1、1微型专题 机械能守恒定律和动能定理的对比应用1如图 1 所示，竖直平面内有一半径 R0.5 m 的光滑圆弧槽 BCD， B 点与圆心 O 等高，一水平面与圆弧槽相接于 D 点，质量 m0.5 kg 的小球(可视为质点)从 B 点正上方 H 高处的 A点由静止下落，由 B 点进入圆弧轨道，从 D 点飞出后落在水平面上的 Q 点， DQ 间的距离x2.4 m，球从 D 点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度 h0.8 m，取 g10 m/s2，不计空气阻力，求：图 1(1)小球释放点到 B 点的高度 H；(2)经过圆弧槽最低点 C 时轨道对小球的支持力大小 FN.答案 (1)0.95 m
2、(2)34 N解析 (1)设小球在飞行过程中通过最高点 P 的速度为 v0， P 到 D 和 P 到 Q 可视为两个对称的平抛运动，则有： h gt2， v0t12 x2可得： v0 m/s3 m/sx2 g2h 2.42 1020.8在 D 点有： vy gt4 m/s在 D 点合速度大小为： v 5 m/sv02 vy22设 v 与水平方向夹角为 ，cos v0v 35A 到 D 过程机械能守恒： mgH mgRcos mv212解得： H0.95 m(2)设小球经过 C 点时速度为 vC， A 到 C 过程机械能守恒： mg(H R) mvC2 12在 C 点，由牛顿第二定律有， FN
3、mg mvC2R解得 FN34 N.2(2017丽水、衢州、湖州三地市高三教学质量检测)图 2 甲为风火轮惯性轨道极限跳跃赛道，其模型可以简化为图乙整个装置由直轨道 AB、半径 R115 cm 的竖直螺旋圆轨道BO B、半径 R230 cm 的圆弧轨道 B C，以及右侧可移动得分框组成，轨道各部分均光滑已知比赛过程所用小车质量 m0.04 kg(可视为质点)， g10 m/s2， C O B37，sin 370.6，cos 370.8.求：图 2(1)小车恰好通过竖直圆轨道最高点的速度大小；(2)若小车在 C处的速度为 3 m/s，求小车经过 B时对轨道的压力大小；(3)若改变 v0，且每次小
4、车离开 C后能水平进入得分框，求得分框的离地高度 H 与该得分框与 C的水平距离 x 之间的函数关系式(可能用到 2.5)6.3答案 见解析解析 (1)若恰好经过最高点，有 mg mv2R1解得： v m/s m/s1.5623(2)由几何关系可知： hB C R2(1cos 37)从 B到 C由机械能守恒定律得： mv B 2 mv C 2 mg hB C12 12在 B处由牛顿第二定律有 FNB mg mvB2R2联立可得 FNB 1.76 N由牛顿第三定律知在 B处时小车对轨道压力大小为 1.76 N(3)若恰能经过最高点 O点，从 O到 C，由机械能守恒定律得： mv2 mg hO C
5、 mv C 212 12又 hO C R2cos 37解得 vC m/s2.5 m/s6.3此时，有 xmin vC cos 37 0.3 mvC sin 37g若使小车恰能水平进入得分框，根据平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，有：H hB C tan 37x2解得 H x0.06 (m)， x0.3 m.383(2017台州市 9 月一模)图 3如图 3 所示，质量为 m0.1 kg 可视为质点的小球从静止开始沿半径为 R140 cm 的 圆弧14轨道 AB 由 A 点滑到 B 点后，进入与 AB 水平相切的 圆弧管道 BC.管道出口处为 C，圆弧管道
6、14半径为 R220 cm，在紧靠出口 C 处，有一半径 R38.4 cm(不计筒皮厚度)、水平放置且绕其水平轴线匀速旋转的圆筒，筒上开有一个小孔 D.小球射出 C 出口时，恰好能紧接着穿过D 孔进入圆筒，并越过轴线再从 D 孔向上穿出圆筒，到最高点返回又能向下穿过 D 孔进入圆筒不计一切轨道摩擦和空气阻力， g 取 10 m/s2，问：(1)小球到达 B 点的瞬间前、后对轨道的压力分别为多大？(2)小球穿出圆筒 D 时的速度多大？(3)圆筒转动的最大周期 T 为多少？4答案 见解析解析 (1) A 到 B 过程，由机械能守恒定律得 mgR1 mvB2 12在过 B 点的瞬间前，由牛顿第二定律
7、有FNB mg mvB2R1解得 FNB3 N在到达 B 点的瞬间后，由牛顿第二定律有FNB mgmvB2R2解得 FNB5 N由牛顿第三定律，对轨道的压力大小分别为 3 N 和 5 N.(2)由 A 到 D 过程，由机械能守恒定律得 mgR1 mgR2 mg2R3 mvD2 12代入得： vD0.8 m/s(3)由 A 到 C 过程，由机械能守恒定律得 mgR1 mgR2 mvC212得 vC2 m/s穿越圆筒过程： vC vD g(nT0.5 T)穿出到进入圆筒过程：2 vD gn T代入数据得到关系式：3 n4 n2要使周期最大， n 和 n必须同时取整数且 n 最小取 n1，得 Tma
8、x0.08 s.4(2016浙江 10 月选考科目考试)如图 4 甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，可抽象为图乙所示的模型倾角为 45的直轨道 AB、半径 R10 m 的光滑竖直圆轨道和倾角为 37的直轨道 EF.分别通过水平光滑衔接轨道 BC、 C E 平滑连接，另有水平减速直轨道 FG 与 EF 平滑连接， EG 间的水平距离 l40 m现有质量 m500 kg 的过山车，从高 h40 m 处的 A 点静止下滑，经 BCDC EF 最终停在 G 点过山车与轨道 AB、 EF 间的动摩擦因数均为 10.2，与减速直轨道 FG 间的动摩擦因数 20.75.过山车可视为质点，运
9、动中不脱离轨道， g 取 10 m/s2.求：5图 4(1)过山车运动至圆轨道最低点 C 时的速度大小；(2)过山车运动至圆轨道最高点 D 时对轨道的作用力大小；(3)减速直轨道 FG 的长度 x.(已知 sin 370.6，cos 370.8)答案 (1)8 m/s (2)710 3 N (3)30 m10解析 (1)设在 C 点的速度为 vC，由 A C，由动能定理得mgh 1mgcos 45 mvC2 hsin 4512代入数据解得 vC8 m/s10(2)设在 D 点的速度为 vD，由 A D，由动能定理得mg(h2 R) 1mgcos 45 mvD2hsin 4512在 D 点，由牛顿第二定律有 F mg m ，解得 F710 3 NvD2R由牛顿第三定律知，过山车在 D 点对轨道的作用力为 7103 N(3)全程应用动能定理得mgh( l x)tan 37 1mgcos 45 1mgcos 37 2mgx0hsin 45 l xcos 37解得 x30 m.
