1、112.2 全称量词和存在量词读教材填要点1全称量词与存在量词(1)全称量词：“任意、 “所有” 、 “每一个”等叫作全称量词，数学上用符号“”表示(2)存在量词：“存在” 、 “某一个” 、 “至少有一个”等叫作存在量词，数学上用符号“”表示2含有“全称量词”或“存在量词”的命题的否定(1)命题“ x I, p(x)”的否定是 “x I，綈 p(x)”；(2)命题“ x I， p(x)”的否定是“ x I，綈 p(x)”小问题大思维1命题 p：任何一个实数除以 1 等于这个数； q：等边三角形的三边都相等它们各使用了什么量词？提示：命题 p 使用了全称量词“任何一个” ， “等边三角形的三边
2、相等”是指“任意一个等边三角形的三边都相等” ，命题 q 使用了全称量词“任意” 2下列命题使用了什么量词？p：存在实数 x，使 x230；q：有的实数既不是质数也不是合数提示：命题 p 使用存在量词“存在” ，命题 q 使用存在量词“有的” 3如何用符号表示下列命题？(1)对任意实数 ，有 sin2 cos 2 1；(2)存在实数 x，使得 2.1x2 x 1提示：(1)用符号表示为“ R，sin 2 cos 2 1” (2)用符号表示为“ xR， 2” 1x2 x 1用“”或“”表述命题将下列命题用量词符号“”或“”表示，并判断真假(1)实数的平方是非负数；2(2)整数中 1 最小；(3)
3、方程 ax22 x10( a1)至少存在一个负根；(4)对于某些实数 x，有 2x10.自主解答 (1) xR， x20 ；真(2)xZ， x1；假(3)x 0，有 ax22 x10( a1)；真(4)xR ，有 2x10；真同一个含全称量词或存在量词的命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：命题含全称量词的命题“x A， p(x)”含存在量词的命题“x A， p(x)”表述方法所有的 x A，p(x)成立对一切 x A，p(x) 成立对每一个 x A，p(x)成立任意一个 x A，p(x)成立凡 x A，都有p(x)成立使 p(x)成立存在 x A，至少有一个x
4、 A，使 p(x)成立对有些 x A，p(x)成立对某个 x A，p(x)成立有一个 x A，使 p(x)成立1用全称量词或存在量词表示下列语句：(1)不等式 x2 x10 恒成立；(2)当 x 为有理数时， x2 x1 也是有理数；13 12(3)等式 sin( )sin sin 对有些角 ， 成立；(4)方程 3x2 y10 有整数解解：(1)对任意实数 x，不等式 x2 x10 成立(2)对任意有理数 x， x2 x1 是有理数13 123(3)存在角 ， ，使 sin( )sin sin 成立(4)存在一对整数 x， y，使 3x2 y10 成立含全称量词或存在量词的命题的真假判断(1
5、)下列命题中的假命题是( )A xR ，lg x0B xR ，tan x1C xR， x20D xR，e x0(2)下列命题中的真命题是( )A R，函数 f(x)sin(2 x )都不是偶函数B ， R ，使 cos( )cos cos C向量 a(2,1)， b(1,0)，则 a 在 b 方向上的投影为 2D “|x|1”是“ x1”的既不充分又不必要条件自主解答 (1)对于 A， x1 时，lg x0；对于 B， x k (kZ)时，tan x1； 4对于 C，当 x0 时， x20，所以 C 中命题为假命题；对于 D，e x0 恒成立(2)对于 A，当 时， f(x)cos 2 x，为
6、偶函数，故 A 为假命题； 2对于 B，令 ， ，则 cos( )cos ，cos cos 4 2 ( 4) 22 0 ，cos( )cos cos 成立，故 B 为真命题；22 22对于 C，向量 a(2,1)， b(1,0)，则 a 在 b 方向上的投影为 2，ab|b| 2 01故 C 为假命题；对于 D，| x|1，即1 x1，故充分性成立，若 x1，则| x|1 不一定成立，所以“| x|1”为“ x1”的充分不必要条件，故 D 为假命题答案 (1)C (2)B全称命题与特称命题的真假判断的技巧(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立
7、；4但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个 x0，使得 p(x0)不成立即可(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M 中，能找到一个 x0使 p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题2判断下列命题是含全称量词还是存在量词，并判断其真假(1)一次函数都是单调函数；(2)至少有一个实数 x，使 x20；(3)xZ ，log 4x0；(4)x x|x 是无理数， x4是无理数解：(1)命题中含有全称量词“都” ，命题为真命题(2)命题中含有存在量词“至少有一个” ，当 x0 时， x20，命题为真命题(3)命题中含有存在量词的符号“” ，当 x4 时，log 4x
8、10，命题为真命题(4)命题中含有全称量词的符号“” ，由于 x 时 x44 是有理数因此命题是假命2题含有量词的命题的否定(1)设命题 p： nN ， n22n，则綈 p 为( )A nN， n22n B nN， n22 nC nN， n22 n D nN， n22 n(2)(2016浙江高考)命题“ xR， nN *，使得 n x2”的否定形式是( )A xR， nN *，使得 n x2B xR， nN *，使得 n x2C xR ， nN *，使得 n x2D xR ， nN *，使得 n x2自主解答 (1)因为“ x M， p(x)”的否定是“ x M，綈 p(x)”，所以命题“nN
9、 ， n22n”的否定是“ nN， n22 n”，故选 C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“xR， nN *，使得 n x2”的否定形式为“ xR， nN *，使得 n x2”答案 (1)C (2)D(1)“x M， p(x)”的否定为 “x M，綈 p(x)”(2)有些命题省略了全称量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”5(3)命题“ x M， p(x)”的否定为“ x M，綈 p(x)”(4)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意” ，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在” 例如：三角形存在外接圆这个命题中的量词“所
