1、高 三 数 学 2 0 1 8 年 1 0 月 阶 考 （ 理 ） 第 1 页 共 2 页高 2016 级 高 三 上 期 10 月 阶 段 性 测 试 数 学 试 题 （ 理 ）一 、 选 择 题 ： （ 共 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合题 目 要 求 的 ）1 已 知 集 合 9 100 9 香， 9 100 9 香， 若 ， 则 实 数 的 取 值 集 合 为 （ ）A 1香 B 1 香香 C 1香 D 1香 香2 若 香 9 香 ， 9 香 ， 则 香 9 A 6 B
2、香 C 6 D 3 已 知 命 题 p： 若 a， b 是 实 数 ， 则 a b是 a2 b2的 充 分 不 必 要 条 件 ； 命 题 q： “ x R， x2+2 3x” 的否 定 是 “ x R， x2+2 3x” ， 则 下 列 命 题 为 真 命 题 的 是 （ ）A qp B qp C qp D qp 4 下 列 三 个 数 ： 2323ln a ， lnb ， 33ln c ， 大 小 顺 序 正确 的 是 （ ）A a c b B a b c C b c a D b a c5.阅 读 如 右 下 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 则 输 出
3、的 结 果 是 （ ）A 1 B 2 C 3 D 46 正 项 等 比 数 列 an中 ， a3， a4的 等 比 中 项 为 ，令 Tn=a1a2a3 an， 则 T6=（ ）A 6 B 16 C 32 D 647.在 中 ， 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 若 的 面 积 为 ， 且 9 ， 则 tan 9（ ）A 香 B 香 C D 8 一 个 空 间 几 何 体 的 三 视 图 单 位 ： cm如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积为 A. 6 香 B. 香C.6 D. 9.设 F1， F2分 别 为 双 曲 线 C： 的 两 个 焦 点 ， M， N 是 双 曲 线
4、C 的 一 条 渐 近 线 上的 两 点 ， 四 边 形 MF1NF2为 矩 形 ， A为 双 曲 线 的 一 个 顶 点 ， 若 AMN 的 面 积 为 ， 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为（ ）A 3 B 2 C D10 过 点 )1,2(P 的 直 线 与 函 数 21)( xxxf 的 图 象 交 于 BA, 两 点 ， O 为 坐 标 原 点 ， 则OA OP OB OP ( )A 10 B 2 C 5 D11.已 知 抛 物 线 9 香0 的 焦 点 为 F， 过 F 的 直 线 交 C于 A， B两 点 ， 点 A在 第 一 象 限 ， P(0， 6)， O 为 坐标 原
5、点 ， 则 四 边 形 OPAB面 积 的 最 小 值 为 （ ）A 7香 B 香香 C 3 D 412.已 知 xxgexf x ln)(,)( ， 若 )()( sgtf ， 则 当 ts 取 得 最 小 值 时 ， )(tf 所 在 区 间 是 （ ）A （ ， ln2） B （ ln2， 1） C （ ， ） D （ ， ）二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20分 .13.已 知 直 线 032 yx 的 倾 斜 角 为 ， 则 cossin cossin 的 值 是14.若 x， y 满 足 约 束 条 件 x y 香 x y 香 x
6、 y ， 则 （香） xy的 最 大 值 为 _15.某 科 室 派 出 4 名 调 研 员 到 3 个 学 校 ,调 研 该 校 高 三 复 习 备 考 近 况 ,要 求 每 个 学 校 至 少 一 名 ,则 不 同 的 分配 方 案 种 数 为 .16.定 义 ： 如 果 函 数 )(xf 在 a， b上 存 在 x1， x2（ a x1 x2 b） ， 满 足 ba bfafxfxf )()()()( 21 ，则 称 数 x1， x2为 a， b上 的 “ 对 望 数 ” ， 函 数 f（ x） 为 a， b上 的 “ 对 望 函 数 ” ， 给 出 下 列 四 个 命 题 ：（ 1）
