1、 第 1 页（共 5 页） 奥宇学校 2018 届高三年级第 三 次月考 数学试卷（理） 一、 选择题： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1） i 是虚数单位，复数 4 2i1 2i (1i)2=（ ） （ A） 0 （ B） 2 （ C） 4i （ D） 4i （ 2） 设 x， y 满足约束条件 2311xxyyx，则下列不等式恒成立的是 （ ） （ A） x 3 （ B） y 4 （ C） x+2y8 0 （ D） 2xy+1 0 （ 3） 如果执行右面的程序框图，那么输出的 S=（ ） （ A） 22 （ B）
2、46 （ C） 94 （ D） 190 （ 4） 已知双曲线 kx2y2=1 的一条 渐近线与 直线 2x+y+1=0 垂直，则这一双曲线的离心率是 （ ） （ A） 23 （ B） 25 （ C） 3 （ D） 5 （ 5） 偶函数 f(x)在区间 0， a（ a 0）上是单调函数，且 f(0) f(a) 0，则方程 f(x)=0在区间 a， a内根的个数是 （ ） （ A） 3 （ B） 2 （ C） 1 （ D） 0 1ii是 否 开 始11is，5?is输 出结 束21ss()第 2 页（共 5 页） 2222俯视图侧视图正视图（ 6） 给出如下 三 个命题： 若 “ p 且 q” 为
3、假命题，则 p、 q 均为假命题； 命题 “ 若 x 2 且 y 3，则 x+y 5” 的否命题为 “ 若 x 2 且 y 3，则 x+y 5” ； 在 ABC 中， “ A 45” 是 “ sinA 22 ” 的充要条件 其中不正确的 命 题的个数 是 （ ） （ A） 3 （ B） 2 （ C） 1 （ D） 0 （ 7） 若函数 f(x)， g(x)分别是 R 上的奇函数和偶函数，且满足 f(x)+g(x)=(21 )x，则有（ ） （ A） f(3) f(2) g(0) （ B） f(3) g(0) f(2) （ C） f(2) f(3) g(0) （ D） g(0) f(2) f(3
4、) （ 8） 已知抛物线 y2=4x 的焦点 F， A， B 是抛物线上横坐标不相等的两点 ， 若 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点是 (4， 0)， 则 |AB|的最大值为 （ ） （ A） 2 （ B） 4 （ C） 6 （ D） 10 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分 ，共 30 分 （ 9） 已知公差不为 0 的 等差数列 an中， a1， a2， a5 依次成等比数列，则15aa = （ 10） 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ 11） 设集合 A=x|2x3| 7， B=x|m+1 x 2m1，若 A B=A，则实数 m 的取值范围 是 第 3 页
5、（共 5 页） A BCMPQ（ 12） 在 ABC 中， a， b， c 分别是 内 角 A， B， C 的对边， C=2A， sin2B+sin2Csin2A=23 sinBsinC， 则 cosC= （ 13） 设圆 C： x2+y2=3， 直线 l： x+3y6=0， 点 P(x0， y0) l，若 存在点 Q C， 使 OPQ=60（ O 为坐标原点 ）， 则 x0 的取值范围是 （ 14） 如图， 在 ABC中， CM =2MB ，过点 M的直线分别交射线 AB、 AC于不同的两点 P、 Q，若 AP =mAB ， AQ =nAC ，则 mn+m的最小值 为 三、解答题：本大题共
6、6 题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 15） （本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=sin(2x+6 )+sin(2x6 )+2cos2x （ ） 求 f(x)的最小正周期及最大值； （ ） 求使 f(x) 2 的 x 的取值范围 （ 16） （本小题满分 13 分） 在 ABC 中， a， b， c 分别是 内 角 A， B， C 的对边， m=(2bc， cosC)， n=(a， cosA)，且 m n （ ） 求角 A 的大小； （ ） 若 a=3， sinC=2sinB，求 b， c 的值 第 4 页（共 5 页） （ 17） （ 本小题满分 13
7、 分 ） 如图，直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， AE=EB， F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE （）求证： AE平面 BCE； （）求二面角 B-AC-E 的正弦值； （）求点 D 到平面 ACE 的距离 （ 18） （ 本小题满分 13 分 ） 已知各项均为正数的数列 an满足： a1=3，且 an 21na 2( 2na 1)an+1an=0， n N* （ ）设 bn=anna1 ，求数列 bn的通项公式； （） 设 Sn=a12+a22+ +an2， Tn=211a+221a+ +21na，求 Sn+Tn FEAD CB第 5 页（共
