1、1规范答题示例 9 导数与不等式的恒成立问题典例 9 (12 分)(2017全国)已知函数 f(x)ln x ax2(2 a1) x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a0 讨 论 2ax 1的 符 号 应 依 据 a分 类 讨 论(2) 要 证 明 fx 34a 2 fxmax 34a 2 fxmax 34a 2 0. 令 x 12a， 造 函 数 gx fxmax 34a 2 证 明 gxmax 0规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板(1)解 f(x)的定义域为(0，)，f( x) 2 ax2 a1 (x0).2 分1x x 12ax 1x若 a0，则当 x(0，)时
2、， f( x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增.4 分若 a0；(0， 12a)当 x 时， f( x)0).1x当 x(0,1)时， g( x)0；当 x(1，)时， g( x)0 时， g(x)0.从而当 a2，令 f( x)0，得x 或 x .a a2 42 a a2 42当 x 时， f( x)0.(a a2 42 ， a a2 42 )所以 f(x)在 ， 上单调递减，(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )在 上单调递增(a a2 42 ， a a2 42 )(2)证明 由(1)知， f(x)存在两个极值点当且仅当 a2.由于 f(x)的两个极值点 x1， x2满足 x2 ax10，所以 x1x21，不妨设 01.由于 1 afx1 fx2x1 x2 1x1x2 ln x1 ln x2x1 x22 a 2 a ，ln x1 ln x2x1 x2 2ln x21x2 x2所以 a2 等价于 x22ln x20.fx1 fx2x1 x2 1x2设函数 g(x) x2ln x，1x由(1)知， g(x)在(0，)上单调递减又 g(1)0，从而当 x(1，)时， g(x)0.所以 x22ln x20，1x2即 a2.fx1 fx2x1 x2
