1、1第一部分 专题一 第二讲 向量运算与复数运算、算法、推理与证明A 组1(2017全国卷，1) ( D )3 i1 iA12i B12i C2i D2i解析 2i.3 i1 i 3 i 1 i 1 i 1 i 3 3i i 12故选 D2(文)已知 i 为虚数单位，则复数 ( C )1 3i1 iA2i B2i C12i D12i解析 12i，故选 C1 3i1 i 1 3i 1 i2(理)若(12 ai)i1 bi，其中 a、 bR，则| a bi|( C )A i B 12 5C D 52 54解析 (12 ai)i2 ai1 bi， a ， b1，12| a bi| i | .12 12
2、 2 1 2 523(2018济南二模)已知数列 an，观察如图所示的程序框图，若输入a11， d2， k7，则输出的结果为( C )2A B 49 511C D613 715解析 由题中程序框图知，输出S (1 ) .113 135 157 11113 12 13 13 15 111 113 6134设向量 a， b 满足| a b| ， ab4，则| a b|( C )20A B2 2 3C2 D 6解析 向量的数量积| a b| ， ab4，20| a b|2| a b|24 ab16，| a b|2，故选 C5设 xR，向量 a( x,1)， b(1，2)，且 a b，则| a b|(
3、 B )A B 5 10C2 D105解析 a b， ab0， x20， x2， a b(3，1)，| a b| .106(2018大连一模)某种树的分枝生长规律如图所示，第 1 年到第 5 年的分枝数分别为 1,1,2,3,5，则预计第 10 年树的分枝数为( D )A21 B34C52 D55解析 由题意可得，这种树从第一年的分枝数分别是 1,1,2,3,5，则211,312,523，即从第三项起，每一项都等于前两项的和，所以第 10 年树的3分枝数是 213455.故选 D7下面框图所给的程序运行结果为 S28，那么判断框中应填入的关于 k 的条件是( D )A k8? B k7?C k
4、7?解析 开始 k10， S1，满足条件 S11011， k1019，满足条件 S11920， k918，满足条件 S20828， k817.由于输出 S 的值为28，故 k7 不再满足条件，故选 D8设 D， E， F 分别为 ABC 的三边 BC、 CA、 AB 的中点，则 ( A )EB FC A B C DAD 12AD BC 12BC 解析 如图，EB FC ( ) ( )12BA BC 12CB CA ( ) ( ) .12BA CA 12AB AC AD 选 A9对任意向量 a， b，下列关系式中不恒成立的是( B )A| ab| a|b|B| a b| a| b|C( a b)
5、2| a b|2D( a b)(a b) a2 b2解析 由| ab| a|b|cos |，因为1cos 1，所以| ab| a|b|恒成立；由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得| a b| a| b|，故 B 选项不4成立；根据向量数量积的运算律 C，D 选项恒成立1036 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 362 232，所以 36 的所有正约数之和为(133 2)(22323 2)(2 22 232 232)(122 2)(133 2)91，参照上述方法，可求得 200 的所有正约数之和为( C )A201 B411 C465 D565解析 200 的所有正约数之和可按如下
6、方法得到：因为 2002 352，所以 200 的所有正约数之和为(122 22 3)(155 2)465，所以 200 的所有正约数之和为 465.11设 aR，若复数(1i)( ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则 a1.解析 (1i)( ai)( a1)( a1)i，所以 a10， a1.12已知 a(1,2)， b(2， m)，若 a b，则|2 a3 b|等于 4 .5解析 由 a bm40，解得 m4，故 2a3 b2(1,2)3(2，4)(4，8)，因此|2 a3 b| 4 . 4 2 8 2 513已知 ABC 的面积为 2 ，且 B ，则 4.323 AB BC 解析 设
7、ABC 的三角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，则 S acsinB ac2 ，即 ac8，12 34 3 | | |cos( B) cacos 8 4.AB BC AB BC 3 1214执行下边的程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 y 的值为 13.解析 第一次执行程序，满足条件 x2， x112；第二次执行程序，不满足条件 x2， y32 2113，输出 y13，结束答案为 13.15(2018聊城一模)观察等式： f( ) f( )1； f( ) f( ) f( ) ； f( ) f( )13 23 14 24 34 32 15 25 f( ) f( )2； f
8、( ) f( ) f( ) f( ) f( ) ；35 45 16 26 36 46 56 525由以上几个等式的规律可猜想 f( ) f( ) f( ) f( )12 019 22 019 32 019 2 0182 0191_009.解析 从所给四个等式看：等式右边依次为 1，2，将其变为 ，可以得32 52 22324252到右边是一个分数，分母为 2，分子与左边最后一项中自变量的分子相同，所以 f( )12 019 f( ) f( ) f( ) 1 009.22 019 32 019 2 0182 019 2 0182B 组1设复数 z11i， z22 bi，若 为实数，则实数 b 等
