1、143.3 三次函数的性质：单调区间和极值读教材填要点1三次函数的性质：单调区间和极值设 F(x) ax3 bx2 cx d(a0)，则 F( x)3 ax22 bx c 是二次函数(1)函数 F( x)没有零点， F( x)在(，)上不变号，则：若 a0，则 F( x)恒正， F(x)在(，)上递增；若 a0，则 F( x)恒负， F(x)在(，)上递减(2)函数 F( x)有一个零点 x w，则：若 a0，则 F( x)在(， w)( w，)上恒正， F(x)在(，)上递增；若 a0，则 F( x)在(， w)( w，)上恒负， F(x)在(，)上递减(3)函数 F( x)有两个零点， x
2、 u 和 x v，设 u v，则：若 a0，则 F( x)在(， u)和( v，)上为正，在( u， v)上为负；对应地，F(x)在(， u)上递增，在( u， v)上递减，在( v，)上递增可见 F(x)在 x u 处取极大值，在 x v 处取极小值若 a0，则 F( x)在(， u)和( v，)上为负，在( u， v)上为正；对应地，F(x)在(， u)上递减，在( u， v)上递增，在( v，)上递减可见 F(x)在 x u 处取极小值，在 x v 处取极大值2求函数 y f(x)在 a， b上的最值的步骤(1)求函数 y f(x)在( a， b)内的极值；(2)将函数 y f(x)的各
3、极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值小问题大思维1根据三次函数的性质能否画出其图象草图？提示：根据三次函数的单调性、极值，可以画出2在区间 a， b上函数 y f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在 a， b上一定存在最值和极值吗？在区间( a， b)上呢？提示：一定有最值，但不一定有极值如果函数 f(x)在 a， b上是单调的，此时 f(x)在 a， b上无极值；如果 f(x)在 a， b上不是单调函数，则 f(x)在 a， b上有极值当f(x)在( a， b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值2三次函数性质的确定与应用设函数
4、 f(x) x36 x5， xR.(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)若关于 x 的方程 f(x) a 有三个不同实根，求实数 a 的取值范围；(3)已知当 x(1，)时， f(x) k(x1)恒成立，求实数 k 的取值范围自主解答 (1) f( x)3 x26，令 f( x)0，解得 x1 ， x2 ，2 2当 x 或 x 时， f( x)0；2 2当 x 时， f( x)0.2 2 f(x)的单调递增区间为(， )和( ，)；2 2f(x)的单调递减区间为( ， )2 2当 x 时， f(x)有极大值 54 ；2 2当 x 时， f(x)有极小值 54 .2 2(2)由(1)知，
5、函数 y f(x)的图象大致形状如图所示，当 54 a54 时，直线 y a 与 y f(x)的图象有三个不同交点，2 2即方程 f(x) a 有三个不同的解实数 a 的取值范围是(54 ，54 )2 2(3)f(x) k(x1)，即( x1)( x2 x5) k(x1) x1， k x2 x5 在(1，)上恒成立令 g(x) x2 x5， g(x)在(1，)上是增函数， g(x) g(1)3. k 的取值范围是(，31求三次函数的单调区间与极值的问题，求导后转化为一元二次方程及一元二次不等式的求解问题去解决2解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，3而导数是研
6、究函数性质的有力工具，因而常将不等式 f(x)g(x)(f(x)0(F(x) f(x) g(x) 恒成立，求 c 的取值范围1c 12解：(1) f( x)3 x22 ax b.由题意，得Error!即Error!解得Error!(2)由(1)知 f( x)3 x23 x63( x2)( x1)令 f( x)0，得 x2 或 x1.当 x 变化时， f( x)， f(x)变化情况如下表所示：x 3(3，2)2 (2,1) 1 (1,2) 2f( x) 0 0 f(x) c92极大值c10 极小值c72 2 c f(x)在3,2上的最小值为 c .即 .3 132 3 132即 c 的取值范围为
