1、第十二章 概率,12.1 随机事件的概率,-3-,知识梳理,考点自测,1.事件的分类,可能发生也可能不发生,-4-,知识梳理,考点自测,2.频率与概率 (1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 ,称事件A出现的比例 为事件A出现的 . (2)随机事件概率的定义:在 的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的 会在某个 附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时这个 叫做随机事件A的概率,记作P(A),有0P(A)1. (3)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次
2、数的增加稳定于概率P(A),因此可以用来估计概率P(A).,频数,频率,相同,频率,常数,常数,频率fn(A),-5-,知识梳理,考点自测,3.事件的关系与运算,发生,一定发生,BA(或AB),AB,A=B,当且仅当事件A发生或事件B发生,AB(或A+B),-6-,知识梳理,考点自测,当且仅当事件A发生且事件B发生,AB(或AB),不可能,AB=,不可能,必然事件,AB=,且 AB=,-7-,知识梳理,考点自测,4.互斥事件与对立事件的关系 对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件. 5.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围: . (2)必然事件的概率:P(A)= . (3)
3、不可能事件的概率:P(A)= . (4)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则P(AB)= . (5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件.P(AB)= ,P(A)= .,0P(A)1,1,0,1,1-P(B),P(A)+P(B),-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)事件发生的频率与概率是相同的.( ) (2)随机事件和随机试验是一回事.( ) (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.( ) (5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P
4、(B)=1.( ),答案,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.设甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是对立事件,则 ( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件,答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.下列说法: 频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小; 做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率 就是事件A发生的概率; 百分率是频率,但不是概率; 频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值; 频率是概率
5、的近似值,概率是频率的稳定值. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,答案,解析,-11-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-12-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.某射手在同一条件下进行射击,结果如下:这个射手射击一次,击中靶心的概率约是 .,答案,解析,-13-,考点1,考点2,考点3,例1一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数,事件B表示向上的一面出现的数字不超过3,事件C表示向上的一面出现的数字不小于4,则 ( ) A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件
6、C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件,答案,解析,-14-,考点1,考点2,考点3,思考如何判断随机事件之间的关系? 解题心得判断随机事件之间的关系有两种方法:(1)紧扣事件的分类,结合互斥事件、对立事件的定义进行分析判断;(2)类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥;事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.,-15-,考点1,考点2,考点3,对点训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,则互斥而不对立的事件有 .(填
7、序号) 至少有一个红球,都是红球; 至少有一个红球,都是白球; 至少有一个红球,至少有一个白球; 恰有一个红球,恰有两个红球.,答案,解析,-16-,考点1,考点2,考点3,例2某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:,-17-,考点1,考点2,考点3,(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值; (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值; (3)求续保人本年
8、度平均保费的估计值.,-18-,考点1,考点2,考点3,(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为 0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.,-19-,考点1,考点2,考点3,思考随机事件的频率与概率有怎样的关系?如何求随机事件的概率? 解题心得1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率越稳定于概率. 2.求解随机事件的概率的常用方法有两种:(1)可用频率来估计概率. (2)利用
9、随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的方法有:列表法;列举法;树状图法.,-20-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(2017浙江绍兴模拟)如图所示,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:,-21-,考点1,考点2,考点3,(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.,-22-,考点1,考点2,考点3,解: (
10、1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率如下表.,-23-,考点1,考点2,考点3,(3)A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2),故甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)P(B1),故乙应选择L2.,-24-
11、,考点1,考点2,考点3,例3(2017河南洛阳模拟)经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:求:(1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少?,答案,-25-,考点1,考点2,考点3,思考求互斥事件的概率的一般方法有哪些? 解题心得求互斥事件的概率一般有两种方法: (1)公式法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算; (2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( )求出所求概率,特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就较简便.,-26-,考点1,考点2,考点3,对点训练3某商场有奖
12、销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券的中奖概率; (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.,答案,-27-,考点1,考点2,考点3,1.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 2.利用集合方法判断互斥事件与对立事件: (1)若由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥; (2)事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 3.若某一事件包含的基本事件较多,而它的对立事件包含的基本事件较少,则可用“正难则反”思想求解.,-28-,考点1,考点2,考点3,1.正确认识互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件.善于将事件转化为互斥事件的和或对立事件求解. 2.注意概率加法公式的使用条件,在概率的一般加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)中,易忽视只有当AB=,即A,B互斥时,P(AB)=P(A)+P(B),此时P(AB)=0.,
