1、142 导数的运算读教材填要点1求导公式(1)几个幂函数的导数：原函数 导函数f(x) c f( x)0f(x) x f( x)1f(x) x2 f( x)2 xf(x) x3 f( x)3 x2f(x)1xf( x)1x2f(x) xf( x)12x(2)基本初等函数的导数公式：原函数 导函数f(x) x ( 0) f( x) x 1f(x)e x f( x)e xf(x) ax(a0 且 a1) f( x) axln_af(x)ln x(x0) f( x) 1xf(x)log ax(a0 且 a1) f( x) 1xln af(x)sin x f( x)cos_ xf(x)cos x f(
2、 x)sin_ xf(x)tan x f( x) 1cos2x2求导法则2(1)(cf(x) cf( x)；(2)(f(x) g(x) f( x) g( x)，(f(x) g(x) f( x) g( x)；(3)(f(x)g(x) f( x)g(x) f(x)g( x)；(4) (f(x)0)；(1f x ) f x f x 2(5) (f(x)0)；(g xf x ) f x g x g x f x f x 2(6)若 y f(u)， u g(x)，则 yx yu ux.小问题大思维1下面的计算过程正确吗？cos .(sin4) 4 22提示：不正确因为 sin 是一个常数，4 22而常数的
3、导数为零，所以 0.(sin4)若函数 f(x)sin x，则 f .(4) 222若 f(x)， g(x)都是可导函数，且 f(x)0，那么下列关系式成立吗？(1)af(x) bg(x) af( x) bg( x)(a， b为常数)；(2) (a为常数)af x af xf x 2提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确3函数 yln(2 x1)的导函数是什么？提示： yln(2 x1)是由函数 yln u和 u2 x1 复合而成的， yx yu ux (2x1) .1u 2u 22x 1应用导数公式求导数求下列函数的导数：(1)y10 x；(2) ylg x ；(3) ylog x；
4、1x2 123(4)y ；(5) y 21.4x3 (sin x2 cos x2)自主解答 (1) y(10 x)10 xln 10.(2)y (lg x) .(lg x1x2) (1x2) 1xln 10 2x3(3)y(log x) .12 1xln 12 1xln 2(4)y( )( x ) x .4x334 34 14 34 4x(5) y 21(sin x2 cos x2)sin 2 2sin cos cos 2 1sin x，x x2 x2 x y(sin x)cos x.求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程
5、、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式1求下列函数的导数：(1)y x；(1e)(2)y x；(110)(3)ylg 5；(4) y3lg ；3x(5)y2cos 2 1.x解：(1) y xln e x.(1e)x (1e) 1e 1ex(2)y xln (110)x (110) 110 ln 1010x10 xln 10.(3) ylg 5 是常数函数， y(lg 5)0.(4) y3lg lg x，3x4 y(lg x) .1xln 10(5) y2cos 2 1cos x，x y(cos x)sin x.利用导数运算法则求导数求下列函数的
6、导数(1)y xtan x；(2) y( x1)( x2)( x3)；(3)y ；(4) y xsin x ；x 3x2 3 2cos x(5)ye 3x；(6) y5log 2(2x1)自主解答 (1) y( xtan x) (xsin xcos x) xsin x cos x xsin x cos x cos2x . sin x xcos x cos x xsin2xcos2x sin xcos x xcos2x(2)( x1)( x2)( x3)( x23 x2)( x3) x36 x211 x6， y( x1)( x2)( x3)( x36 x211 x6)3 x212 x11.(3)
7、y . x 3 x2 3 x 3 x2 3 x2 3 2 x2 6x 3 x2 3 2(4)y( xsin x) sin x xcos x .(2cos x) 2sin xcos2x(5)函数 ye 3x可以看成函数 ye u和函数 u3 x的复合函数 yx yu ux(e u)(3 x)3e u3e 3x.(6)函数 y5log 2(2x1)可以看成函数 y5log 2u和函数 u2 x1 的复合函数 yx yu ux5(log 2u)(2 x1) .10uln 2 10 2x 1 ln 2(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导(2
