1、1第二部分 专题六类型 1 与全等三角形相关证明与计算1(2016梧州)如图，过 O 上的两点 A， B 分别作切线，并交 BO、 AO 的延长线于点C， D，连接 CD，交 O 于点 E， F，过圆心 O 作 OM CD，垂足为 M 点求证：(1) ACO BDO；(2)CE DF.证明：(1) AC， BD 为 O 的切线， CAO DBO90，在 ACO 和 BDO 中，Error! ACO BDO(ASA)(2) ACO BDO， CO DO. OM CD， MC DM， EM MF， CE DF.2(2018北京)如图， AB 是 O 的直径，过 O 外一点 P 作 O 的两条切线
2、PC， PD，切点分别为 C， D，连接 OP， CD.(1)求证： OP CD；(2)连接 AD， BC，若 DAB50， CBA70，OA2，求 OP 的长(1)证明：如答图，连接 OC， OD. OC OD. PD， PC 是 O 的切线， ODP OCP90.在 Rt ODP 和 Rt OCP 中，2Error!Rt ODPRt OCP(HL)， DOP COP， OD OC， OP CD.(2)解： OA OD OC OB2， ADO DAO50， BCO CBO70， AOD80， BOC40， COD60. OD OC， COD 是等边三角形，由(1)知， DOP COP30，在
3、 Rt ODP 中， OP .ODcos304333(2017贺州)如图， O 是 ABC 的外接圆， AB 为直径， BAC 的平分线交 O 于点 D，过点 D 的切线分别交 AB， AC 的延长线于 E， F，连接 BD.(1)求证： AF EF；(2)若 AC6， CF2，求 O 的半径(1)证明：如答图 1，连接 OD. EF 是 O 的切线，且点 D 在 O 上， OD EF. OA OD， DAB ADO. AD 平分 BAC， DAB DAC， ADO DAC， AF OD， AF EF.(2)解：如答图 2，过 D 作 DG AE 于点 G，连接 CD. BAD DAF， AF
4、 EF，3 BD CD， DG DF，在 Rt ADF 和 Rt ADG 中，Error!Rt ADFRt ADG(HL)，同理可得 Rt CDFRt BDG， BG CF2， AG AF AC CF628， AB AG BG8210， O 的半径为 AB5.124(2018苏州)如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上， AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D， CE 垂直 AB，垂足为 E.延长 DA 交 O 于点 F，连接 FC， FC 与 AB 相交于点 G，连接OC.(1)求证： CD CE；(2)若 AE GE，求证： CEO 是等腰直角三角形证明：(1)连接 AC. C
5、D 是 O 的切线， OC CD. AD CD， DCO D90， AD OC， DAC ACO. OC OA， CAO ACO， DAC CAO. CE AB， CEA90，在 CDA 和 CEA 中，Error! CDA CEA(AAS)， CD CE.(2)连接 BC. CDA CEA， DCA ECA. CE AG， AE EG， CA CG， ECA ECG. AB 是 O 的直径， ACB90， CE AB， ACE B. B F， F ACE DCA ECG. D90， DCF F90， F DCA ACE ECG22.5， AOC2 F45， CEO 是等腰直角三角形4类型 2
6、 与相似三角形相关证明与计算1(2018玉林适应考试)如图， AD 是 O 的直径， AB 为 O 的弦， OP AD， OP 与 AB的延长线交于点 P，点 C 在 OP 上，且 BC PC.(1)求证：直线 BC 是 O 的切线；(2)若 OA3， AB2，求 BP 的长(1)证明：如答图，连接 OB. OA OB， A OBA.又 BC PC， P CBP. OP AD， A P90， OBA CBP90， OBC180( OBA CBP)90.点 B 在 O 上，直线 BC 是 O 的切线(2)解：如答图，连接 DB. AD 是 O 的直径， ABD 90，Rt ABDRt AOP，
7、，即 ，解得 AP9，ABAO ADAP 23 6AP BP AP BA927. 2(2018贺州)如图， AB 是 O 的弦，过 AB 的中点 E 作 EC OA，垂足为 C，过点 B作直线 BD 交 CE 的延长线于点 D，使得 DB DE.5(1)求证： BD 是 O 的切线；(2)若 AB12， DB5，求 AOB 的面积(1)证明： OA OB， DB DE， A OBA， DEB DBE. EC OA， DEB AEC， A DEB90， OBA DBE90， OBD90. OB 是 O 的半径， BD 是 O 的切线(2)解：过点 D 作 DF AB 于点 F，连接 OE，如答图
