1、1课时规范练 55 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、基础巩固组1.已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不同的平面个数为( )A.40 B.16 C.13 D.102.现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )A.56 B.65C. D.6543256543223.现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有( )A.24 种 B.30 种C.36 种 D.48 种4.有 a,b,c,d,e 共 5 个人,从中选
2、1 名组长和 1 名副组长,但 a 不能当副组长,则不同选法的种数是( )A.20 B.16 C.10 D.65.我们把各个数位上的数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”),则“六合数”中首位为 2 的共有( )A.18 个 B.15 个 C.12 个 D.9 个6.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( )A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种7.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去哪个工厂可自由选择,甲工厂必须有班级去,则不同的分配方案有
3、( )A.16 种 B.18 种 C.37 种 D.48 种8.(2017 福建漳州质检)将 1,2,3,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大 .当 3,4 固定在图中的位置时,填写空格的方法有( )A.6 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种 导学号 215005859.(2017 山东济宁模拟)若甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 种 . 10.三边长均为正整数,且最大边长为 11 的三角形的个数是 . 二、综合提升组11.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数
4、字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )A.24 B.18 C.12 D.612.某体育彩票规定:从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 元 .某人想从 01 至 10 中选3 个连续的号,从 11 至 20 中选 2 个连续的号,从 21 至 30 中选 1 个号,从 31 至 36 中选 1 个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花( )A.3 360 元 B.6 720 元C.4 320 元 D.8 640 元13.(2017 河南商丘二模,理 9)高考结束后高三年级的 8 名同学准备拼车去旅游,其中一班、二班、三班、四班每班各 2 名,
5、分别乘甲、乙两辆汽车,每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑2位置),其中一班的 2 名同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一班级的乘坐方式共有( )A.18 种 B.24 种 C.48 种 D.36 种14.如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给该地区的地图涂色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有 4 种颜色可供选择,则涂色方法共有的种数为 . 导学号 2150058615.我们把中间位上的数字最大,而两边依次减小的多位数称为“凸数” .如 132,341 等,则由1,2,3,4,5 可以组成无重复数字的三位凸数的个数是 .
6、16.已知集合 M=1,2,3,4,集合 A,B 为集合 M 的非空子集,若对 x A,y B,xy 恒成立,则称( A,B)为集合 M 的一个“子集对”,则集合 M 的“子集对”共有 个 . 三、创新应用组17.(2017 重庆一中诊断)对甲、乙、丙、丁四人进行编号,甲不编“1”号、乙不编“2”号、丙不编“3”号、丁不编“4”号的不同编号方法有( )A.8 种 B.9 种 C.10 种 D.11 种18.如图,在由若干个同样小的平行四边形组成的大平行四边形内有一个,则含有的平行四边形共有 个 .(用数字作答) 导学号 21500587课时规范练 55 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.C
7、 分两类情况讨论:第 1 类,直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面;第 2 类,直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面 .根据分类加法计数原理知,共可以确定 8+5=13 个不同的平面 .2.A 6 名同学中的每一名同学都可以从 5 个课外知识讲座中任选一个,由分步乘法计数原理可知不同的选法种数是 56.故选 A.3.D 按 ABCD 的顺序分四步着色,共有 4322=48 种不同的着色方法 .4.B 当 a 当组长时,则共有 14=4 种选法;当 a 不当组长时,因为 a 也不能当副组长,则共有43=12 种选法 .因此共有 4+12