8、)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导5(3)对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解求导回代” ，即：弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；利用求导法则分层求导；最终结果要将中间变量换成自变量注意不要漏掉第步回代的过程2求下列函数的导数：(1)y2 xcos x3 xlog2x；(2) y(2 x23)(3 x2)；(3)y ；(4) y ；ex 1ex 1 x 1 2x(5)y ；(6) y xe x.1 1 3x 4解：(1) y(2 xcos x3 xlog2x)(2 x)cos x2 x(cos x)3 xlog 2x x(lo
9、g2x)2 xln 2cos x2 xsin x3(log 2x x )1xln 22 xln 2cos x2 xsin x3log 2x .3ln 2(2)法一： y(2 x23)(3 x2)(2 x23)(3 x2)4 x(3x2)(2 x23)318 x28 x9.法二： y(2 x23)(3 x2)6 x34 x29 x6， y18 x28 x9.(3)y . ex 1 ex 1 ex 1 ex 1 ex 1 2 2ex ex 1 2(4)法一： y x 1 2 x x 1 2xx2 x2 2x 1 x x 1 2x2 2x 2 x x 1 2x21 .1x2法二： y x2 ，x2
10、2x 1x 1x y1 .1x2(5)函数 y (13 x)4 可以看作函数 y t4 和 t13 x的复合函数，1 1 3x 4根据复合函数求导法则可得 yx yt tx( t4 )(13 x)(4 t5 )312(13 x)5 .(6)函数 ye x可以看作函数 ye u和 u x的复合函数，6所以 yx yu ux(e u)( x)e ue x，所以 y( xe x) xe x x(e x)e x x(e x)(1 x)e x.导数的实际应用“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度 h (m)与时间 t (s)之间的关系式为 h(t)4.9
11、t214.7 t18，求烟花在 t2 s 时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况自主解答 烟花在 t2 s 时的瞬时速度就是 h(2) h( t)9.8 t14.7， h(2)4.9.即在 t2 s 时，烟花正以 4.9 m/s的瞬时速度下降如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在 t1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为 0，达到最高点并爆裂；在 01.5 s之间，曲线在任何点的切线斜率都大于 0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在 1.5 s后，曲线在任何点的切线斜率都小于 0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后
12、，以越来越大的速度下落，直到落地解决此类问题，应在熟悉导数的数学意义的同时熟悉导数的物理意义，建立变量之间的表达式是关键3某圆柱形容器的底面半径为 1 m，深度为 1 m，盛满液体后以 0.01 m3/s的速度放出，求液面高度的瞬时变化率解：设液体放出 t s后的液面高度为 h m，则由题意得 1 2h0.01 t，化简得 h1 t，0.01液面高度的瞬时变化率为h (10.01 t)7 (m/s)0.01求抛物线 y x2上的点到直线 x y20 的最短距离解 法一：设直线 l： x y m0( m2)与抛物线 y x2相切，显然直线 l与直线 x y20 平行依题意知， l与直线 x y2
13、0 间的距离就是要求的最短距离，由Error! 得 x2 x m0.由 14 m0，得 m ，14 l的方程为 x y 0.14两平行线间的距离为 d .| 2 14|2 728抛物线 y x2上的点到直线 x y20 的最短距离为 .728法二：依题意知，与直线 x y20 平行的抛物线 y x2的切线的切点到直线x y20 的距离最短设切点坐标为( x0， x )20 y( x2)2 x，2 x01， x0 .12切点坐标为 .(12， 14)切点到直线 x y20 的距离为d .|12 14 2|2 7281已知函数 f(x) ax2 c，且 f(1)2，则 a的值为( )A1 B. 2
14、C1 D0解析： f(x) ax2 c， f( x)2 ax，又 f(1)2 a，2 a2， a1.答案：A2已知函数 f(x) xln x，则 f(1)的值为( )8A1 B2C1 D2解析： f( x)1 ， f(1)2.1x答案：B3下列求导运算正确的是( )A. 1 B(log 2x)(x1x) 1x2 1xln 2C(3 x)3 xlog3e D( x2cos x)2sin x解析： x 1 ；(3 x)3 xln 3；(x1x) (1x) 1x2(x2cos x)( x2)cos x x2(cos x)2 xcos x x2sin x.答案：B4若函数 f(x) ，则 f(2)_.
