1、143.1 利用导数研究函数的单调性读教材填要点函数在区间( a， b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系：导函数的正负 函数在( a， b)上的单调性f( x)0 单调递增f( x)0，则 f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立比如 y x3在 R上为增函数，但其在 0处的导数等于零也就是说 f( x)0是 y f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件2右图为导函数 y f( x)的图象，则函数 y f(x)的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(，3，2,1，3，)；单调递减区间：3，2，1,3判断(或证明)函数的单调性已知函数 f(x) ax33 x21 ，讨论函数
2、 f(x)的单调性3a自主解答 由题设知 a0. f( x)3 ax26 x3 ax ，(x2a)令 f( x)0，得 x10， x2 .2a当 a0时，若 x(，0)，则 f( x)0. f(x)在区间(，0)上为增函数若 x ，则 f( x)0，(2a， )2 f(x)在区间 上是增函数(2a， )当 a0.(2a， 0) f(x)在区间 上为增函数(2a， 0)若 x(0，)，则 f( x)0，即 f( x)0. f(x)在(0，)内为增函数当 x(，0)时，e x10，即 0，6x2 1x x0，6 x210， x .令 f( x)0，6 x210( ax2) x0 x0x0或 x0，
3、解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式 f( x)0)，则 h( x) 0，从而 f( x)0；当 x1时， h(x) 有解1x2 2x5设 G(x) ，所以只要 aG(x)min即可1x2 2x而 G(x) 21，所以 G(x)min1.(1x 1)所以 a1.即实数 a的取值范围是(1，)(2)因为 h(x)在1,4上单调递减，所以 x1,4时， h( x) ax20 恒成立1x即 a 恒成立1x2 2x所以 a G(x)max.而 G(x) 21.(1x 1)因为 x1,4，所以 .1x 14， 1所以 G(x)max (此时 x4)716所以 a .716当 a 时， h(
4、 x) x2716 1x 716 .16 7x2 32x16x 7x 4 x 416x x1,4， h( x) 0. 7x 4 x 416x即 h(x)在1,4上为减函数故实数 a的取值范围是 .716， )若将本例(2)中“单调递减”改为“单调递增” ，如何求 a的取值范围？解： h(x)在1,4上单调递增， x1,4时， h( x) ax20 恒成立1x即 a 恒成立1x2 2x6设 G(x) ，只需 a G(x)min.1x2 2x又 G(x) 21， x1,4， .(1x 1) 1x 14， 1 G(x)min1， a1.经验证： a1 时， h(x)在1,4上单调递增，综上所述， a
5、的取值范围为(，1已知 f(x)在区间 D上单调，求 f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法：通常将f( x)0(或 f( x)0)的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围特别地，若 f( x)为二次函数，可以由 f( x)0(或 f( x)0)恒成立求出参数的取值范围3已知 a0，函数 f(x)( x22 ax)ex，若 f(x)在1,1上是单调减函数，则 a的取值范围是( )A. B.(0，34) (12， 34)C. D.34， ) (0， 12)解析： f( x)(2 x2 a)ex( x22 ax)ex x2(22 a)x2 aex，由题意当 x1,1时， f( x)
6、0 恒成立，即 x2(22 a)x2 a0 恒成立令 g(x) x2(22 a)x2 a，则有Error!即Error! 解得 a .34答案：C证明：方程 x sin x0 有唯一解12巧思 方程 f(x)0 的解即曲线 y f(x)与 x轴交点的横坐标，因此可以通过构造函数来解决妙解 设 f(x) x sin x，当 x0 时， f(0)0，127所以 x0 是方程 x sin x0 的一个解12因为 f( x)1 cos x，12且 xR 时， f( x)0总成立，所以函数 f(x)在 R上单调递增所以曲线 f(x) x sin x与 x轴只有一个交点12所以方程 x sin x0 有唯
7、一解121函数 f(x) x33 x21 的单调递减区间为( )A(2，) B(，2)C(，0) D(0,2)解析： f( x)3 x26 x3 x(x2)，令 f( x)0，结合4 x4，得4 x0，12x 1x所以 f(x)在(0，)上是增函数，9所以有 f(2)3或 x0，所以 y f(x)在(，1)和(3，)上单调递增综上，函数 y f(x)的图象的大致形状如 A中图所示，所以选 A.答案：A4 f(x)， g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当 x0；当 x(1,0)时，f( x)0.故 f(x) 在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减答案：(，1)和(0，)
8、 (1,0)8已知函数 f(x) 2 x2ln x(a0)若函数 f(x)在1,2上为单调函数，则 a3xa的取值范围是_解析： f( x) 4 x ，若函数 f(x)在1,2上为单调函数，3a 1x即 f( x) 4 x 0 或 f( x) 4 x 0 在1,2上恒成立3a 1x 3a 1x，即 4 x 或 4 x 在1,2上恒成立3a 1x 3a 1x令 h(x)4 x ，则 h(x)在1,2上单调递增，1x所以 h(2)或 h(1)，即 或 3，3a 3a 3a 152 3a又 a0，所以 0 a 或 a1.25答案： 1，)(0，25三、解答题119已知函数 f(x) ln x ，其中
9、 aR，且曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的x4 ax 32切线垂直于直线 y x.12(1)求 a的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解：(1)对 f(x)求导得 f( x) ，14 ax2 1x由 f(x)在点(1， f(1)处的切线垂直于直线 y x12知 f(1) a2，解得 a .34 54(2)由(1)知 f(x) ln x ，x4 54x 32则 f( x) ，x2 4x 54x2令 f( x)0，解得 x1 或 x5，因 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去当 x(0,5)时， f( x)0，故 f(x)在(5，)内为增函数10已知函数 f(x) aln x ax3( aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a1 时，证明：当 x(1，)时， f(x)20.解：(1)根据题意知， f( x) (x0)，a 1 xx当 a0时，则当 x(0,1)时， f( x)0，当 x(1，)时， f( x)f(1)即 f(x)2，所以 f(x)20.12
