1、1【课时训练】平面向量的数量积一、选择题1(2018 北师大附中模拟)已知向量 a( x1,2)， b(2,1)，则 ab 的充要条件是( )A x B x112C x5 D x0【答案】D【解析】由 ab0 可求得 x0.2(2018 杭州模拟)若向量 a， b 满足 |a| |b| 2， a 与 b 的夹角为 60，则|a b|( )A2 B223 3C4 D12【答案】B【解析】| a b|2 |a|2 |b|2 2|a|b|cos 6044222 12，12| a b|2 .33(2018 山西四校二联)已知平面向量 a， b 满足 a(a b) 3，且 |a| 2， |b| 1，则向
2、量 a 与 b 夹角的正弦值为( )A B12 32C D12 32【答案】D【解析】 a(a b) a2 ab2 221cos a， b42cos a， b3，cos a， b .又 a， b0，12sin a， b .1 cos2 a， b324(2018 北京昌平第二次统考)如图，在 ABC 中，若| | |， AB2， AC1， E， F 为 BC 边的三等分点，则 ( )AB AC AB AC AE AF 2A B89 109C D259 269【答案】B【解析】若| | |，则 2 22 2 22 ，即有AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC 0.
3、E， F 为 BC 边的三等分点，则 ( )( ) AB AC AE AF AC CE AB BF (AC 13CB )Error! Error! 2 2 (14)0 .故选 B.(AB 13BC ) (13AC 23AB ) 29AC 29AB 59AB AC 29 1095(2018 驻马店质检)若 O 为 ABC 所在平面内任一点，且满足( )( 2OB OC OB OC )0，则 ABC 的形状为( )OA A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形【答案】C【解析】因为( )( 2 )0，OB OC OB OC OA 所以 ( )0.因为 ，CB AB AC AB AC
4、CB 所以( )( )0，即| | |.AB AC AB AC AB AC 所以 ABC 是等腰三角形故选 C.6(2018 南宁二次适应性测试)线段 AD， BE 分别是边长为 2 的等边三角形 ABC 在边BC， AC 边上的高，则 ( )AD BE A B32 32C D332 332【答案】A【解析】由等边三角形的性质，得| | | ， ， 120，所AD BE 3 AD BE 以 | | |cos ， .故选 A.AD BE AD BE AD BE 3 3 ( 12) 327(2018 陕西宝鸡三模)若 ABC 外接圆的圆心为 O，半径为 4， 2 2 0，则OA AB AC 在 方
5、向上的投影为( )CA CB A4 B 15C D173【答案】C【解析】如图所示，取 BC 的中点 D，连接 AD， OD，则由平面向量的加法的几何意义，得 2 .AB AC AD 又由条件，得 ，AB AC 12OA 12AO 所以 2 ，即 4 .所以 A， O， D 共线AD 12AO AD AO 所以 OA BC.所以 CD 为 在 方向上的投影CA CB 因为| | |4，所以| |3.AO CO OD 所以| | .CD |OC |2 |OD |2 7二、填空题8(2018 德州模拟)在 ABC 中， M 是 BC 的中点， AM3，点 P 在 AM 上，且满足 2AP ，则 (
6、 )的值为_PM PA PB PC 【答案】4【解析】由题意，得 AP2， PM1，所以 ( ) 2 221cos PA PB PC PA PM 1804.9(2018 烟台模拟)已知 O 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心，则( )( )OA OB OA OC _.【答案】16【解析】由题意知 AOB BOC AOC120，且 OA OB OC ，所以 33 OB OC cos 120 .故( )( )OA OB OA OC 33 33 16 OA OB OA OC .OA2 OA OC OB OA OB OC 1610(2018 荆州二检)在 ABC 中， 3， ABC 的面积 S
7、，则 与 夹AB BC 32， 32 AB BC 角的取值范围是_4【答案】 6， 4【解析】由三角形面积公式及已知条件，知 S ABC ABBCsin B ，32 12 32所以 ABBCsin B3.3由 3，知 ABBCcos( B)3，所以 ABBC .AB BC 3cos B代入，得 3，所以1tan B .所以 B .33sin Bcos B 33 34 56而 与 的夹角为 B，其取值范围为 .AB BC 6， 411(2018 江西白鹭洲中学期末)已知在直角三角形 ABC 中， ACB90，AC BC2，点 P 是斜边 AB 上的中点，则 _.CP CB CP CA 【答案】4
8、【解析】由题意可建立如图所示的坐标系，可得 A(2,0)， B(0,2)， P(1,1)， C(0,0)，则 ( )CP CB CP CA CP CB CA 2 24.CP 12(2018 安徽黄山二模)在 ABC 中，若 ，则点 O 是 ABCOA OB OB OC OC OA 的_(填“重心” “垂心” “内心”或“外心”)【答案】垂心【解析】 ， ( )0. 0，OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA，即 OB 为 ABC 底边 CA 上的高所在直线同理 0， 0，故 O 是 ABC 的垂心OA BC OC AB 13(2019 武汉调研)如图， AB 是半圆
9、O 的直径， C， D 是弧 AB 的三等分点， M， N 是线段 AB 的三等分点，若 OA6，则 _.MC ND 【答案】26【解析】解法一：因为 ( )( )MC ND MO OC NO OD | | |cos 180| | |cos 60|MO NO MO OD OC NO OC OD MO NO MO OD 5| |cos 60| | |cos 604661826.OC NO OC OD 解法二：以点 O 为坐标原点， AB 所在的直线为 x 轴， AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则 M(2,0)， N(2,0)， C(3,3 )， D(3,3 )，所以 (1
10、,3 )，3 3 MC 3(1,3 )， 1 2726.ND 3 MC ND 三、解答题14(2018 陕西模拟)已知 |a| 4， |b| 3，( 2a 3b)(2a b) 61.(1)求 a 与 b 的夹角 ；(2)求| a b|；(3)若 a， b，求 ABC 的面积AB BC 【解】(1)因为( 2a 3b)(2a b) 61，所以 4|a|2 4ab 3|b|2 61.又 |a| 4， |b| 3，所以 64 4ab 27 61.所以 ab 6.所以 cos .又 0 ，所以 .ab|a|b| 643 12 23(2)因为 |a b|2( a b)2 |a|2 2ab |b|2 42 2( 6) 32 13，所以|a b| .13(3)因为 与 的夹角 ，所以 ABC .AB BC 23 23 3又| | a|4，| | b|3，所以 SAB BC ABC | | |sin ABC 43 3 .12AB BC 12 32 36
