1、1课时规范练 33 基本不等式及其应用一、基础巩固组1.设 00,b0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+ ,n=a+ ,则 m+n 的最小值是( )1 1A.3 B.4 C.5 D.64.函数 y= (x-1)的图象的最低点的坐标是 ( )2+2+2+1A.(1,2) B.(1,-2) C.(1,1) D.(0,2)5.(2017 山东日照一模)已知圆 x2+y2+4x-2y-1=0 上存在两点关于直线 ax-2by+2=0(a0,b0)对称,则 的最小值为 ( )1+4A.8 B.9 C.16 D.186.要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器 .已知该容器的底面造
2、价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( )A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元7.若两个正实数 x,y 满足 =1,并且 x+2ym2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( )2+1A.(- ,-2)4, + ) B.(- ,-42, + )C.(-2,4) D.(-4,2)8.设 x,yR, a1,b1,若 ax=by=3,a+b=2 ,则 的最大值为( )31+1A.2 B. C.1 D.32 129.若直线 =1(a0,b0)过点(1,2),则 2a+b 的最小值为 . +10.若直线 ax+by-1=0(a0,b0)过
3、曲线 y=1+sin x(00,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则 的最小值是 +. 15.如果 a,b 满足 ab=a+b+3,那么 ab 的取值范围是 . 16.某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x)(单元:万元),当年产量不足 80 千件时, C(x)= x2+10x(单位:万元) .当年产量不少于 80 千件时, C(x)=51x+ -13 10 0001 450(单位:万元) .每件商品售价为 0.05 万元 .通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完 .(1)写出年利润 L(x)(单位:万元)关于年产量 x(单位:千件)的函数解
4、析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?导学号 21500549三、创新应用组17.若正实数 x,y 满足 x+y+ =5,则 x+y 的最大值是( )1+1A.2 B.3C.4 D.518.(2017 山东德州一模,理 8)圆: x2+y2+2ax+a2-9=0 和圆: x2+y2-4by-1+4b2=0 有三条公切线,若aR, bR,且 ab0,则 的最小值为( )42+12A.1 B.3C.4 D.5 导学号 215005503课时规范练 33 基本不等式及其应用1.B 00,即 a,D 错误,故选 B.+2 ( 2.C 正数 x,y 满足 =1,1+3 3x
5、+4y=(3x+4y) =13+ 13+32 =25,当且仅当 x=2y=5 时等号成立 .(1+3) 3+12 4 3x+4y 的最小值是 25.故选 C.3.B 由题意知 ab=1,则 m=b+ =2b,n=a+ =2a,1 1m+n= 2(a+b)4 =4,当且仅当 a=b=1 时,等号成立 .4.D x- 1,x+ 10.y= =(x+1)+ 2,当且仅当 x+1= ,即 x=0 时等号成立,即(+1)2+1+1 1+1 1+1当 x=0 时,该函数取得最小值 2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2) .5.B 由圆的对称性可得,直线 ax-2by+2=0 必过圆心( -2,1),所
6、以 a+b=1.所以 (a+b)=5+ 5+4=9,当且仅当 ,即 2a=b= 时等号成立,故选 B.1+4=(1+4) +4 =4 236.C 设底面矩形的长和宽分别为 a m,b m,则 ab=4(m2).容器的总造价为 20ab+2(a+b)10=80+20(a+b)80 +40 =160(元)(当且仅当 a=b=2 时等号成立) .故选 C.7.D x+2y=(x+2y) =2+ +28,(2+1) 4+当且仅当 ,即 x=2y=4 时等号成立 .4=由 x+2ym2+2m 恒成立,可知 m2+2m1,b1,所以 ab =3,(+2 )2所以 lg(ab)lg 3,从而 =1,当且仅当
7、 a=b= 时等号成立 .1+133 39.8 直线 =1 过点(1,2),+=1.1+2a 0,b0, 2a+b=(2a+b) =4+ 4+2 =8.(1+2) (+4) 4当且仅当 b=2a 时等号成立 .10.3+2 由正弦函数的图象与性质可知,曲线 y=1+sin x(00,+2 2+ 乙的购买方式的平均单价较小 .故答案为乙 .12.证明 因为 a,b 均为正实数,所以 2 ,12+12 1212=2当且仅当 ,即 a=b 时等号成立,12=12又因为 +ab2 =2 ,2 2 2当且仅当 =ab 时等号成立,2所以 +ab +ab2 ,12+12 2 2当且仅当 即 a=b= 时等
8、号成立 .12=12,2=, 4213.D 令 f(y)=|y+4|-|y|,则 f(y) |y+4-y|=4,即 f(y)max=4. 不等式 |y+4|-|y|2 x+ 对任意实数 x,y 都成立,2 2x+ f(y)max=4,2a -(2x)2+42x=-(2x-2)2+4 恒成立;令 g(x)=-(2x)2+42x,则 a g(x)max=4, 实数 a 的最小值为 4.14.2 +4 x0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,可得 x+3y=1.3+42 +4=2 +4.+=(+)(+3) =2+32+4 =+3 3 3当且仅当 x= y,x+3y=1,即 y= ,x= 时等号
9、成立 .33- 36 3-12的最小值是 2 +4.+ 3515.(- ,1)(9, + ) ab=a+b+ 3,a+b=ab- 3, (a+b)2=(ab-3)2. (a+b)24 ab, (ab-3)24 ab,即( ab)2-10ab+90,故 ab1 或 ab9 .16.解 (1)因为每件商品售价为 0.05 万元,则 x 千件商品销售额为 0.051 000x 万元,依题意得,当 0 0,y0,xy ,(+)24,即 ,1 4(+)2,+ 4+ 1+1 4+x+y+ x+y+ 即 x+y+ 5.1+1 4+. 4+设 x+y=t,则 t0,t+ 5,得到 t2-5t+40,解得 1 t4,4x+y 的最大值是 4.18.A 由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为( x+a)2+y2=9,x2+(y-2b)2=1,圆心分别为( -a,0),(0,2b),半径分别为 3 和 1,故有 a2+4b2=16,(a2+4b2)= (8+8)=1,42+12=116(42+12) 116(8+1622+22)116当且仅当 ,即 a2=8,b2=2 时,等号成立,故选 A.1622=22