8、点 E 是 AB 的中点， AB12， AE EB6， OE AB.又 DE DB， DF BE， DE DB5， EF BF3， DF 4.DE2 EF2 AEC DEF， A EDF. OE AB， DF AB， AEO DFE90， AEO DFE， ，EOFE AEDF即 ，得 EO ，EO3 64 92 S AOB ABOE 12 27. 12 12 923(2018随州)如图， AB 是 O 的直径，点 C 为 O 上一点， CN 为 O 的切线，OM AB 于点 O，分别交 AC， CN 于 D， M 两点6(1)求证： MD MC；(2)若 O 的半径为 5， AC4 ，求 M
9、C 的长5(1)证明：如答图，连接 OC. CN 为 O 的切线， OC CM， OCA ACM90. OM AB， OAC ODA90. OA OC， OAC OCA， ACM ODA CDM， MD MC.(2)解：由题意可知 AB5210， AC4 .5 AB 是 O 的直径， ACB90， BC 2 .102 45 2 5 AOD ACB， OAD CAB， AOD ACB, ，即 ，可得 OD .设 MC MD x，ODBC AOAC OD25 545 52在 Rt OCM 中，由勾股定理得( x )2 x25 2，52解得 x ，即 MC .154 1544(2016来宾)如图，在
10、 ABC 中， C90， BAC 的平分线交 BC 于点D， DE AD，交 AB 于点 E， AE 为 O 的直径(1)判断 BC 与 O 的位置关系，并证明你的结论；(2)求证： ABD DBE；(3)若 cosB ， AE4，求 CD.223(1)解：结论： BC 与 O 相切证明：如答图，连接 OD.7 OA OD， OAD ODA. AD 平分 CAB， CAD DAB， CAD ADO， AC OD. AC BC， OD BC， BC 是 O 的切线(2)证明： BC 是 O 的切线， ODB90， BDE ODE90. AE 是 O 的直径， ADE90， DAE AED90.
11、OD OE， ODE OED， DAB BDE. ABD DBE， ABD DBE.(3)解：在 Rt ODB 中，cos B ，BDOB 223设 BD2 k， OB3 k. OD2 BD2 OB2，248 k29 k2， k2， BO6， BD4 .2 DO AC, ， ，BDCD BOAO 42CD 62 CD . 423类型 3 与锐角三角函数相关证明与计算1(2018毕节)如图，在 ABC 中，以 BC 为直径的 O 交 AC 于点 E，过点 E 作 AB 的垂线交 AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G，且 ABG2 C.(1)求证： EG 是 O 的切线；8(2)若 tanC
12、 ， AC8，求 O 的半径12(1)证明：如答图，连接OE， BE. ABG2 C， ABG C A， C A， BC AB. BC 是 O 的直径， CEB90， CE AE. CO OB， OE AB. GE AB， EG OE.又 OE 是 O 半径， EG 是 O 的切线(2)解： AC8， CE AE4.tan C ， BE2， BC 2 ，BECE 12 CE2 BE2 5 CO ，即 O 的半径为 .5 52(2018贵港二模)如图，已知在 Rt ABC 中， ABC90 ，以 AB 为直径的 O与 AC 交于点 D，点 E 是 BC 的中点，连接 BD, DE.(1)求证：
13、DE 是 O 的切线；(2)若 AB3 AD，求 sinC.(1)证明：连接 OD. AB 是 O 的直径， ADB90， BDC90. E 为 BC 的中点， DE BE CE， EDB EBD. OD OB， ODB OBD. ABC90， EDO EDB ODB EBD OBD ABC90， OD DE， OD 是 O 的半径， DE 是 O 的切线. (2)解： AB 为 O 的直径， ADB90， ABD BAD90. ABC90， C BAC90， C ABD. AB3 AD，si n ABD ，si nC .ADAB 13 133(2018柳州三模)如图， AB 是 O 的直径，
