1、145 定积分与微积分基本定理读教材填要点1曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线 y f(x)(a x b)和 x 轴之间的图形，叫作函数 y f(x)在区间 a， b上的“曲边梯形” (2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形2计算变力所做的功的方法化整为零，以直代曲3定积分的概念设 f(x)是在区间 a， b上有定义的函数，在 a， b 之间取若干分点a x0 x1 x2 xn b.记小区间 xk1 ， xk为 k，其长度 xk xk1 记作 xk， xk中最大的记作 d，再在每个小区间 k上任取一点代表点 zk，作和式：
2、 (zk) xk . nk 1f如果(不论如何取分点 xk和代表点 zk)当 d 趋于 0 时和式以 S 为极限，就说函数 f(x)在a， b上可积，并且说 S 是 f(x)在 a， b上的定积分，记作 S f(x)dx.ba4微积分基本定理如果 f(x)是在 a， b上有定义的连续函数， F(x)在 a， b上可导并且 F( x) f(x)，则 f(t)dt F(b) F(a)ba小问题大思维1求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲” ，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲” ，而且分割的曲边梯形数目越多，得到
3、的面积的误差越小2求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲” “以不变代变”的思想方法(2)求解的方法步骤相同23由定积分的定义可知， f(x)dx 是一个常数还是一个变量？ f(x)dx 的值与哪些量baba有关？提示：由定义可得定积分 f(x)dx 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、ba下限，而与积分变量没有关系，即 f(x)dx f(t)dt f(u)du.bababa4如图所示，如何用阴影面积 S1， S2， S3表示定积分 f(x)dx 的值？ba提示： f(x)dx S1 S2 S3.b
4、a利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：(1) (4x x2)dx; (2) (x1) 5 dx；3 121(3) (t2)d x; (4) dx.2121 1x x 1自主解答 (1)取 F(x)2 x2 ，x33因为 F( x)4 x x2，所以 (4x x2)dx F(3) F(1)3 1 .(232333) 2 1 2 1 33 203(2)因为 ( x1) 5，16 x 1 63所以 (x1) 5dx F(2) F(1)21 (21) 6 (11) 6 .16 16 16(3)取 F(x)( t2) x，因为 F( x) t2，所以 (t2)d x F(2) F(1)212( t
5、2)( t2) t2.(4)f(x) ，1x x 1 1x 1x 1取 F(x)ln xln( x1)ln ，xx 1则 F( x) .1x 1x 1所以 dx dx F(2) F(1)ln .21 1x x 121(1x 1x 1) 43运用微积分基本定理求定积分时的 4 个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性” ，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分；(4)注意用“ F( x) f(x)”检验积分的对错1计算下列定积分：(1) (3x22 x1)d x； (2) dx；3 121(x
6、 1x)(3) (sin xcos x)dx； (4) |1 x|dx.020解：(1)取 F(x) x3 x2 x，则 F( x)3 x22 x1. (3x22 x1)d x F(3) F(1)24.3 14(2)取 F(x) x2ln x，12则 F( x) x .1x dx F(2) F(1) ln 2.21(x 1x) 32(3)取 F(x)cos xsin x，则 F( x)sin xcos x. (sin xcos x)dx F() F(0)2.0(4)|1 x|Error!取 F1(x) x x2,0 x1，12F2(x) x2 x,1 x2，12则 F1( x)1 x， F2(
7、 x) x1. |1 x|dx F1(1) F1(0) F2(2) F2(1)1.20利用定积分求参数已知函数 f(x) ax2 c(a0)，若 f(x)dx f(x0)，0 x01，求 x0的值10自主解答 因为 f(x) ax2 c(a0)，取 F(x) x3 cx，a3则 F( x) ax2 c，所以 f(x)dx (ax2 c)dx F(1) F(0) c ax c.1010 a3 20解得 x0 或 x0 (舍去)33 33即 x0 .33利用定积分求参数时，注意方程思想的应用一般地，首先要弄清楚积分变量和被积5函数当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积
8、分下限不大于积分上限2已知 f(x)是一次函数，且 f(x)dx5， xf(x)dx ，求 f(x)的解析式1010 176解：设 f(x) ax b(a0)，取 F1(x) ax2 bx，12 F1( x) f(x)则 (ax b)dx F1(1) F1(0) a b，10 12x(ax b)dx (ax2 bx)dx，1010取 F2(x) ax3 bx2且 F2( x) ax2 bx，13 12则 x(ax b)dx F2(1) F2(0) a b，10 13 12由Error!解得 a4， b3，故 f(x)4 x3.利用定积分求曲边梯形的面积求由抛物线 y x24 与直线 y x2
