1、1专题七 圆的综合毕节中考备考攻略纵观近5年毕节中考数学试卷,圆的综合考查在每年的第26题出现,主要呈现等腰三角形模型、垂径定理模型和直角三角 形模型 ,其中2014年第26题属 于直角三角形模型；2015年第26题属于等腰三角形模型；2016年第26题属于直角三角形模型和等腰三角形模型；2017年第26题属于直角三角形模型和垂径定理模型；2018年第26题属于等腰三角形模型和直角三角形模型,切线的判定为必考考点,2019年第26题将继续考查.解决圆的综合问题的几个要点：(1)已知圆周角或者圆心角的度数或等量关系,找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角；(2)已知直径,找直径所对的圆周角；(3
2、)已知切线或证 明相切关系,连接过切点的半径；(4)已知“弦的中点”和“弧的中点”,连接中点和圆心,利用垂径定理的推论得出相关结果；(5)圆心是直径的中点,考虑中位线；(6)同圆的半径相等,连接两条半径,考虑等腰三角形的性质；圆内的等腰三角形,计算线段长,考虑垂径定理；(7)角平分线、平行、等腰中“知二得一”.中考重难点突破垂径定理模型例1 (2018郴州中考)已知BC是O的直径,点D是BC延长线上一点,ABAD,AE是O的弦,AEC30.(1)求证：直线AD是O的切线；(2)若AEBC,垂足为点M,O的半径为4,求AE的长.【解析】(1)先得出ABC30,进而求出OAB30,BAD120,结
3、论得证；(2)先求出AOC60,用三角函数求出AM,再用垂径定理即可得出结果.【答案】(1)证明：连接OA.AEC30,ABC30.ABAD,DABC30 .根据三角形的内角和定理得,BAD120.OAOB,OABABC30,OADBADOAB90,OAAD.点A在O上,直线AD是O的切线；(2)解：A EC30,AOC60.2BCAE于点M,AE2AM,OMA90.在 RtAOM中,AMOA sin AOM4 sin 602 ,3AE2AM4 .3等腰三角形模型例2 (2018永州中考 )如图,线段AB为O的直径,点C,E在O 上, ,CDAB,垂足为点D,连接BE,弦BE与线段CD相BC
4、CE 交于点F.(1)求证：CFBF；(2)若 cos ABE ,在AB的延长线上取一点M,使BM4,O的半径为6.求证：直线CM是O的切线.【解析】(1)延长CD交O45于点G,如图,利用垂径定理得到 ,则可证明 ,然后根据圆周角定理得CBEGCB,从而得到CFBF；BC BG CE BG (2)连接OC交BE于点H,如图,先利用垂径定理得到OCBE,再在 RtOBH中利用解直角三角形得到BH ,OH245 185,接着证明OHBOCM得到OCMOHB90,然后根据切线的判定定理得到结论.【答案】证明：(1)延长CD交O于点G.CDAB, .BC BG , ,BC CE CE BG CBEG
5、CB,CFBF；(2)连接OC交BE于点H,如图. ,OCBE.BC CE 在 RtOBH中, cos OBH ,BH 6 ,OH .BHOB 45 45 245 62 (245)2 185 , , .OHOC 1856 35OBOM 66 4 35 OHOC OBOM3又HOBCOM,OHBOCM,OCMOHB90,OCCM,直线CM是O的切线.1.(2018宿迁中考)如图,AB,AC分别是O的直径和弦,ODAC于点D,过点A作O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F.(1)求证：PC是O的切线；(2)若ABC60,AB10,求线段CF的长.(1)证明：连接OC.ODAC,
6、OD经过圆心O,ADCD,PAPC.在OAP和OCP中,OA OC，PA PC，OP OP， )OAPOCP( SSS),OCPOAP.PA是O的切线,OAP90.OCP90,即OCPC,PC是O的切线；(2)解：AB是直径,ACB90.ABC60,CAB30,COF60.PC是O的切线,AB10,OCPF,OCOB AB5,12CFOC tan COF5 .32.(2018白银中考)如图,在ABC中,ABC90.(1)作ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作O；(要求：不写作法,保留作图痕迹)(2)判断(1)中AC与O的位置关系,直接写出结果.解：(1)如图；4(2)
7、相切.过点O作ODAC于点D.CO平分ACB,OBOD,即圆心O到直线AC的距离dr,O与直线AC相切.3.(2018玉林中考)如图,在ABC中,以AB为直径作O交BC于点D,DACB.(1)求证：AC是O的切线；(2)点E是AB上一点,若BCEB, tan B ,O的半径是4,求EC的长.12(1)证明：AB是直径,ADB90,BBAD90.DACB,DACBAD90,BAC90,ABAC.又AB 是直径,AC是O的切线；(2)解：BCEB,ECEB.设ECEBx.在 RtABC中, tan B ,AB8,ACAB 12AC4.在 RtAEC中,EC 2AE 2AC 2,x 2(8x) 24
8、 2,解得x5,EC5.直角三角形模型例3 (2018聊城中考)如图,在 RtABC中,C90,BE平分ABC交AC于点E,作EDEB交AB于点D,O是BED的外接圆.(1)求证：AC是O的切线；(2)已知O的半径为2.5,BE4,求BC,AD的长.【解析】(1)连接OE,由OBOE知OBEOEB,又由BE平分ABC知OBECBE,据此得OEBCBE,从而5得出OEBC,进一步即可得证；(2)证BDEBEC得 ,据此可求得BC的长度,再证AOEABC得 ,据此可得AD的长.BDBE BEBC AOAB OEBC【答案】(1)证明：连接OE.OBOE,OBEOEB.BE平分ABC,OBECBE.