15、ln xx解析：由 f( x) ，得 f(2) .1 ln xx2 1 ln 24答案：1 ln 245(全国卷)曲线 y x2 在点(1,2)处的切线方程为_1x解析：因为 y2 x ，1x2所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y| x1 2111，所以切线方程为y2 x1，即 x y10.答案： x y106已知函数 f(x) ， g(x) aln x， aR.若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)相交且在x交点处有相同的切线，求 a的值及该切线的方程解： f( x) ， g( x) (x0)，12x ax设两曲线的交点为 P(x0， y0)，则Error!解得 a ， x0e 2，e
16、2所以两条曲线交点的坐标为(e 2，e)切线的斜率为9k f(e 2) ，12e所以切线的方程为 ye (xe 2)，12e即 x2e ye 20.一、选择题1若指数函数 f(x) ax(a0， a1)满足 f(1)ln 27，则 f(1)( )A2 Bln 3C. Dln 3ln 33解析： f( x) axln a，由 f(1) aln aln 27，解得 a3，则 f( x)3 xln 3，故 f(1) .ln 33答案：C2某汽车的路程函数是 s(t)2 t3 gt2(g10 m/s2)，则当 t2 s时，汽车的加速12度是( )A14 m/s 2 B4 m/s 2C10 m/s 2
17、D4 m/s 2解析：由题意知，汽车的速度函数为 v(t) s( t)6 t2 gt，则 v( t)12 t g，故当 t2 s 时，汽车的加速度是 v(2)1221014 m/s 2.答案：A3函数 f(x)e xsin x的图象在点(0， f(0)处的切线的倾斜角为( )A. B. 34 3C. D.4 6解析：因为 f( x)e xsin xe xcos x，所以 f(0)1，即曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线的斜率为 1，所以在点(0， f(0)处的切线的倾斜角为 .4答案：C104曲线 y 在点 M 处的切线的斜率为( )sin xsin x cos x 12 (4，
18、0)A B. 12 12C D.22 22解析： y ，cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x 2 11 sin 2x把 x 代入得导数值为 .4 12答案：B二、填空题5已知 f(x) ， g(x) mx，且 g(2) ，则 m_.1x 1f 2解析： f( x) ， f(2) .又 g( x) m， g(2) m.1x2 14由 g(2) ，得 m4.1f 2答案：46设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex) xe x，则 f(1)_.解析：因为 f(ex) xe x，所以 f(x) xln x(x0)，所以 f( x)1 ，
19、所以 f(1)2.1x答案：27已知函数 f(x) f cos xsin x，则 f 的值为_(4) (4)解析： f( x) f sin xcos x，(4) f f ，得 f 1.(4) (4) 22 22 (4) 2 f(x)( 1)cos xsin x f 1.2 (4)答案：18设曲线 ye ax在点(0,1)处的切线与直线 x2 y10 垂直，则 a_.解析： ye ax在点(0,1)处的切线与直线 x2 y10 垂直，11又 y aeax， a2.答案：2三、解答题9求下列函数的导数(1)y(2 0188 x)8；(2) y ；2xsin x(3)y x ；(4) ycos xs
20、in 3x.1 x2解：(1) y8(2 0188 x)7(2 0188 x)64(2 0188 x)764(8 x2 018) 7.(2)y (2xsin x) 2x sin x 2x sin x sin x 2 .2xln 2sin x 2xcos xsin2x(3)y x(1 x2) 11 x2 x (1 x2) (1 x2)1 x212 x (1 x2) 2x1 x212 .1 x2x21 x2 1 2x21 x2(4)y(cos x)sin 3 xcos x(sin 3x)sin xsin 3xcos xcos 3x(3x)sin xsin 3x3cos xcos 3x.10已知函数 f(x) x3(1 a)x2 a(a2) x b(a， bR)(1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求 a， b的值；(2)若曲线 y f(x)存在两条垂直于 y轴的切线，求 a的取值范围解： f( x)3 x22(1 a)x a(a2)(1)由题意得Error!解得 b0， a3 或 1.(2)曲线 y f(x)存在两条垂直于 y轴的切线，关于 x的方程 f( x)3 x22(1 a)x a(a2)0 有两个不相等的实数根， 4(1 a)212 a(a2)0，即 4a24 a10， a .12 a的取值范围是 .( ， 12) ( 12， )12