9、所围成图形的面积自主解答 由Error!得Error! 或Error!所以直线 y x2 与抛物线y x24 的交点为(3,5)和(2,0)，设所求图形面积为 S，根据图形可得S ( x2)( x24)d x (6 x x2)dx，2 32 3取 F(x)6 x x2 x3，12 13则 F( x)6 x x2，6 S F(2) F(3) .1256若将本例中“直线 y x2”换为“抛物线 y3 x2”，如何求解？34解：如图所示，设所求图形面积为 S，S dx2 2(3 34x2) (x2 4) dx，2 2(7 74x2)取 F(x)7 x x3，712则 F( x)7 x2，74 S F
10、(2) F(2) .563利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤(1)画出图形(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限(3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：被积函数的原函数易求；较少的分割区域；积分上限和积分下限比较简单(4)写出平面图形的面积的定积分表达式(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积3求曲线 ye x， ye x及直线 x1 所围成的图形的面积解：由图可知，积分区间为0,1，面积 S dx，10(ex e x)取 F(x)e xe x，则 F( x)e xe x， S F(1) F(0)e 2.1e7定
11、积分在物理中的应用变速直线运动的物体的速度为 v(t)1 t2，初始位置为 x01，求它在前 2秒内所走的路程及 2 秒末所在的位置自主解答 当 0 t1 时， v(t)0，当 1 t2 时， v(t)s2 D s1s2.答案：C4. x4dx_.2 1解析： x4，取 F(x) x5，(15x5) 15 x4dx F(2) F(1)2 1 25(1) 5 .15 335答案：3355若 (2x k)dx2，则 k_.10解析：取 F(x) x2 kx，则 F( x)2 x k， (2x k)dx F(1) F(0)1 k2， k1.10答案：16求由曲线 xy1 及直线 x y， y3 所围
12、成平面图形的面积解：作出曲线 xy1，直线 x y， y3 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积求交点坐标：由Error!得Error!故 A ；由Error! 得Error!或Error!(舍去)，(13， 3)故 B(1,1)；由Error!得Error!故 C(3,3)，故所求面积 S S1 S2 dx (3 x)dx4ln 3.1(3 1x)3111一、选择题1. dx 等于( ) 421xA2ln 2 B2ln 2Cln 2 Dln 2解析： dxln 4ln 2ln 2.421x答案：D2一物体沿直线运动，其速度 v(t) t，这个物体在 t0 到 t1 这段时间内所走的路程为(
13、)A. B.13 12C. 1 D.32解析：曲线 v(t) t 与直线 t0， t1，横轴围成的三角形面积 S 即为这段时间内12物体所走的路程答案：B3.如图所示，阴影部分的面积是( )A2 B23 3C. D.323 353解析： S (3 x22 x)dx，即 F(x)3 x x3 x2，1 3 13则 F(1)3 1 ，13 53F(3)9999. S F(1) F(3) 9 .53 323答案：C4定积分 |x22 x|dx( )2 2A5 B612C7 D8解析：| x22 x|Error!取 F1(x) x3 x2， F2(x) x3 x2，13 13则 F1( x) x22
14、x， F2( x) x22 x. |x22 x|dx (x22 x)dx ( x22 x)dx2 20 220 F1(0) F1(2) F2(2) F2(0)8.答案：D二、填空题5函数 y x x2的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于_解析：由 x x20，得 x0 或 x1.因此所围成的封闭图形的面积为 (x x2)dx.10取 F(x) x2 x3，12 13则 F( x) x x2，面积 S F(1) F(0) .16答案：166设函数 f(x)( x1) x(x1)，则满足 f( x)dx0 的实数 a_. a0解析： f( x)dx f(a)0，得 a0 或 1 或1，a0又
15、由积分性质知 a0，故 a1.答案：17计算 (2x ex)dx_.20解析：取 F(x) x2e x，则 F( x)2 xe x，所以 (2xe x)dx F(2) F(0)5e 2.20答案：5e 28曲线 y 2 x2e 2x，直线 x1， xe 和 x 轴所围成的区域的面积是_1x解析：由题意得，所求面积为13dx.e1(1x 2x 2e2x)取 F(x)ln x x2e 2x，则 F( x) 2 x2e 2x，1x所以 dx F(e) F(1)e 2e.e1(1x 2x 2e2x)答案：e 2e三、解答题9计算下列定积分(1) dx；41(2x 1x)(2) dx.10 x1 x2解
16、：(1)取 F(x) 2 ，2xln 2 x则 F( x)2 x .1x原式 F(4) F(1) (2 2) 2.(16ln 2 2ln 2) 4 14ln 2(2)取 F(x) ln(1 x2)，则 F( x) .12 x1 x2 dx F(1) F(0) ln 2.10 x1 x2 1210已知函数 f(x) x3 x2 x1，求其在点(1,2)处的切线与函数 g(x) x2围成的图形的面积解： f( x)3 x22 x1，(1,2)为曲线 f(x) x3 x2 x1 上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为 k，则 k f(1)2，过点(1,2)处的切线方程为 y22( x1)，即 y2 x.y2 x 与函数 g(x) x2围成的图形如图：14由Error! 可得交点 A(2,4) y2 x 与函数 g(x) x2围成的图形的面积S (2x x2)20取 F(x) x2 x3，则 F( x)2 x x2，13 S F(2) F(0) .43