7、 .(3 132 ， 0) (3 132 ， )求函数的最值求下列各函数的最值(1)f(x) x42 x23， x3,2；(2)f(x) x33 x26 x2， x1,1自主解答 (1) f( x)4 x34 x，令 f( x)4 x(x1)( x1)0，得4x1 或 x0 或 x1.当 x 变化时， f( x)及 f(x)的变化情况如下表：x 3(3，1)1(1,0)0 (0,1) 1 (1,2) 2f( x) 0 0 0 f(x) 60 极大值 4 极小值 3 极大值 4 5当 x3 时， f(x)取最小值60；当 x1 或 x1 时， f(x)取最大值 4.(2)f( x)3 x26 x
8、63( x22 x2)3( x1) 23， f( x)在1,1内恒大于 0， f(x)在1,1上为增函数故 x1 时， f(x)最小值 12； x1 时， f(x)最大值 2.即 f(x)的最小值为12，最大值为 2.求函数最值的 4 个步骤注意 求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较2已知函数 f(x) x3 ax2 bx c，曲线 y f(x)在点 x1 处的切线为l：3 x y10，若 x 时， y f(x)有极值23(1)求 a， b， c 的值；(2)求 y f(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由 f(x) x3 ax2 bx c，得 f( x)3 x22 ax
9、 b.当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a b0， 5当 x 时， y f(x)有极值，则 f 0，23 (23)可得 4a3 b40， 由，解得 a2， b4.由于切点的横坐标为 1，所以 f(1)4.所以 1 a b c4，得 c5.(2)由(1)可得 f(x) x32 x24 x5，f( x)3 x24 x4.令 f( x)0，解得 x12， x2 .23当 x 变化时， f( x)， f(x)的取值及变化情况如下表所示：x 3 (3，2) 2 ( 2， 23) 23 (23， 1) 1f( x) 0 0 f(x) 8 13 9527 4所以 y f(x)在3,1上的最大值为
10、 13，最小值为 .9527已知函数的最值求参数已知函数 f(x) ax36 ax2 b 在1,2上有最大值 3，最小值29，求 a， b的值自主解答 依题意，显然 a0.因为 f( x)3 ax212 ax3 ax(x4)， x1,2，所以令 f( x)0，解得 x10， x24(舍去)(1)若 a0，当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 1 (1,0) 0 (0,2) 2f( x) 0 f(x) 7 a b 极大值 b 16 a b由上表知，当 x0 时， f(x)取得最大值，所以 f(0) b3.又 f(2)16 a3， f(1)7 a3，6故 f(1) f(2)
11、，所以当 x2 时， f(x)取得最小值即16 a329， a2.(2)若 af(1)所以当 x2 时， f(x)取得最大值即16 a293， a2.综上所述，所求 a， b 的值为Error!或Error!由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用3已知函数 f(x)2 x36 x2 a 在2,2上有最小值37，求 a 的值，并求 f(x)在2,2上的最大值解： f( x)6 x212 x6 x(x2)，由 f( x)0，得 x0 或 x2.当 x 变化时， f( x)， f(x)变化
12、情况如下表：x 2 (2,0) 0 (0,2) 2f( x) 0 0f(x) 40 a 极大值 a 8 a当 x2 时， f(x)min40 a37，得 a3.当 x0 时， f(x)最大值是 3.设 f(x) (x33 x)，讨论关于 x 的方程 f(x) m0 的解的个数情况14巧思 判断三次函数 f(x)的单调性并求得极值，画出其草图，将方程解的个数转化为两个函数图象的交点个数问题7妙解 f( x) (3x23) (x1)( x1)，14 34令 f( x)0 得 x1.当 x 变化时， f( x)与 f(x)的变化情况列表如下：x (，1) 1 (1,1) 1 (1，)f( x) 0
