1、 2019 届调研考试（三） 数学（理） 试题 1 绝密 启用前 2019 数学（理）试卷 命题人： 曾卫国 审题人： 赵攀峰 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效； 3选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用 0 5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚； 4保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破 损； 5本堂考试时量为 120 分钟，考试总分 150 分； 6考试
2、结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题 （ 本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1已知集合 22 5 3 0A x x x ， 12B x y x，则 AB A 12,2B 12,2 C 3, 2 D 3, 2 2已知复数 122 3 ,z i z a bi （ , , 0Ra b b且 ），其中 i 为虚数单位，若 12zz 为实数，则 ab 的值为 A 32 B 23 C 23 D 32 3如图 1 所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩（单位：秒），通过茎叶图比较两人训练成绩的平均
3、值及方差，并从中推荐一人参加运动会， 甲的成绩的平均值高于乙的成绩的平均值，推荐乙参加运动会 甲的成绩的平均值低于乙的成绩的平均值，推荐甲参加运动会 甲的成绩的方差高于乙的成绩的方差，推荐乙参加 运动会 甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会 其中正确结论的编号为 A B C D 4函数 2 33s i n22f x x x x 的图象大致为 图 1 2019 届调研考试（三） 数学（理） 试题 2 A B C D 5已知等比数列 na 满足 3 4a ，且 63 9SS ， 则 6 2 0241 3 5 1 92 2 2 2aaaaa a a a A 20213 B 213 C
4、20223 D 21223 6执行如图 2 所示的程序框图，若输出 S的值为 55，则判断框中 m的值为 A 7 B 8 C 9 D 10 7如图 3，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图， 则 该几何体的表面积为 A 4 8 5 8 2 4 2 B 4 4 5 4 2 4 2 C 8 8 5 8 2 4 2 D 8 4 5 4 2 4 2 8已知双曲线 2222: 1 0 , 0xyC a bab 的左、右焦点分别为 12,FF，实轴长为 2，渐近线方程为 12yx ， 122MF MF，点 N 在圆 22: 2 0 x y y 上，则1MN MF 的最小值为 A 32
5、 B 2 C 52 D 3 图 2 图 3 2019 届调研考试（三） 数学（理） 试题 3 9已知直三棱柱 1 1 1ABC ABC 的底面为等边三角形，且底面积为 34 ，体积为 34 ，点 ,PQ分别为线段 11,ABBC 上的动点，若直线 11PQ AC C A 平 面 ，点 M为线段 PQ的中点，则点 M的轨迹长度为 A 24 B 34 C 22 D 32 10如图 4，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， O1（ 1， 0），阴影部分为不等式 2 21 1 0x y y 表示的平面区域， PQ 与阴影部分相切于点 T，交 x轴正半轴于点 P，交 y轴正半轴于点 Q，设 OQ t
6、， OPQ的面积为 St，若关于 t的不等式 40S t at a 存在唯一整数解，则实数 a的取值范围为 A 27 4,83B 27 4,83C 4,3D 27 4,83 11已知椭圆 22143xy的左右焦点分别为 F1、 F2，点 P、 Q 均在椭圆上，且均在 x 轴上方，满足条件 PF1 QF2，1 43PF，则 2QF A 12 B 47 C 127 D 43 12已知存在 , ,2 ，且 ，使得 s i n 5 c o s 2 02 ，其中 0 ， 则实数 的值可能为 A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题 （ 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 ） 13若 531 2
7、1axx的展开式中常数项为 12，则 2 sin d2a xx 14 在 ABC 中，记 2,C B A C A B A C mn，若 mn， 则 sinA 的最大值为 15长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由 13 名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答： “（ 1）有中学高级教师；（ 2）中学教师不多于小学教师；（ 3）小学高级教师少于中学中级教师；（ 4）小学中级教师少于小学高级教师；（ 5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（ 6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立 ”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是 图