10、有的”被省略了，所以这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆3写出下列命题的否定并判断其真假(1)p：不论 m 取何实数，方程 x2 mx10 必有实数根；(2)p：有些三角形的三条边相等；(3)p：余弦值为负数的角是钝角；(4)p：存在一个实数，使得 3x0 恒成立，故为假命题(2)由于存在量词“有些”的否定的表述为“所有， ”因此，原命题的否定为：“所有三角形的三条边不全相等” ，假命题(3)原命题的否定为：“有的余弦值为负数的角不是钝角” ，真命题(4)原命题的否定为“对于所有实数 x，都满足 3x0” ，真命题.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路判断下列命题的真
11、假(1)xR， x22 x10；(2)xR ，| x|0 ；(3)xN ，log 2x0；(4)xR ，cos x . 2巧思 根据命题中所含量词的含义，可举特例判断妙解 (1)当 x1 时， x22 x10，原命题是假命题(2)当 x0 时，| x|0 成立，原命题是真命题(3)当 x1 时，log 2x0，原命题是假命题(4)当 xR 时，cos x1,1，6而 1， 2不存在 xR，使 cos x . 2原命题是假命题1下列命题不是“ xR， x23”的表述方法是( )A有一个 xR，使得 x23B对有些 xR，使得 x23C任选一个 xR，使得 x23D至少有一个 xR，使得 x23解
12、析：选项 C 是全称命题答案：C2下列命题中的假命题是( )A xR ，lg x0 B xR，cos x1C xR， x30 D xR,2 x0解析：选项 A，lg x 0x1；选项 B，cos x1 x2 k( k Z)；选项C； x30 x 0；选项 D,2x0 xR.答案：C3设命题 p： nN， n22n，则綈 p 为( )A nN， n22n B nN， n22 nC nN， n22 n D nN， n22 n解析：因为“ x M， p(x)”的否定是“ x M，綈 p(x)”，所以命题“nN ， n22n”的否定是“ nN， n22 n”，故选 C.答案：C4命题“至少有一个正实数
13、 x 满足方程 x22( a1) x2 a60”的否定是_解析：把量词“至少有一个”改为“所有” ， “满足”改为“都不满足”得命题的否定答案：所有正实数 x 都不满足方程 x22( a1) x2 a605给出下列命题7 xR， x220； xN， x41； xZ ， x3 1.其中是真命题的是_(把所有真命题的序号都填上)解析：由于 xR，都有 x20，因而有 x2220，即 x220.所以命题“ xR， x220” 是真命题由于 0N，当 x0 时， x41 不成立所以命题“ xN， x41”是假命题由于1Z，当 x1 时， x31 成立所以命题“ xZ ， x31”是真命题答案：6写出下
14、列命题的否定，并判断真假(1)非负数的平方是正数(2)有的四边形没有外接圆解：(1)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数 ”因为 020，不是正数，所以该命题是真命题(2)命题的否定：“所有四边形都有外接圆 ”因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.一、选择题1命题“存在 xR,2 x0”的否定是( )A不存在 xR,2 x0 B存在 xR,2 x0C对任意的 xR,2 x0 D对任意的 xR,2 x0解析：由含有存在量词的命题否定可知，命题“存在 xR,2 x0”的否定是“对任意的 xR,2 x0”答案：D2命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的
15、否定是( )A所有不能被 2 整除的整数都是偶数B所有能被 2 整除的整数都不是偶数8C存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数解析：否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选 D.答案：D3若存在 xR，使 ax22 x a0 时，必需 44 a20，解得1 log 1x；p3： x(0，)， xlog 12x；(12)p4： x ， x x成立，所以 p1是假命题，排除(12) (13)A、B，对于命题 p3，在同一平面直角坐标系中作出函数 y x与函数 ylog 2x 的图象(12)(图略)，可知在(0，)上，函数 y x的图象并不是始终在函数 ylo
16、g 12x 的图象上(12)方，所以 p3是假命题，排除 C.答案：D二、填空题5命题“有些负数满足不等式(1 x)(19 x)0”用“”或“”可表述为9_ 解析：命题“有些负数满足不等式(1 x)(19 x)0”为特称命题，用“”表示为：x0.答案： x06命题“零向量与任意向量共线”的否定为：_.解析：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线” ，其否定为“有的向量与零向量不共线” 答案：有的向量与零向量不共线7下列命题是真命题的有_(1)x1,3,5,5 x2 是奇数；(2)xR ， x2 6x50；(3)xR，| x1|0.解析：(1)5127,53217，55227，均为
17、奇数，是真命题(2) x26 x50 中， 3620560，方程有两个不相等的实根，是真命题(3) x1 时，|11|0，是假命题答案：(1)(2)8若命题“ xR， ax2 ax20”是假命题，则 a 的取值范围是_解析：“ xR ， ax2 ax20”是假命题，则“ xR， ax2 ax20”是真命题，当 a0 时，20.符合题意当 a0 时，要满足 xR， ax2 ax20，需有Error! 即Error!解得8 a0，使函数 f(x) ax24 x 在(，2上单调递减” ，命题q：“存在 aR，使 xR,16 x216( a1) x10” 若命题 “p q”为真命题，求实数a 的取值范围解：若 p 为真，则对称轴 x 在区间(，2的右侧，即 2，0 a1. 42a 2a 2a若 q 为真，则方程 16x216( a1) x10 无实数根 16( a1) 24160， a .12 32命题“ p q”为真命题，命题 p， q 都为真，Error! a1.12故实数 a 的取值范围为 .(12， 1