7、二 次 函 数 f（ x） =x2+mx+n在 任 意 区 间 a， b上 都 不 可 能 是 “ 对 望 函 数 ” ；（ 2） 函 数 f（ x） = x3 x2+2 是 0， 2上 的 “ 对 望 函 数 ” ；（ 3） 函 数 f（ x） =x+sinx 是 ， 上 的 “ 对 望 函 数 ” ；（ 4） f（ x） 为 a， b上 的 “ 对 望 函 数 ” ， 则 f（ x） 在 a， b上 不 单 调其 中 正 确 命 题 的 序 号 为 （ 填 上 所 有 正 确 命 题 的 序 号 ）高 三 数 学 2 0 1 8 年 1 0 月 阶 考 （ 理 ） 第 2 页 共 2 页三
8、 、 解 答 题 （ 本 大 题 分 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分 ， 第 17题 第 21 题 为 必 考 题 ， 每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 .第 22 题 第 23题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 .满 分 70分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 过程 ）17 已 知 正 数 数 列 1an的 前 n 项 和 为 Sn， 满 足 an 9 Sn Sn香n ， a香 9 香香求 数 列 1an的 通 项 公 式 ；设 bn 9 香 an a香 an， 若 1bn是 递 增 数 列 ， 求 实 数 a 的
9、 取 值 范 围 18 某 中 学 拟 在 高 一 下 学 期 开 设 游 泳 选 修 课 ， 为 了 了 解 高 一 学 生 喜 欢 游 泳 是 否 与 性 别 有 关 ， 该 学 校 对 100名 高 一 新 生 进 行 了 问 卷 调 查 ， 得 到 如 下 列 联 表 ：喜 欢 游 泳 不 喜 欢 游 泳 合 计男 生 10女 生 20合 计已 知 在 这 100人 中 随 机 抽 取 1 人 抽 到 喜 欢 游 泳 的 学 生 的 概 率 为 香请 将 上 述 列 联 表 补 充 完 整 ： 并 判 断 是 否 有 的 把 握 认 为 喜 欢 游 泳 与 性 别 有 关 ？ 并 说
10、明 你 的 理由 ；针 对 于 问 卷 调 查 的 100名 学 生 ， 学 校 决 定 从 喜 欢 游 泳 的 人 中 按 分 层 抽 样 的 方 法 随 机 抽 取 6 人 成 立游 泳 科 普 知 识 宣 传 组 ， 并 在 这 6 人 中 任 选 2人 作 为 宣 传 组 的 组 长 ， 设 这 两 人 中 男 生 人 数 为 X， 求 X 的分 布 列 和 数 学 期 望 下 面 的 临 界 值 表 仅 供 参 考 ： 香 香 香 香k 7 76 香香 香 66 77 香参 考 公 式 ： 9 ， 其 中 9 19 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD为
11、 菱 形 ， PA 平 面 ABCD， AB=2， ABC=60 ， E， F 分 别 是 BC， PC 的 中 点 （ ） 证 明 ： AE PD；（ ） 设 H 为 线 段 PD上 的 动 点 ， 若 线 段 EH 长 的 最 小 值 为 ， 求 二 面 角E AF C 的 余 弦 值 20. 已 知 椭 圆 2 22 2: 1( 0)x yC a ba b 的 四 个 顶 点 组 成 的 四 边 形 的 面 积 为 2 2 ， 且 经 过 点 21, 2 （ 1） 求 椭 圆 C的 方 程 ；（ 2） 若 过 点 (2,0)M 作 直 线 与 椭 圆 C相 交 于 两 点 ,G H ，
12、设 P为 椭 圆 C上 动 点 ， 且 满 足 OG OH tOP （ O为 坐 标 原 点 ） .当 1t 时 ， 求 OGH 面 积 S 的 取 值 范 围21. 已 知 函 数 mxxxf ln)( )( Rm （ ） 讨 论 函 数 )(xf 的 单 调 区 间 （ ） 当 223m 时 ， 设 2)(2)( xxfxg 的 两 个 极 值 点 )(, 2121 xxxx 恰 为 bxcxxxh 2ln)( 的零 点 ， 求 )2()( 2121 xxhxxy 的 最 小 值 （ 二 ） 选 考 题 （ 共 10分 .请 考 生 在 第 22、 23 题 中 任 选 一 题 作 答 ，
13、 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .作答 时 请 写 清 题 号 ）22.选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 曲 线 C香的 参 数 方 程 为 x 9 cosy 9 sin 为 参 数 在 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 C： 香 cos sin 香 9 写 出 曲 线 C香， C的 普 通 方 程 ； 过 曲 线 C香的 左 焦 点 且 倾 斜 角 为 香的 直 线 l 交 曲 线 C于 A， B 两 点 ， 求 AB23. 选 修 4-5:不