8、4 2019 届调研考试（三） 数学（理） 试题 4 16 已知定义 在 ,22上的函数 fx满足 ,16f x f x f ，对任意0,2x ，不等式 tanf x x f x 恒成立，其中 fx 是 fx的导数，则不等式 2sinf x x 的解集为 三、解答题 （ 共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23题为选考题，考生根据要求作答。 ） （一）必考题：共 60 分。 17（ 本小题满分 12 分 ）已知数列 na 的前 n 项和 Sn满足111 1 1 0n n n nS S S S ，且 1 1a （ ）求
9、数列通项公式 an； （ ）在数列 na 的前 100 项中 ，是否存在两项 ,mna a m n ，使得21 1 1,mna a a三项成等比数列？若存在，求出所有的 m， n的取值；若不存在，请说明理由 18（ 本小题满分 12 分 ）如图 5，已知五棱锥 P ABCDE，其中 ABE， PCD均为正三角形，四边形 BCDE为等腰梯形， BE 2BC 2CD 2DE 4， PB PE 10 （ ）求证：平面 PCD 平面 ABCDE； （ ）若线段 AP 上存在一点 M，使得三棱锥 P BEM 的体积为五棱锥 P ABCDE体积的 37 ，求 AM的长 图 5 2019 届调研考试（三）
10、数学（理） 试题 5 19（ 本小题满分 12 分 ） 为了改善市民的生活环境，长沙某大型工业城市决定对长沙市的 1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分 100 分，发现长沙市的这些化工企业污染情 况标准分基本服从正态分布 N（ 50， 162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在 50， 60内，可以认为该企业治污水平基本达标 （ ）图 6 为长沙市的某工业区所有被调査的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的
11、治污平均值水平是否基本达标； （ ）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于 18 分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为 10 万元，标准分在 18， 34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为 4 万元长沙 市决定关停 80的标准分低于 18 分的化工企业和 60的标准分在 18， 34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？ （附：若随机变量 2,XN ，则 6 8 .3PX ， 2 2 9 5 . 4PX ， 3 3 9 9 . 7PX ） 20（ 本小题满分 12 分 ）已知抛物线 2:4C y x ，圆 过点（ 0， 0），（ 2， 2），（ 1， 3 ） （
12、 ）求圆 的方程； （ ）若直线 l， m均过坐标原点 O，且互相垂直，直线 l交抛物线 C 于点 M，交圆 于点 N，直线 m交抛物线 C于点 P，交圆 于点 Q，点 P， Q， M， N均不同于原点 O，求 MOPNOQSS达到最小值时直线 l的方程 图 6 2019 届调研考试（三） 数学（理） 试题 6 21（ 本小题满分 12 分 ）已知函数 2 2 .7 1 8 2 8xaxf x ee，且 fx在 1, 1f 处的切线的斜率为 2e （ ）求 fx的表达式，并求出函数 fx的最大值； （ ）设 lng x x c c R，试问函数 y f x 与函数 y g x 的图象有几个交点
13、？ （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22（ 本小题满分 10 分 ） 选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1和 C2的极坐标方程分别为 2 和 2 3 c o s s in 6 （ ）求曲线 C1、 C2的直角坐标方程； （ ）设曲线 C1、 C2的公共点为 A、 B，过点 O作两条相互垂直的直线分别与直线 AB交于点 P、 Q，求 OPQ的面积的最小值 23（ 本小题满分 10 分 ） 选修 45：不等式选讲 已知 a、 b、 c均为正数
14、，函数 f x x a x b c 的最小值为 1 （ ）求 2 2 2194 4a b c的最小值； （ ）求证： 2 2 2 2 2 2 32a a b b b b c c c c a a 2019 届调研考试（三） 数学（理） 试题 7 2019 数学（理）试卷 参考 答案 命题人： 曾卫国 审题人： 赵攀峰 一、选择题 （ 本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B A D D D D C D B C D 二、填空题 （ 本大题共 4小题，每小题 5分，共
15、 20分 ） 13 2 14 12 15小学中级 16 , 0,2 6 6 三、解答题 （ 共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23题为选考题，考生根据要求作答。 ） 17 解： （ ） an 2n 1；（ ） 取值为 5 8 1 1,1 4 3 8 7 4m m mn n n 18 解： （ ） 证明略 ；（ ） AM 304 19 解： （ ） 基本 达标；（ ） 5092 万元 20 解： （ ） 圆 的方程 为 2240x y x ；（ ）直线 l的方程 为 yx 21 解： （ ） 1122f e； （ ） 当21c e时，函数 y f x 与函数 y g x 的图象没有交点； 当21c e时，函数 y f x 与函数 y g x 的图象有一个交点； 当21c e时，函数 y f x 与函数 y g x 的图象有两个交点 22 解： （） 221 :4C x y， 222 : 3 6C x y x y ； （）取得最小值 1 23 解： （ ） 2 2 2194 4a b c的最小值 为 15736 ； （ ） 2 2 2 2 2 2 32 2 2 2b c aa a b b b b c c c c a a a b c