8、=16 种选法 .35.B 依题意知,这个四位数的百位上的数字、十位、个位上的数字之和为 4.由 4,0,0 组成 3 个数,分别为 400,040,004;由 3,1,0 组成 310,301,130,103,013,031 共 6 个数;由 2,2,0 组成 3 个数,分别为 220,202,022;由 2,1,1 组成 3 个数,分别为 211,121,112,共计 3+6+3+3=15(个) .6.B 赠送 1 本画册,3 本集邮册,需从 4 人中选出 1 人赠送画册,其余赠送集邮册,有 种方法;14赠送 2 本画册,2 本集邮册,只需从 4 人中选出 2 人赠送画册,其余 2 人赠送
9、集邮册,有 种方法 .24由分类加法计数原理,知不同的赠送方法有 =10(种) .14+247.C 三个班去四个工厂,不同的分配方案共 43种,甲工厂没有班级去的分配方案共 33种,因此满足条件的不同的分配方案共有 43-33=37(种) .8.A 因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1,2,9 只有一种填法,5 只能填在右上角或左下角,5 填好后与之相邻的空格可填 6,7,8 中的任一个,余下的两个数字按从小到大只有一种填法 .共有 23=6 种填法,故选 A.9.24 分步完成,首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门,有 4 种方法;其次甲从剩下的 3 门课程中任选 1 门
10、,有 3 种方法;最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门,有 2 种方法 .于是,甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 432=24(种) .10.36 另两边长用 x,y(x,yN *)表示,不妨设 1 x y11,要构成三角形,必须 x+y12 .当 y 取11 时, x 可取 1,2,3,11,有 11 个三角形;当 y 取 10 时, x 可取 2,3,10,有 9 个三角形;当y 取 6 时, x 只能取 6,只有 1 个三角形 .所以所求三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36.11.B 三位数可分成两类,第一类是奇偶奇,其中个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,
11、百位有 2 种选择,共有 322=12(个);第二类是偶奇奇,个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,百位有 1 种选择,共有 321=6(个) .故由分类加法计数原理,可知共有奇数 12+6=18(个) .故选 B.12.D 从 01 至 10 中选 3 个连续的号共有 8 种选法;从 11 至 20 中选 2 个连续的号共有 9 种选法;从 21 至 30 中选 1 个号有 10 种选法;从 31 至 36 中选 1 个号有 6 种选法,由分步乘法计数原理知共有 89106=4 320 种选法,故至少要花 4 3202=8 640(元) .13.B 第一类,一班的 2 名同学在甲车上,甲车
12、上剩下的 2 名要来自不同的班级,从三个班级中选两个有 =3 种不同的选法,然后分别从选择的班级中再选择 1 名学生,有 =4 种不同的选法,故有23 121234=12 种不同的选法 .第二类,一班的 2 名同学不在甲车上,则从剩下的 3 个班级中选择一个班级的 2 名同学在甲车上,有 =3 种不同的选法,然后再从剩下的两个班级中分别选择 1 名有 =4 种13 1212不同的选法,这时共有 34=12 种不同的选法 .根据分类加法计数原理知,共有 12+12=24 种不同的乘车方式,故选 B.14.72 因为区域 1 与其他 4 个区域都相邻,首先考虑区域 1,有 4 种涂法,然后再按区域
13、 2,4 同色和不同色,分为两类:第一类,区域 2,4 同色,有 3 种涂法,此时区域 3,5 均有 2 种涂法,共有 4322=48 种涂法;第二类,区域 2,4 不同色,先涂区域 2,有 3 种涂法,再涂区域 4,有 2 种涂法,此时区域 3,5 都只有 1 种涂法,共有 43211=24 种涂法 .根据分类加法计数原理知,共有 48+24=72 种满足条件的涂色方法 .15.20 根据“凸数”的特点,中间的数字只能是 3,4,5,故分三类,第一类,当中间数字为 3 时,此时有 2 种(132,231);第二类,当中间数字为 4 时,从 1,2,3 中任取两个放在 4 的两边,故有 =6
14、种;23第三类,当中间数字为 5 时,从 1,2,3,4 中任取两个放在 5 的两边,故有 =12 种;24根据分类加法计数原理知,由 1,2,3,4,5 可以组成无重复数字的三位凸数的个数是 2+6+12=20.16.17 当 A=1时, B 有 23-1=7 种情况;当 A=2时, B 有 22-1=3 种情况;当 A=3时, B 有 1 种情况;当 A=1,2时, B 有 22-1=3 种情况;当 A=1,3,2,3,1,2,3时, B 均有 1 种情况 .故满足题意的“子集对”共有 7+3+1+3+3=17(个) .17.B 依题意,符合要求的编号方法为“1”号是乙、丙、丁三人中的某一
15、个 . 当乙的编号为“1”时,其他人的编号如下:41 2 3 4乙 甲 丁 丙乙 丙 丁 甲乙 丁 甲 丙显然,此时有 3 种不同的编号方法; 当丙的编号为“1”时,其他人的编号如下:1 2 3 4丙 甲 丁 乙丙 丁 甲 乙丙 丁 乙 甲显然,此时有 3 种不同的编号方法; 当丁的编号为“1”时,其他人的编号如下:1 2 3 4丁 甲 乙 丙丁 丙 甲 乙丁 丙 乙 甲显然,此时有 3 种不同的编号方法 .由分类加法计数原理,知不同的编号方法有 3+3+3=9(种) .18.48 含有的平行四边形的左上角的顶点有 4 种可能,右下角的顶点有 12 种可能 .由一个左上角顶点和一个右下角顶点就能构成一个平行四边形,所以共有 48 个含有的平行四边形 .