9、于( D )z2z1A2 B1 C1 D2解析 z2z1 2 bi1 i 1 i 2 bi2 ， 2 b b 2 i2若其为实数，则有 0，解得 b2.b 222(文)(2018石景山检测)已知复数 z( a21)( a1)i，若 z 是纯虚数，则实数a 等于( B )A2 B1 C0 D1解析 z 为纯虚数，Error! a1.(理)已知复数 z11i， z2 ai，若 z1z2为纯虚数，则实数 a 的值为( B )A1 B1 C2 D2解析 z1z2( a1)( a1)i 为纯虚数，Error! ， a1.3(2017全国卷，4)设非零向量 a， b 满足| a b| a b|，则( A
10、)A a b B| a| b| C a b D| a|b|解析 方法一：| a b| a b|，| a b|2| a b|2. a2 b22 ab a2 b22 ab. ab0. a b.6故选 A方法二：利用向量加法的平行四边形法则在 ABCD 中，设 a， b，AB AD 由| a b| a b|知| | |，| AC| DB|AC DB 从而四边形 ABCD 为矩形，即 AB AD，故 a b.故选 A4执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为( B )A1 B2 C3 D4解析 输入 a1，则 b1，第一次循环， a ， k1；第二次循环， a 11 1 12
11、2， k2；第三次循环， a 1，此时 a b，结束循环，输出 k2.故选 B 11 12 11 25(2018潍坊一模)若复数 z m(m1)( m1)( m2)i 是纯虚数，其中 m 是实数，i21，则 等于( D )1zA B 12 12C Di2 i2解析 因为复数 z m(m1)( m1)( m2)i 是纯虚数，所以 m(m1)0 且7(m1)( m2)0，所以 m0，则 .1z 12i i26设向量 a， b 满足| a| b| a b|1，则| a tb|(tR)的最小值为( A )A B 32 12C1 D2解析 由于| a| b| a b|1，于是| a b|21，即 a22
12、 ab b21，即 ab .12|a tb|2 a22 tab t2b2(1 t2)2 tab t2 t1 ，故| a tb|的最小值为34.327如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有 n(n1， nN)个点，相应的图案中总的点数记为 an，则 ( C )9a2a3 9a3a4 9a4a5 9a2 018a2 019A B2 0152 016 2 0162 017C D2 0172 018 2 0182 019解析 每条边有 n 个点，所以三条边有 3n 个点，三角形的 3 个顶点都被重复计算了一次，所以减 3 个顶点，即 an3 n3，那么 9anan 1 9 3n 3
13、 3n 1 n 1 n ，1n 1 1n则 ( )( )( )( 9a2a3 9a3a4 9a4a5 9a2 018a2 019 11 12 12 13 13 14 12 017)1 .故选 C12 018 12 018 2 0172 0188中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的 x2， n2，依次输入的 a 为 2,2,5，则输出的 s( C )8A7 B12 C17 D34解析 由程序框图知，第一次循环： x2， n2， a2， s0222， k1；第二次循环： a2， s2226， k2；第三次循环： a5， s62517， k3.结束循
14、环，输出 s 的值为 17，故选 C9设复数 z 的共轭复数为 ，若 z1i(i 为虚数单位)，则 z2的虚部为1.zzz解析 z1i(i 为虚数单位)， z2 (1i) 2 2i 2ii，故其虚部为1.zz 1 i1 i 1 i 2 1 i 1 i 2i210(文)(2018厦门联考)刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好 ”乙说：“我们四人中有人考得好 ”丙说：“乙和丁至少有一人没考好 ”丁说：“我没考好 ”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的乙，丙两人说对了解析 甲与乙的关系是对立事
15、件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确故答案为乙，丙(理)(2018湖北七市联考)观察下列等式：123 n n(n1)；12136 n(n1) n(n1)( n2)；12 1691410 n(n1)( n2) n(n1)( n2)( n3)；16 124可以推测，1515 n(n1)( n2)( n3) n(n1)( n2)( n3)( n4)124 1120(nN *).解析 根据式子中的规律可知，等式右侧为 n(n1)( n2)154321(n3)( n4) n(n1)( n2)( n3)( n4)( nN *)112011(2017
16、江苏卷，4)如图是一个算法流程图，若输入 x 的值为 ，则输出 y 的值是1162.解析 输入 x 1，执行 y2log 2 242，故输出 y 的值为2.116 11612如图所示， A、 B、 C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D，若 m n ，则 m n 的取值范围是OC OA OB (1,0).解析 根据题意知，线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线的交点为 D，则 t .OD OC D 在圆外， t1，又 D、 A、 B 共线，存在 、 ，使得 ，且 1，又由已知，OD OA OB m n ，OC OA OB 10 tm tn ，OA OB OA OB m n ，故 m n(1,0)1t
