1、153 复数的四则运算读教材填要点复数的四则运算一般地，设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，有(1)加法： z1 z2 a c( b d)i.(2)减法： z1 z2 a c( b d)i.(3)乘法： z1z2( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i.(4)除法： i(c di0)z1z2 a bic di ac bdc2 d2 bc adc2 d2小问题大思维1若复数 z1， z2满足 z1 z20，能否认为 z1z2?提示：不能如 2ii0，但 2i 与 i不能比较大小2复数的乘法满足我们以前学过的完全平方公式、平方差公式吗？提示：复数的乘
2、法类似多项式的乘法，满足完全平方公式和平方差公式3如何辨析复数除法与实数除法的关系？提示：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化复数的加减运算已知 z1(3 x y)( y4 x)i， z2(4 y2 x)(5 x3 y)i(x， yR)，若z1 z2 132i，求 z1， z2.自主解答 z1 z2(3 x y)( y4 x)i(4 y2 x)(5 x3 y)i(3 x y)(4 y2 x)( y4 x)(5 x3 y)i(5 x3 y)( x4 y)i.又 z1 z2132i，(5 x3 y)( x4 y)
3、i132i.Error! 解得Error! z1(321)(142)i59i.z24(1)22523(1)i87i.对复数进行加减运算时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部2分别相加减1(1)计算： (2i) .(13 12i) (43 32i)(2)已知复数 z满足 z13i52i，求 z.解：(1) (2i)(13 12i) (43 32i) i1i.(13 2 43) (12 1 32)(2)法一：设 z x yi(x， yR)，因为 z13i52i，所以 x yi(13i)52i，即 x15 且 y32，解得 x4， y1，所以 z4i.法二：因为 z13i52i，所
4、以 z(52i)(13i)4i.复数的乘除运算计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2) (1i) ；(12 32i)(32 12i)(3)(23i)(12i)；(4)(529 i)(73 i)5 5自主解答 (1)(1i)(1i)(1i)1i 2(1i)21i1i.(2) (1i)(12 32i)(32 12i) (1i)(34 34) (34 14)i (1i)(32 12i) i(32 12) (12 32)3 i.1 32 1 32(3)原式 2 3i1 2i 2 3i 1 2i 1 2i 1 2i i. 2 6 3 4 i12 22 45 75(4)原式 5 295i7 35i 5
5、 295i 7 35i 7 35i 7 35i 35 2915 155 2975 i72 35 2 52 i.470 1885i94 5(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一样(2)复数的除法法则难以记忆，在做题时，牢记分母“实数化”即可2(1)已知复数 z148i， z269i，求复数( z1 z2)i的实部与虚部；(2)已知 z是纯虚数， 是实数，求 z.z 21 i解：(1)由题意得 z1 z2(48i)(69i)(46)(8i9i)2i，则( z1 z2)i(2i)i2ii 212i.于是复数( z1 z2)i的实部是 1，虚部
6、是2.(2)设纯虚数 z bi(bR)，则 .z 21 i bi 21 i bi 2 1 i 1 i 1 i b 2 b 2 i2由于 是实数，所以 b20，即 b2，所以 z2i.z 21 i复数范围内的方程问题若关于 x的方程 x2(12i) x(3 m1)i0 有实根，求纯虚数 m的值自主解答 设 m bi(b0)， x0为一实根，代入原方程得 x (12i) x0(3 bi1)20i0.( x x03 b)(2 x01)i0.20Error! 解得Error! m i.1124若将“求纯虚数 m”改为“求实数 m”，如何求解？解： x2(12i) x(3 m1)i0，即( x2 x)(