14、 等 式 选 讲已 知 x R， 使 不 等 式 x 香 x t 成 立 香求 满 足 条 件 的 实 数 t 的 集 合 T；若 m 香， n 香， 对 t T， 不 等 式 logm logn t 恒 成 立 ， 求 m n的 最 小 值 高 三 数 学 2 0 1 8 年 1 0 月 阶 考 （ 理 ） 第 3 页 共 2 页高 2016级 高 三 上 期 10 月 阶 段 性 测 试 数 学 试 题 （ 理 ） 参 考 答 案D B D A A D D A D A B A31.13 641.14 15.36 16.(1) (2) (3)17.解 ： 香 9 香 ， 香 9 香 ， 相
15、减 可 得 ： 香 9 香， ， 香 ， 香 9 香， .4分 9 时 ， 9 香 香， 9 ， ， 9 因 此 9 时 ， 香 9 香 成 立 数 列 1是 等 差 数 列 ， 公 差 为 1 （ 缺 验 证 扣 2分 ） 9 香 香 9 .6分 9 香 香 9 香 香， 1是 递 增 数 列 ， 香 9 香 香 9 香 ，即 香 恒 成 立 ， 香实 数 a的 取 值 范 围 是 香 12分18.解 ： 香因 为 在 100人 中 随 机 抽 取 1人 抽 到 喜 欢 游 泳 的 学 生 的 概 率 为 ，所 以 喜 欢 游 泳 的 学 生 人 数 为 香 9 6人 香分 其 中 女 生
16、有 20人 ， 则 男 生 有 40人 ， 列 联 表 补 充 如 下 ：喜 欢 游 泳 不 喜 欢 游 泳 合 计男 生 40 10 50女 生 20 30 50合 计 60 40 100 分 因 为 9 香香 香6 香 香667 香 分 所 以 有 的 把 握 认 为 喜 欢 游 泳 与 性 别 有 关 6分 喜 欢 游 泳 的 共 60人 ， 按 分 层 抽 样 抽 取 6人 ， 则 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 均 为 香香，从 而 需 抽 取 男 生 4人 ， 女 生 2人 故 X的 所 有 可 能 取 值 为 0， 1， 7分 9 96 9 香香； 9 香 9 香香香6
17、9 香； 9 9 香6 9 6香 9 ，X的 分 布 列 为 ：X 0 1 2P 香香 香 香分 9 香香 香 香 9 香 香分 19.（ ） 证 明 ： 底 面 ABCD为 菱 形 ， ABC=60 ， 三 角 形 ABC为 正 三 角 形 ， E是 BC的 中 点 ， AE BC， 又 AD BC， AE AD， 又 PA 平 面 ABCD， PA AE，而 PA AD=A， AE 平 面 PAD， 则 AE PD； .5分（ ） 解 ： 过 A作 AH PD于 H， 连 HE， 由 （ 1） 得 AE 平 面 PAD EH PD， 即 EH= ， AE= ， AH= ， 则 PA=2 以
18、 A为 原 点 ， AE， AD， AP分 别 为 x， y， z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，A（ 0， 0， 0） ， E（ ， 0， 0） ， D（ 0， 2， 0） ， C（ ， 1， 0） ， P（ 0， 0， 2） ， F（ ， ， 1） =（ ， 0，0） ， =（ ， ， 1） ，设 平 面 AEF的 法 向 量 ， 由 ， 取 z=1， 可 得 =（ 0， 2， 1） ； .8分又 BD AC， BD PA， PA AC=A， BD 平 面 AFC，故 为 平 面 AEC的 一 个 法 向 量 ， .10 分 cos = 即 二 面 角 E AF C的 余 弦 值
19、 为 。 .12分20.解 （ 1） 因 为 21, 2 在 椭 圆 C上 ， 所 以 2 21 1 12a b ，又 因 为 椭 圆 四 个 顶 点 组 成 的 四 边 形 的 面 积 为 2 2 ， 所 以 1 2 2 2 2, 22 a b ab ，解 得 2 22, 1a b ， 所 以 椭 圆 C的 方 程 为 2 2 12x y .4分（ 2） 设 过 点 M 的 直 线 方 程 为 2x my ,G H 两 点 的 坐 标 分 别 为 1 1 2 2( , ),( , )x y x y ，联 立 方 程 2 2 12 2x yx my ， 得 2 2( 2) 4 2 0m y m
