1、1组合增分练 9 解答题型综合练 B1.等比数列 an的各项均为正数,且 2a1+3a2=1, =9a2a6.a23(1)求数列 an的通项公式;(2)设 bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列 的前 n 项和 .1bn2.如图,在等腰梯形 ABCD 中, AD BC,BC=2AD=2AB=4,将 ABD 沿 BD 折到 ABD 的位置,使平面ABD平面 CBD.(1)求证: CD AB;(2)试在线段 AC 上确定一点 P,使得三棱锥 P-BDC 的体积为 .4393.某化妆品商店为促进顾客消费,在“三八”妇女节推出了“分段折扣”活动,具体规则如下表:购买商品金额 折扣消费不
2、超过 200 元的部分 9 折消费超过 200 元但不超过 500 元的部分 8 折消费超过 500 元但不超过 1 000 元的部分 7 折消费超过 1 000 元的部分 6 折例如,某顾客购买了 300 元的化妆品,她实际只需付:200 0.9+1000.8=260(元) .为了解顾客的消费情况,随机调查了 100 名顾客,得到如下统计表:购买商品金额 (0,200 (200,500 (500,1 000 1 000 以上人 数 10 40 30 20(1)写出顾客实际消费金额 y 与她购买商品金额 x 之间的函数关系式(只写结果);(2)估算顾客实际消费金额 y 不超过 180 的概率;
3、(3)估算顾客实际消费金额 y 超过 420 的概率 .24.已知椭圆 C: =1(ab0)的上、下焦点分别为 F1,F2,离心率为 ,P 为 C 上动点,且满足 =y2a2+x2b2 12 F2P( 0),| |=| |, QF1F2面积的最大值为 4.PQ PQ PF1(1)求点 Q 的轨迹 E 的方程和椭圆 C 的方程;(2)直线 y=kx+m(m0)与椭圆 C 相切且与曲线 E 交于 M,N 两点,求 |MN|的取值范围 .5.设 f(x)= x3+mx2+nx.13(1)如果 g(x)=f(x)-2x-3 在 x=-2 处取得最小值 -5,求 f(x)的解析式;(2)如果 m+n0,
4、则 q= .13由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= .13故数列 an的通项公式为 an= .13n(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=- .n(n+1)2故 =- =-2 ,1bn 2n(n+1) (1n- 1n+1)+1b1+1b2 1bn=-2 + =- .(1-12) +(12-13) (1n- 1n+1) 2nn+1所以数列 的前 n 项和为 - .1bn 2nn+12.(1)证明 在等腰梯形 ABCD 中,过点 A 作 AE BC 于 E,过点 D 作 DF BC 于 F(图略),则 AE DF,EF=AD= 2.又在
5、等腰梯形 ABCD 中,Rt ABERt DCF,且 BC=4,BE=FC= 1, cos C= .12在 BCD 中, BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=42+22-242 =12,12BD 2+CD2=BC2,CD BD. 平面 ABD平面 CBD,平面 ABD平面 CBD=BD,CD 平面 ABD,CD AB.(2)解 由(1)知 VA-BCD= S BCDh= 2 21= ,13 1312 3 233设 = ,则 VP-BCD=V A-BCD,AP AC即 = ,解得 = ,439 233 23 点 P 在线段 AC 靠近 A的三等分点处 .3.解 (1) y=0.9x,x
6、 200,0.8x+20,2001 000. (2)令 y180,解得 x200, 顾客实际消费金额 y 不超过 180 的概率为 =0.1.10100(3)令 y420,解得 x500, 顾客实际消费金额 y 超过 420 的概率为 =0.5.30+201004.解 (1)由椭圆定义得: |F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a,所以点 Q 的轨迹是以 F2为圆心,2 a 为半径的圆 .当 QF2 F1F2时, QF1F2面积最大,所以 2c2a=4,得 ac=2.12又 ,可得 a=2,c=1.ca=12所以点 Q 的轨迹 E 的方程为 x2+(y+1)2=16,椭圆
7、 C 的方程为 =1.y24+x23(2)由 得(3 k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,= 36k2m2-4(3k2+4)(3m2-12)=0.y=kx+m,y24+x23=14化简,得 3k2-m2+4=0,所以 k2= 0,又 m0,得 m2 .设圆心 F2(0,-1)到直线 MN 的距离为 d,则 d=m2-43.|m+1|1+k2= 3(m+1)m-1 = 3+ 6m-1由 m2,得 30,即 m2n.不妨设为 x1,x2,则 |x2-x1|=2 为正整数 .m2-n故 m2 时才可能有符合条件的 m,n;当 m=2 时,只有 n=3 符合要求;当 m=3 时,只有 n=5
8、符合要求;当 m4 时,没有符合要求的 n.综上所述,只有 m=2,n=3 或 m=3,n=5 满足上述要求 .6.解 (1) 圆 C 的极坐标方程为 = 2cos , 圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0.把 代入 x2+y2-2x=0,得 t2-4tcos + 3=0,x= -1+tcos ,y=tsin 又直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点, = 16cos2- 120,解得 cos 或 cos - .又由32 32 0,),故 的取值范围为 .0, 6) (56, )(2)设方程 t2-4tcos + 3=0 的两个实数根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义可知.1|PA|+ 1|PB|=|t1+t2|t1t2 =|4cos |3又由 |cos | 1,32 ,233 |4cos |3 43 的取值范围为 .1|PA|+ 1|PB| (233,437.解 (1)因为 f(x)=|2x-3|-|2x| |(2x-3)-2x|=3,若关于 x 的不等式 f(x) |a+2|+2a 恒成立,则 3 |a+2|+2a,得 a .13(2)由柯西不等式得 (x+2y+z)+(z+3x) +1)2=2+ .1x+2y+z+ 3z+3x=12( 1x+2y+z+ 3z+3x) 12( 3 3当且仅当 时取最小值 2+ .1x+2y+z= 3z+3x 3