7、2 x3 m1)i0，Error! Error!或Error!即 m 或 .13 13复数方程问题，常借助复数相等的充要条件转化为实数问题解决3已知关于 x的方程 x2 kxi0 有一根是 i，求 k的值解：因为 i为方程 x2 kxi0 的一个根，所以代入原方程，得 i2 kii0.所以 k 1i.1 ii 1 i ii2计算：1ii 2i 3i 2 018.解 法一：ii 2i 3i 40，i ni n1 i n2 i n3 0.1ii 2i 3i 2 0181ii 2(i 3i 4i 5i 6)(i 7i 8i 9i 10)(i 2 015i 2 016i 2 017i 2 018)1i
8、i 2i.法二：1ii 2i 2 018 1 i2 0191 i 1 i5044 31 i i.1 i31 i 1 i1 i1(62i)(3i1)等于( )A33i B55iC7i D55i解析：(62i)(3i1)(61)(23)i55i.答案：B2(全国卷) ( )3 i1 i5A12i B12iC2i D2i解析： 2i.3 i1 i 3 i 1 i 1 i 1 i 4 2i2答案：D3已知复数 z1i，则 ( )z2 2zz 1A2i B2iC2 D2解析：法一：因为 z1i，所以 2i.z2 2zz 1 1 i 2 2 1 i1 i 1 2 i法二：由已知得 z1i，而 2i.z2
9、2zz 1 z 1 2 1z 1 i 2 1 i 2i答案：B4若 z 时，求 z2 018 z102_.1 i2解析： z2 2i.( 1 i2)z2 018 z102(i) 1 009(i) 51(i) 1 008(i)(i) 48(i) 3ii0答案：05已知复数 z1 a23i， z22 a a2i，若 z1 z2是纯虚数，则实数 a_.解析：由条件知 z1 z2 a22 a3( a21)i，又 z1 z2是纯虚数，所以Error! 解得 a3.答案：36已知复数 z . 1 i 2 3 1 i2 i(1)求复数 z；(2)若 z2 az b1i，求实数 a， b的值解：(1) z 1
10、i. 2i 3 3i2 i 3 i2 i 3 i 2 i5(2)把 z1i 代入得(1i) 2 a(1i) b1i，即 a b(2 a)i1i，所以Error! 解得Error!61设 i为虚数单位，则 ( )5 i1 iA23i B23iC23i D23i解析： 23i.5 i1 i 5 i 1 i 1 i 1 i 4 6i2答案：C2(山东高考)已知 i是虚数单位，若复数 z满足 zi1i，则 z2( )A2i B2iC2 D2解析： zi1i， z 11i.1 ii 1i z2(1i) 21i 22i2i.答案：A3若 a为实数，且(2 ai)(a2i)4i，则 a( )A1 B0C1
11、D2解析：(2 ai)(a2i)4i，4 a( a24)i4i.Error! 解得 a0.答案：B4已知 z123i， z2 ，则 ( )3 2i 2 i 2 z1z2A43i B34iC34i D43i解析： z123i， z2 ，3 2i 2 i 2 z1z2 2 3i 2 i 23 2i i 3 2i 2 i 23 2ii(2i) 2(34i)i43i.答案：D二、填空题5复数 的虚部是_1 2 i 11 2i7解析： (2i) (12i) i，1 2 i 11 2i 15 15 15 15虚部是 .15答案：156若复数 z满足 zi(2 z)(i是虚数单位)，则 z_.解析： zi(
12、2 z)， z2ii z，(1i) z2i， z 1i.2i1 i答案：1i7(天津高考)已知 aR，i 为虚数单位，若 为实数，则 a的值为_a i2 i解析：由 i是实数，得 0，所以a i2 i a i 2 i 2 i 2 i 2a 15 2 a5 2 a5a2.答案：28若 zi1 是方程 z2 az b0 的一个根，则实数 a， b的值分别为_，_.解析：把 zi1 代入方程 z2 az b0，得( a b)( a2)i0，即Error!解得 a2， b2.答案：2 2三、解答题9复数 z ，若 z2 0，求纯虚数 a. 1 i 2 3 1 i2 i az解： z 1i. 1 i 2 3 1 i2 i 2i 3 3i2 i 3 i2 i a为纯虚数，设 a mi(m0)，则 z2 (1i) 2 2i i0.az mi1 i mi m2 m2 (m2 2)Error! m4. a4i.10已知 x， yR，且 ，求 x， y的值x1 i y1 2i 51 3i解： ，x1 i y1 2i 51 3i8 .x 1 i2 y 1 2i5 5 1 3i10即 5x(1i)2 y(12i)515i.(5x2 y)(5 x4 y)i515i.Error! 解得Error!