14、弦 CD AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E作 O 的切线交 AB 的延长线于 F，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K.9(1)求证： KE GE；(2)若 KC2 KDCE ，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若 sinE ， AK2 ，求 FG 的长35 5第 3 题答图(1) 解：如答图 1，连接 OG. EG 是 O 的为切线， KGE OGA90. CD AB, AKH OAG90.又 OA OG, OGA OAG, KGE AKH GKE, KE GE.(2)解： AC EF.理由：连接 GD，如答图 2 所示 KG2 KDGE，即
15、 ， ，KGKD GEKG KGGE KDKG又 KGE GKE， GKD EGK , E AGD.又 C AGD, E C, AC EF.(3) 解：连接 OG， OC，如答图 3 所示si nEsi n ACH ，设 AH3 t，则 AC5 t， CH4 t. KE GE， AC EF, 35 CK AC5 t, HK CK CH t.在 Rt AHK 中，根据勾股定理得 AH2 HK2 AK2，即(3 t)2 t2(2 )52，解得 t .设 O 的半径为 r，在 Rt OCH 中，2OC r， OH r3 t， CH4 t，由勾股定理得 OH2 CH2 OC2，即( r3 t)2(4
16、t)2 r2，解得 r . EF 为 O 的切线， 2526 OGF 为直角三角形，在 Rt OGF 中， OG r，tan OFGtan CAH ， CHAH 4310 FG .OGtan OFG252643 25284(2016北海)在 ABC 中， AB AC.以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 E，交 BC 于点 D, O 的切线 BP 与 AC 的延长线交于点 P，连接 DE， BE.(1)求证： ；BD DE (2)求证： AED BCP；(3)已知：si n BAD ， AB10，求 BP 的长55(1)证明： AB 是 O 的直径， ADB90，即 AD BC.又 AB A
17、C， AD 平分 BAC， BAD DAC， .BD DE (2)证明： AB 是 O 的直径， AD BC， BD DC. ， BD DE，BD DE DC DE， DEC DCE. AED DEC180， DCE BCP180， AED BCP.(3)解：si n BAD ， AB10，BDAB 55 AC AB10， BD2 ， DC DE2 .5 5设 EC x，则 AE10 x，在 Rt ABE 中， BE2 AB2 AE2, 在 Rt BEC 中， BE2 BC2 EC2， AB2 AE2 BC2 EC2，即 102(10 x)2(2 2 )2 x2，5 5解得 x4， EC4，
18、AE6， BE 8.AB2 AE2 102 62 ABE EBP90， EBP P90， ABE P. 又 AEB ABP90， ABE APB， ，即 ， BP . AEAB BEBP 610 8BP 40311类型 4 与特殊三角形相关证明与计算1(2016钦州)如图，在 ABC 中， AB AC， AD 是角平分线， BE 平分 ABC 交 AD 于点 E，点 O 在 AB 上，以 OB 为半径的 O 经过点 E，交 AB 于点 F.(1)求证： AD 是 O 的切线；(2)若 AC4， C30，求 的长EF (1)证明：如答图，连接 OE. OB OE， OBE OEB. BE 平分
19、ABC， OBE EBD， OEB EBD， OE BD. AB AC， AD 平分 BAC， AD BC， OEA BDA90.点 F 有 O 上， AD 是 O 的切线(2)解： AB AC4， C B30， BD2 .设 O 的半径为 r，则 BO OE r， AO AB OB4 r. OE BD， 3AOAB，OEBD即 ，解得 r8 12，4 r4 r23 3 l ( 2).EF 30 83 12180 4332(2018巴中)如图，在 ABC 中， AB BC，以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D，交 AC于点 F，过点 C 作 CE AB，与过点 A 的切线相交于点 E，连
20、接 AD.12(1)求证： AD AE；(2)若 AB6， AC4，求 AE 的长(1)证明： AE 与 O 相切，AB 是 O 的直径， BAE90， ADB90. CE AB， E90， E ADB.在 ABC 中， AB BC， BAC BCA. CE AB， BAC ACE， BCA ACE.又 AC AC， ADC AEC(AAS)， AD AE.(2)解：设 AE AD x， CE CD y，则 BD6 y. AEC 和 ADB 为直角三角形， AE2 CE2 AC2， AD2 BD2 AB2，将 AB6，AC4， AE AD x， CE CD y， BD6 y 代入，解得 x ，