8、5 页） （ 19） （ 本小题满分 14 分 ） 如图，椭圆22ax +22by =1（ a b 0） 的左焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 A， B 两点， |AF|的最大值为 M， |BF|的最小值为 m，满足 M m=34 a2 （ ） 若线段 AB 垂直于 x 轴时， |AB|=32 ， 求椭圆 的方程 ； （ ） 设线段 AB 的 中点为 G， AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D， E 两点， O是坐标原点，记 GFD 的面积为 S1， OED 的面积为 S2，求 12222SSSS的取值范围 （ 20） （ 本小题满分 14 分 ） 已知 a 为实数，函数 f
9、(x)=alnx+x24x （） 当 a=1 时，求 f(x)在 x=1 处的切线方程； （） 定义：若函数 m(x)的图象上存在两点 A、 B，设线段 AB 的中点为 P(x0， y0)，若m(x)在点 Q(x0， m(x0)处的切线 l 与直线 AB 平行或重合，则函数 m(x)是“中值平衡 函数”，切线 l 叫做函数 m(x)的“中值平衡切线”试判断函数 f(x)是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数 f(x)的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由； （） 设 g(x)=(a2)x，若存在 x0 1e ， e，使得 f(x0) g(x0)成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共
10、5 页） 数学试卷（理） 参考 答案 一、选择题 （ 1） D （ 2） C （ 3） C （ 4） B （ 5） B （ 6） A （ 7） A （ 8） C 二、填空题 （ 9） 9 （ 10） 4 （ 11） (， 3 （ 12） 81 （ 13） 0， 56 （ 14） 2 三、解答题 （ 15） 解： （ ） f(x)=sin(2x+6 )+sin(2x6 )+2cos2x =sin2xcos6 +cos2xsin6 +sin2xcos6 cos2xsin6 +cos2x+1 3 分 = 3 sin2x+cos2x+1 =2sin(2x+6 )+1 5 分 f(x)max=2+1=3
11、 T= 2|= 7 分 （ ） 由 f(x) 2 得 2sin(2x+6 )+1 2， sin(2x+6 ) 21 ， 8 分 2k+6 2x+6 2k+56 ， 10 分 k x k+3 （ k Z） ， 12 分 f(x) 2 的 x 的取值范围是 x| k x k+3 ， k Z 13 分 （ 16） 解： （ ） 由 m n 得 (2bc)cosA=acosC， 2 分 第 7 页（共 5 页） OzxyFEAD CB由正弦定理得 2sinBcosAsinCcosAsinAcosC=0， 3 分 2sinBcosAsin(A+C)=0， 5 分 2sinBcosAsinB=0， 6 分
12、 B (0， )， sinB 0， cosA=21 ， 7 分 A (0， )， A=3 8 分 （ ） 由 sinC=2sinB， 得 c=2b， 9 分 由条件 a=3， A=3 ， 所以由余弦定理得 2 2 2 2 2 22 c o s 3a b c b c A b c b c b ， 11 分 解得 b= 3 ， c=2 3 13 分 （ 17） 解 ： （） BF 平面 ACE， BF AE 二面角 D-AB-E 为直二面角 ， 且 CB AB， CB 平面 ABE CB AE AE 平面 BCE 4 分 （）以线段 AB 的中点为原点 O， OE 所在直线为 x 轴， AB 所在直
13、线为 y 轴，过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴， 建立空间直角坐标系 O-xyz，如图 AE面 BCE， BE面 BCE， AE BE， 在 Rt AEB 中， AB=2， O 为 AB 的中点， OE=1 A(0， 1， 0)， E(1， 0， 0)， C(0， 1， 2)， AE =(1， 1， 0)， AC =(0， 2， 2) 设平面 AEC 的一个法向量为 n=(x， y， z)， 则，00nACnAE 即 .022 0xy yx ，解得 ， ，xz xy第 8 页（共 5 页） 令 x=1，得 n=(1， 1， 1)是平面 AEC 的一个法向量 又平面 BAC 的一个法向量
