcaC cab D cba答案 D解析 令 235logllogxyz t，则 t0， x( )t， y( )t， z( )t，2 3 5684,tttabc2 3bc B bacC cba D cab答案 D解析 c 13log5log 35， alog 3 ，72又 ylog 3x 在(0，)上是增函数，log 35log3 log331， ca1.72 y x在(，)上是减函
9、数，(14) 3ab.(14)故选 D.(2)对任意实数 a， b 定义运算“”： a bError!设 f(x)3 x1 (1 x)，若函数 f(x)8与函数 g(x) x26 x 在区间( m， m1)上均为减函数，则实数 m 的取值范围是( )A1,2 B(0,3C0,2 D1,3答案 C解析 由题意得 f(x)Error!函数 f(x)在(0，)上单调递减，函数 g(x)( x3) 29 在(，3上单调递减，若函数 f(x)与 g(x)在区间( m， m1)上均为减函数，则Error!得 0 m2，故选 C.真题体验1(2018全国改编)函数 y x4 x22 的图象大致为_(填序号)
10、答案 解析 方法一 f( x)4 x32 x，则 f( x)0 的解集为 ，此时( ， 22) (0， 22)f(x)单调递增； f( x)2，12 116 14 316所以排除.2(2017天津改编)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数， g(x) xf(x)若 a g(log 25.1)，b g(20.8)， c g(3)，则 a， b， c 的大小关系为_答案 b0,20.80,30，且 log25.1log25.120.80，所以 cab.3(2017山东改编)设 f(x)Error!若 f(a) f(a1)，则 f _.(1a)答案 6解析 若 00，则 x0) f(2)22 32
11、 212.方法二 f(2) f(2)2(2) 3(2) 212.押题预测1在同一直角坐标系中，函数 f(x) xa(x0)， g(x)log ax 的图象可能是( )10押题依据 指数、对数、幂函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置答案 D解析 方法一 分 a1,01 时， y xa与 ylog ax 均为增函数，但 y xa递增较快，排除 C；当 01，而此时幂函数 g(x) xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故 C 错2设函数 y f(x)(xR)为偶函数，且 xR，满足 f f ，当 x2,3时，(x32) (x 1
12、2)f(x) x，则当 x2,0时， f(x)等于( )A| x4| B|2 x|C2| x1| D3| x1|押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，考查学生思维的灵活性答案 D解析 由 f f ，(x32) (x 12)可得 f(x2) f(x)，则当 x2，1时，x42,3， f(x) f(x4) x4 x13；当 x1,0时， x0,1，2 x2,3，f(x) f( x) f(2 x)2 x3 x1，故选 D.113已知函数 f(x) ，则 y f(x)的图象大致为 ( )1lnx 1 x押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生
13、的灵活变换能力答案 B解析 取特殊值，用排除法求解，f(2) 0 时， h(x)Error!若 h(t)h(2)，则实数 t 的取值范围为_押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质答案 (2,0)(0,2)解析 因为当 x0 时， h(x)Error!所以函数 h(x)在(0，)上单调递减，因为函数 h(x)(x0)为偶函数，且 h(t)h(2)，所以 h(|t|)h(2)，所以 00 时， f(x) 12log(1 x2) ，11 2x f(x)在(0，)上单调递减， f(x
14、)是偶函数， f(x)在(，0)上单调递增，又 f(x)的定义域为 R， f(x) f(2x1)等价于| x|2 x1|，两边平方，化为 3x24 x10，解得 x1，13故 x 的取值范围是 ，故选 C.13， 15已知函数 f(x) xsin x，若 a f(3)， b f(2)， c f ，则 a， b， c 的大小关(log26)系为( )A a0，函数 f(x) x1 k在(0，)上单调递增， 1 的 x 的取值范围是(x12)_答案 (14， )解析 由题意知，对不等式分 x0,0 三段讨论12 12当 x0 时，原不等式为 x1 x 1，12解得 x ，14 1，显然成立12 1
15、2当 x 时，原不等式为 2x2 x 1，显然成立12 12综上可知， x 的取值范围是 .(14， )10已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：函数 f(x)的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为x1；当 x1,1时， f(x)Error!则 f _.(72)答案 32解析 由题意作出 f(x)的部分图象如图所示，则 f .(72) 1 ( 12)2 3211(2018全国)已知函数 f(x)ln( x)1， f(a)4，则 f( a)_.1 x216答案 2解析 f(x) f( x)ln( x)1ln( x)1ln(1 x2 x2)22，1 x2 1 x2 f(a) f( a)2， f
16、( a)2.12已知函数 f(x)是奇函数，当 x0且 a1)对 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_(0，22答案 14， 1)解析 由已知得当 x0 时， f(x) x2 x，故 x22log ax 对 x 恒成立，(0，22即当 x 时，(0，22函数 y x2的图象不在 y2log ax 图象的上方，由图(图略)知 00，函数 g(x)为增函数，则函数 g(x)在(0，)上有最小值 g(1) m，32若 x16,8 ， x2(0， )，使 g(x2) f(x1)0 成立，必有 g(x)min f(x)max，即 m ，32 81218得 m 的取值范围为(，3915(2018安阳二模
17、)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x) g(x)12，若 g(x5) g 2 且 x0 且 x1解析 因为 f(x) g(x) ，12 x 1x2 1所以 f( x) g( x) ，12 x 1x2 1即 f(x) g(x) ，12 x 1x2 1因此 g(x) .1x2 1因为 g(x) g 1，(1x) 1x2 1 11x2 1所以由 g(x5) g 2，1x 52 1 11 x 12结合分母不为零得 x 的取值范围是x|x2 且 x0 且 x116(2018天津)已知 a R，函数 f(x)Error!若对任意 x3，)， f(x)| x|恒成立，则 a 的取值范围是_答案 18， 2解析 如图所示，若对任意 x3，)，要使函数 y f(x)的图象恒在 y| x|图象的下方，则必有Error!且在(0，)内直线 y x 与 y x22 x2 a 相切或相离，所以 x x22 x2 a 有两个19相等实根或无实根，即对于方程 x2 x2 a0， (1) 242 a0，解得 a .18由得 96 a23 且 a20，所以 a2.综上， a2.18