21、 y ，即 AE 的长为823 43. 8233(2016南宁)如图，在 Rt ABC 中， C90， BD 是角平分线，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心， OB 为半径的圆经过点 D，交 BC 于点 E.(1)求证： AC 是 O 的切线；(2)若 OB10， CD8，求 BE 的长(1)证明：如答图，连接 OD. BD 为 ABC 的平分线，12. OB OD，13，23， OD BC. C90， ODA90.13点 D 在 O 上， AC 为 O 的切线；(2)解：过 O 作 OG BC，连接 OE，如答图四边形 ODCG 为矩形， GC OD OB10，OG CD8，在 Rt O
22、BG 中，利用勾股定理得BG6. OG BE， OB OE， BE2 BG12.类型 5 与特殊四边形相关证明与计算1(2017毕节)如图，已知 O 的直径 CD6， A， B 为圆周上两点，且四边形 OABC是平行四边形，过 A 点作直线 EF BD，分别交 CD， CB 的延长线于点 E， F， AO 与 BD 交于G 点(1)求证： EF 是 O 的切线；(2)求 AE 的长(1)证明： CD 为 O 的直径， DBC90， BD BC.四边形 OABC 是平行四边形， AO BC， BD OA. EF BD， OA EF.点 A 在 O 上， EF 是 O 的切线(2)解：连接 OB，
23、如答图四边形 OABC 是平行四边形， OA BC，而 OB OC OA， OB OC BC， OBC 为等边三角形， C60.14 AOE C60.在 Rt OAE 中，tan AOE ，AEOA AE3tan603 .32(2018贵港二模)如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的 O 与 AD， AC 分别交于点 E， F，且 ACB DCE.第 2 题图(1)求证：直线 CE 与 O 相切；(2)若 tan BAC ， BC2，求 O 的半径2(1)证明：四边形 ABCD 是矩形， BC AD， BCA DAC.又 ACB DCE， DAC DCE
24、.连接 OE，则 DAC AEO DCE. DCE DEC90， AEO DEC90， OEC90，即 OE CE.又 OE 是 O 的半径，直线 CE 与 O 相切(2)解：tan BAC ， BC2， AB ，2 2 AC . DCE ACB，6tan DCEtan ACB ，22 DE DCtan DCE1.在 Rt CDE 中， CE .CD2 DE2 3设 O 的半径为 r，则在 Rt COE 中，CO2 OE2 CE2，即( r)2 r23，6解得 r .643(2017贵港)如图，在菱形 ABCD 中，点 P 在对角线 AC 上，且 PA PD， O 是PAD 的外接圆15(1)
25、求证： AB 是 O 的切线；(2)若 AC8，tan BAC ，求 O 的半径22(1)证明：连接 OP， OA， OP 交 AD 于点 E，如答图第 3 题答图 PA PD， ， OP AD， AE DE，AP DP 1 OPA90. OP OA， OAP OPA，1 OAP90.四边形 ABCD 为菱形，12，2 OAP90， OA AB， AB 是 O 的切线(2)解：连接 BD，交 AC 于点 F，如答图四边形 ABCD 为菱形， DB 与 AC 互相垂直平分 AC8，tan BAC ，22 AF4，tan DAC ，DFAF 22 DF2 ， AD 2 ，2 AF2 DF2 6 A
26、E .在 Rt PAE 中，tan1 ，6PEAE 22 PE .设 O 的半径为 R，3则 OE R ， OA R，在 Rt OAE 中，3 OA2 OE2 AE2， R2( R )2( )2，3 6 R ，即 O 的半径为 . 332 3324如图，正方形 ABCD 顶点 A， D 在 O 上，边 BC 经过 O 上一定点 P，且 PF 平分16 AFC，边 AB， CD 分别与 O 相交于点 E， F，连接 EF.(1)求证： BC 是 O 的切线；(2)若 FC2，求 PC 的长(1)证明：如答图，连接 OP.四边形 ABCD 是正方形， B C D90， AB BC. PF 平分 AFC， AFP PFC. OP OF， AFP OPF， PFC OPF， OP CD， BPO C90， OP BC.又 OP 是 O 的半径， BC 是 O 的切线(2)解：如答图，连接 AP. D90， AF 是 O 的直径， AEF APF90， BEF B C90. OP CD， OP CD BA， ， BP BC BA.AOAF BPBC 12 12 12 APB FPC90， PFC FPC90， APB PFC. B C90， APB PFC, ， ， PC2 FC4. FCPB CPBA 12 FCCP PBBA 12