14、为 m=(1， 0， 0)， .3331| ,),c os ( nm nmnm二面角 B-AC-E 的正弦值为 36 10 分 （） AD z 轴， AD=2， AD =(0， 0， 2)， 点 D 到平面 ACE 的距离 d= 33232| | n nAD 13 分 （ 18） 解： （） bn+1=an+111na=12 1 1 nnaa =nnaa )1(2 2 =anna1 =2bn， 3 分 b1=a111a =38 ， 4 分 数列 bn为公比为 2，首项为 38 的 等比数列，其 通项公式 为 bn= 322n 7 分 （） 由 （） 有 Sn+Tn=(a111a )2+(a22
15、1a )2+ +(anna1 )2+2n 10 分 =(323 )2+(324 )2+ +( 322n )2+2n =2764 (4n1)+2n（ n N*） 13 分 （ 19） 解 ： （ ）设 ( ,0)( 0)F c c，则根据椭圆性质得 ,M a c m a c 而 234M m a ，所以有 2 2 234a c a ，即 224ac ， 2ac ， 第 9 页（共 5 页） 又 232 2 ab 且 222 cba ，得 43,1 2 ba ， 因此椭圆 的方程为： 134 22 yx 5 分 （ ）由（ ）可知 2ac ， 22 3b a c c ，椭圆的方程为 22143xy
16、cc. 根据条件直线 AB 的斜率一定存在且不为零，设直 线 AB 的方程为 ()y k x c， 并设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y则由 2222()143y k x cxycc 消去 y 并整理得 2 2 2 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x c k x k c c ， 从而有 21 2 1 2 1 22286, ( 2 )4 3 4 3c k c kx x y y k x x ckk ， 7 分 所以 22243( , )4 3 4 3c k c kG kk . 因为 DG AB ，所以 222343 1443 Dckk kck xk ，
17、 2243D ckx k . 由 Rt FGD 与 Rt EOD 相似，所以 22 222 2 2 21222 22243( ) ( )94 3 4 3 4 3 99()43c k c k c kS G D k k kckS O D kk . 11 分 令 12S tS ，则 9t ，从而 1222122 2 2 911 419 9SSSSt t ， 第 10 页（共 5 页） 即 12222SS的取值范围是 9(0, )41 . 14 分 （ 20） 解： （） 函数 f(x)的定义域为 (0， +)， f (x)=xa +2x4= 224x x ax， 当 a=1 时， f (1)=3，
18、f (1)=1， 在 x=1 处的切线方程为 x+y+2=0 4 分 （） 若函数 f(x)是“中值平衡函数 ”， 则存在 A(x1， f(x1)， B(x2， f(x2)（ 0 x1 x2） 使得 f (x0)= 2121f x f xxx( ) ( ) ， 即122axx +x1+x24= 222 1 2 1 2 121ln ln 4a x x x x x xxx ( ) ( )， 122axx = 2121ln lna x xxx()（） 6 分 当 a=0 时，（）对任意的 0 x1 x2 都成立， 函数 f(x)是“ 中值平衡函数”，且函数 f(x)的“中值平衡切线”有无数条； 7
19、分 当 a 0 时，有 21122xxxx()=ln 21xx ， 设 t= 21xx 1，则方程 211tt ()=lnt 在区间 (1， +)上有解， 记函数 h(x)=lnt211tt ()， t 1， 则 h (x)=1t 241t()= 2211ttt() 0， 函数 h(t)在区间 (1， +)递增， h(1)=0，所以当 t 1 时， h(t) h(1)=0， 即方程 211tt ()=lnt 在区间 (1， +)上无解，即函数 f(x)不是“中值平衡函数”； 第 11 页（共 5 页） 综上所述， 当 a=0 时，函数 f(x)是“中值平衡函数”，且函数 f(x)的“中值平衡切
20、线”有无数条； 当 a 0 时， f(x)不是“中值平衡函数”； 10 分 （） 由 f(x0) g(x0)，得 (x0lnx0)a x022x0， 记 F(x)=xlnx（ x 0） ， F(x)= 1xx ， 当 0 x 1 时， F(x) 0， F(x)递减，当 x 1 时， F(x) 0， F(x)递增； F(x) F(1)=1 0， a 2002lnxx，记 G(x)= 2 2lnxx ， x 1e ， e， G(x)=21 2 ln 2lnx x xxx ( )( )()， x 1e ， e， x2lnx+2 0， x 1e ， 1)时， G(x) 0， G(x)递减； x (1， e时， G(x) 0， G(x)递增； G(x)min= G(1)=1， a G(x)min=1， 故实数 a 的取值范围为 1， +) 14 分