13、0 f(x) 极大值12 极小值12画出 f(x) (x33 x)的草图，如图所示：14方程 f(x) m0 的解的情况如下：(1)当 m 或 m 时，12 12方程 f(x) m0 有一个解；(2)当 m 或 m 时，12 12方程 f(x) m0 有两个解；(3)当 m 时，方程 f(x) m0 有三个解12 121函数 f(x) ax3 bx2 cx d 的图象如图，| x1| x2|，则有( )A a0， b0， c0， d0B a0， b0， c0， d0C a0， b0， c0， d0D a0， b0， c0， d0解析：由 f(x)图象可得 f(0) d0. f( x)3 ax2
14、2 bx c，由题意知， f( x)的图象如图 a0， c0， 0 b0.2b23a答案：C2函数 y2 x33 x212 x5 在2,1上的最大值、最小值分别是( )A12，8 B1，88C12，15 D5，16解析： y6 x26 x12，由 y0 x1 或 x2(舍去)x2 时， y1； x1 时，y12； x1 时， y8. ymax12， ymin8.故选 A.答案：A3函数 f(x) x33 x(|x|1)( )A有最大值，但无最小值 B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值 D既无最大值，也无最小值解析： f( x)3 x233( x1)( x1)，当 x(1,1)时， f(
15、 x)0，所以 f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值答案：D4已知函数 f(x) x33 ax23( a2) x1 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是_解析： f( x)3 x26 ax3( a2)，因为函数 f(x)既有极大值又有极小值，所以方程 f( x)0 有两个不等根， 36 a2433( a2)0，解得 a1 或 a2.答案：(，1)(2，)5若函数 f(x) x33 x a 在区间0,3上的最大值、最小值分别为 m， n，则m n_.解析： f( x)3 x23，当 x1 或 x1 时， f( x)0；当1 x1 时， f( x)0. f(x)在0,1
16、上单调递减，在1,3上单调递增 f(x)min f(1)13 a2 a n.又 f(0) a， f(3)18 a， f(0) f(3) f(x)max f(3)18 a m， m n18 a(2 a)20.答案：206已知 a 为实数， f(x)( x24)( x a)(1)求导数 f( x)；(2)若 f(1)0，求 f(x)在 2,2上的最大值和最小值；(3)若 f(x)在( x，2和2，)上都是递增的，求 a 的取值范围9解：(1) f(x) x3 ax24 x4 a，则 f( x)3 x22 ax4.(2)由 f(1)0，得 a ，12此时有 f(x)( x24) ，(x12)f( x
17、)3 x2 x4.由 f( x)0，得 x 或 x1.43又 f ， f(1) ， f(2)0， f(2)0.(43) 5027 92 f(x)在2,2上的最大值为 ，最小值为 .92 5027(3)f( x)3 x22 ax4 的图象为开口向上且过(0，4)的抛物线，由条件得 f(2)0， f(2)0.即Error! 2 a2，即 a 的取值范围是2,2一、选择题1函数 y f(x)在 a， b上( )A极大值一定比极小值大B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值D最大值一定大于极小值解析：由最值与极值的概念可知，D 选项正确答案：D2若函数 f(x) x33 x29 x k 在区间4,4上
18、的最大值为 10，则其最小值为( )A10 B71C15 D22解析： f( x)3 x26 x93( x3)( x1)由 f( x)0，得 x3 或 x1.又 f(4) k76， f(3) k27， f(1) k5， f(4) k20.由 f(x)max k510，得 k5， f(x)min k7671.答案：B103已知函数 f(x)2 x3 ax236 x24 在 x2 处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A(2,3) B(3，)C(2，) D(，3)解析： f( x)6 x22 ax36，由题意得 f(2)244 a360. a15. f( x)6 x230 x366( x2)(