20、y ， 2 28 16 0 2m m ，因 为 1 2 24 2my y m ， 1 2 22 2y y m ，所 以 22 21 2 1 2 1 2 2 2 24 8 2 2 2( ) 4 ( )2 2 2m my y y y y y m m m ，因 为 OG OH tOP ， 所 以 点 1 2 1 2( , )x x y yP t t ，因 为 点 P 在 椭 圆 C上 ， 所 以 有 2 21 2 1 2( ) 2( ) 2x x y yt t ，高 三 数 学 2 0 1 8 年 1 0 月 阶 考 （ 理 ） 第 4 页 共 2 页化 简 得 2 2 21 2 1 2 ( ) 4
21、 2( ) 2m y y y y t ， 因 为 1 2 24 2my y m ，所 以 得 2 2 22 24 4( ) ( 2) 8 ( ) 16 2 02 2m mm m tm m ， 化 简 2 216 2m t ， .8分因 为 1t ， 所 以 22 14m ， 因 为 21 2 21 2 2 222 2OGH mS y y m ， .9分令 2 2 ( (0,2 3)m t t ， 所 以 22 2 2 244OGH tS t t t ，令 4( )g t t t ， 因 为 ( )g t 在 (0,2t 上 单 调 递 减 ， 在 2,2 3t 上 单 调 递 增 ，所 以 2
22、0 2OGHS . .12分21解 ： （ 1） 函 数 f（ x） =lnx mx， ， x 0；当 m 0 时 ， 由 1 mx 0解 得 x ， 即 当 0 x 时 ， f（ x） 0， f（ x） 单 调 递 增 ；由 1 mx 0 解 得 x ， 即 当 x 时 ， f（ x） 0， f（ x） 单 调 递 减 ；当 m=0时 ， f（ x） = 0， 即 f（ x） 在 （ 0， + ） 上 单 调 递 增 ；当 m 0 时 ， 1 mx 0， 故 f（ x） 0， 即 f（ x） 在 （ 0， + ） 上 单 调 递 增 ；综 上 当 m 0 时 ， f（ x） 的 单 调 递
23、增 区 间 为 （ 0， ） ， 单 调 递 减 区 间 为 （ ， + ） ；当 m 0 时 ， f（ x） 的 单 调 递 增 区 间 为 （ 0， + ） ； .4分（ 2） g（ x） =2f（ x） +x2=2lnx 2mx+x2， 则 ， g（ x） 的 两 根 x1， x2即 为 方 程 x2 mx+1=0的 两 根 ；又 m ， =m2 4 0， x1+x2=m， x1x2=1； 又 x1， x2为 h（ x） =lnx cx2 bx的 零 点 ， lnx1 cx12 bx1=0， lnx2 cx22 bx2=0，两 式 相 减 得 c（ x1 x2） （ x1+x2） b（
24、x1 x2） =0，得 b= ， .6分 而 ，y= = = ， .8分令 （ 0 t 1） ， 由 （ x1+x2） 2=m2得 x12+x22+2x1x2=m2， 因 为 x1x2=1， 两 边 同 时 除 以 x1x2， 得 t+ +2=m2， m ， 故 t+ ， 解 得 t 或 t 2， 0 t ； .10分设 G（ t） = ， G（ t） = ， 则 y=G（ t） 在 （ 0， 上 是 减 函 数 ， G（ t）min=G（ ） = +ln2， 即 的 最 小 值 为 +ln2 12分22解 ： 0 9 cos 9 sin 0 9 cos sin 9 香 香分 即 香的 普 通
25、 方 程 为 0 香 9 香 分 9 0 ， 0 9 cos， 9 sin， 可 化 为 0 香0 香 9 ， 分 即 0 香 9 香 香分 曲 线 香左 焦 点 为 香， 分 直 线 l的 倾 斜 角 为 9香， sin 9 cos 9 6分 所 以 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ： 0 9 香 9 为 参 数 ，将 其 代 入 曲 线 整 理 可 得 ： 香 9 ， 分 所 以 9 香 香 9 设 A， B对 应 的 参 数 分 别 为 香， ， 则 香 9 香 9 香 分 所 以 9 香 9 香 香香 9 香 香 9 香分 23.解 ： 香令 0 9 0 香0 ，则 0 9 香0 香0 香 0 香0 ， 香 0 香； 由 于 0 使 不 等 式 0 香 0 成 立 ，则 有 9 1 香； .5分由 香知 ， log log 香， 根 据 基 本 不 等 式 log log loglog ，从 而 ， 当 且 仅 当 9 9 时 取 等 号 ，再 根 据 基 本 不 等 式 6， 当 且 仅 当 9 9 时 取 等 号 ； 9 香， 即 的 最 小 值 为 18 .10分高 三 数 学 2 0 1 8 年 1 0 月 阶 考 （ 理 ） 第 5 页 共 2 页