9、OEBCBE,OEBC.又C90,AEO90,即OEAC.AC是O的切线；(2)解：EDBE,BEDC90.又DBEEBC,BDEBEC, ,即 ,BC .BDBE BEBC 54 4BC 165AEOC90,AA,AOEABC, ,即 ,AOAB OEBC AD 2.5AD 5 2.5165AD .4574.(2018柳州中考)如图,ABC为O的内接三角形,AB为O的直径,过点A作O的切线交BC的延长线于点D.(1)求证：DACDBA；(2)过点C作O的切线CE交AD于点E,求证：CE AD；12(3)若点F为直径AB下方半圆的中点,连接CF交AB于点G,且AD6,AB3,求CG的长. 6(
10、1)证明：AB是O直径,ACDACB90.AD是O的切线,BAD90,ACDBAD90.DD,DA CDBA；(2)证明：EA,EC是O的切线,AECE(切线长定理).DACECA.ACD90,ACEDCE90,DACD90.DDCE.DECE.ADAEDECECE2CE.CE AD；12(3)解：在 RtABD中, AD6,AB3, tan ABD 2.ADAB过点G作GHBD于点H,则 tan ABD 2,GH2BH.GHBH点F是直径AB下方半圆的中点,BCF45.CGHCHGBCF45,CHGH2BH,BCBHCH3BH.在 RtABC中, tan ABC 2,AC2BC.ACBC根据
11、勾股定理,得AC 2BC 2AB 2,4BC 2BC 29,BC .355BH ,GH2B H .55 255在 RtCHG中,BCF45,7CG GH .22105毕节中考专题过关1.(2018昆明中考)如图,AB是O的直径,ED切O于点C,AD交O于点F,AC平分BAD,连接BF. (1)求证：ADED；(2)若CD4,AF2,求O的半径.(1)证明：连接OC,如图.AC平分BAD,OACCAD.OAOC,OACOCA,CADOCA,OCAD.ED切O于点C,OCED,ADED；(2)解：设OC交BF于点H,如图.AB为直径,AFB90,易得四边形CDFH为矩形,FHCD4,CHF90,O
12、HBF,BHFH4, BF8.在 RtABF中,AB 2 ,AF2 BF2 22 82 17O的半径为 .172.(2018北部湾中考)如图,ABC内接于O,CBGA,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EFBC,垂足为点F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.(1)求证：PG与O相切；(2)若 ,求 的值；EFAC 58 BEOC(3)在(2)的条件下,若O的半径为8,PDOD,求OE的长.(1)证明：连接OB,则OBOD,BDCDBO.BDCBACCBG,8CBGDBO.CD是O的直径,DBOOBC90,CBGOBC90,OBG90,PG与O相切；(2)解：过点O作OMAC于点M
13、,连接OA,则AOMCOM AOC.12又BFEOMA90,EBF AOCAOM,12BEFOAM, .EFAM BEOAAM AC,OAOC, .12 EF12AC BEOC又 , 2 2 ；EFAC 58 BEOC EFAC 58 54(3)解：PDOD,PBO90,BDOD8.在 RtDBC中,BC 8 ,DC2 BD2 3cos BDO ,BDO60,BDCD 816 12OCB30, , .EFEC 12FCEF 3设EFx,则EC2x,FC x,3BF8 x.3 3在 RtBEF中,BE 2EF 2BF 2,BE OC10.54100x 2(8 x)2,解得x6 .3 3 136
14、8(舍去),x6 ,13 13EC122 .13OE8(122 )2 4.13 133. (2018襄阳中考)如图,AB是O的直径,AM和BN是O的两条切线, E为O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CBCE. (1)求证：DADE；(2)若AB6,CD4 ,求图中阴影部分的面积.39(1)证明：连接OE,OC,BE.OBOE,OBEOEB.CBCE,CBECEB,OBCOEC.BC为O的切线,OECOBC90.OE为半径,CD为O的切线.AD切O于点A,DADE；(2)解：过点D作DFBC于点F,则四边形ABFD是矩形,ADBF,DFAB6,DCBCAD4 .3FC 2 ,BCAD2 ,BC3 .DC2 DF2 3 3 3在 RtOBC中, tan BOC ,BCBO 3BOC60.在OEC与OBC中,OE OB，OC OC，CE CB， )OECOBC( SSS),BOE2BOC120.S 阴影 S 四边形BCEO S 扇形OBE 2 BCOB 9 3 .12 120 OB2360 3