19、x3)，易知在(3，)上是递增的答案：B4若 x2 与 x4 是函数 f(x) x3 ax2 bx 的两个极值点，则有( )A a2， b4 B a3， b24C a1， b3 D a2， b4解析： f( x)3 x22 ax b，依题意有2 和 4 是方程 3x22 ax b0 的两个根，所以有 24， 24，解得 a3， b24.2a3 b3答案：B二、填空题5已知 y x3 bx2( b2) x3 在 R 上不是单调增函数，则 b 的取值范围为13_解析：若 y x22 bx b20 恒成立，则 4 b24( b2)0，1 b2.由题意可知 b1 或 b2.答案：(，1)(2，)6函数
20、 f(x) x23 x4 在0,2上的最小值是_x33解析： f( x) x22 x3，令 f( x)0，得 x1( x3 舍去)，又 f(0)4， f(1) ， f(2) ，173 103故 f(x)在0,2上的最小值是 f(1) .173答案：1737已知函数 f(x) x33 mx2 nx m2在 x1 时有极值 0，则 m n_.11解析： f( x)3 x26 mx n，由已知可得Error!Error! 或Error!当Error! 时， f( x)3 x26 x33( x1) 20 恒成立与 x1 是极值点矛盾，当Error! 时， f( x)3 x212 x93( x1)( x
21、3)，显然 x1 是极值点，符合题意， m n11.答案：118已知函数 f(x) x22 x3 在区间 a,2上的最大值为 ，则 a_.154解析： f( x)2 x2，令 f( x)0，得 x1，函数在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减若 a1，则最大值为 f(a) a22 a3 ，解得 a ；154 12(a 32舍 去 )若 a1，则最大值为 f(1)1234 .154综上知， a .12答案：12三、解答题9已知函数 f(x) x3 ax2 bx5，曲线 y f(x)在点 P(1， f(1)处的切线方程为y 3 x1.(1)求 a， b 的值；(2)求 y f(x)在3,1上的
22、最大值解：(1)依题意可知点 P(1， f(1)为切点，代入切线方程 y3 x1 可得， f(1)3114， f(1)1 a b54，即 a b2，又由 f(x) x3 ax2 bx5 得，又 f( x)3 x22 ax b，而由切线 y3 x1 的斜率可知 f(1)3，32 a b3，即 2a b0，由Error! 解得Error! a2， b4.(2)由(1)知 f(x) x32 x24 x5，f( x)3 x24 x4(3 x2)( x2)，12令 f( x)0，得 x 或 x2.23当 x 变化时， f(x)， f( x)的变化情况如下表：x 3(3，2)2 ( 2，23) 23 (2
23、3， 1)1f( x) 0 0 f(x) 8 极大值 极小值 4 f(x)的极大值为 f(2)13，极小值为 f ，(23) 9527又 f(3)8， f(1)4， f(x)在3,1上的最大值为 13.10设函数 f(x) x3 ax2 x1， aR.(1)若 x1 时，函数 f(x)取得极值，求函数 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)若函数 f(x)在区间 内不单调，求实数 a 的取值范围(12， 1)解：(1) f( x)3 x22 ax1，由 f(1)0，得 a2， f(x) x32 x2 x1，当 x1 时， y3，即切点为(1，3)， k f( x0)3 x 4 x01，2
24、0令 x01，得 k8，切线方程为 8x y50.(2) f(x)在区间 内不单调，(12， 1)即 f( x)0 在 有解，(12， 1)3 x22 ax10,2 ax3 x21， x ，2 a3 x ，(12， 1) 1x令 h(x)3 x ，1x则 h( x)3 ，由 h( x)0，得 x ；1x2 12 33由 h( x)0，得 x1，33所以 h(x)在 上单调递减，在 上单调递增，(33， 1) (12， 3313 h(1) h(x) h ，(33)即 h(x)(4，2 ，342 a2 ，即2 a ，3 3而当 a 时，3f( x)3 x22 x1( x1) 20，3 3不符合题意舍去，综上， a 的取值范围为(2， )3
