1、高三理数 1 / 11 南阳市一中 2018 年秋期高三年级第九次目标考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 已知全集 ，函数 的定义域为 ，集合 ，则下列结论正确的是 A. B C D 2 如图所示的程序框图 ,则满足 的输出有序实数对 的概率为（ ） A B C D 3 对于复数 ，给出下列三个运算式子： （ 1） ，（ 2） ， （ 3） .其中正确的个数是（ ） A B C D 4 九章算术中的 “竹九节 ”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3
2、 升，下面 3 节的容积共 4 升，现自上而下取第 1,3,9 节，则这 3 节的容积之和为（ ） A 升 B 升 C 升 D 升 5 展开式中 的系数为 （ ） A 15 B 20 C 30 D 35 6 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 112 B 16 C 23 D 13 高三理数 2 / 11 7 为考察 ,AB两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ） A 药物 B 的预防效果优于药物 A 的预防效果 B 药物 A 的预防效果优于药物 B 的预防效果 C.药物 A 、 B 对该疾病均有显
3、著的预防效果 D.药物 A 、 B 对该疾病均没有预防效果 8 已知函数 ，把函数 的图象的横坐标伸长到原来的 倍，然后将图象向右平移 个单位，纵坐标不变 ，得到函数 的图象，若当 时，方程 有两个不同的实根，则 的取值范围为（ ） A B C D 9 已知函数 ( ) 2 1 2 lnf x a x x ， 1() xg x xe (aR ,e 为自然对数的底数 )，若对任意给定的 0 0,xe ，在 0,e 上总存在两个不同 的 ix （ 1,2i ），使得 0if x g x成立，则 a 的取值范围是（ ） A 25-1ee ，B 22, eeC 222ee，D 2 5 2 2,1ee
4、10 如图，已知抛 物线 的顶点在坐标原点，焦点在 x轴上，且过点 (2，4)，圆 ，过圆心 的直线 l与抛物线和圆分别交于 P，Q， M， N，则 的最小值为 ( ) A.36 B 42 C. 49 D. 50 高三理数 3 / 11 11 已知 是定义在区间 上的函数， 是 的导函数，且 ，则不等式 的解集是（ ） A B C D 12 （ 2017 高考题变式） 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件 .为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 “解数学题获取软件激活码 ”的活动 .这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1， 1， 2， 1， 2， 4， 1， 2， 4，
5、 8， 1， 2， 4， 8， 16， ，其中第一项是 20，接下来的两项是 20， 21，再接下来的三项是 20， 21， 22，依此类推 .求满足如下条件的最小整数 N： N600且该数列的前 N项和为 2的整数幂 .那么该款软件的激活码是 ( ) A 1040 B 1897 C 1959 D 7882 二 .填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13 已知向量 a (1， 2， 3)， b (-2， -4， -6)， |c| ，若 (a b)c 7，则 a与 c的夹角为_. 14 记 “点 满足 （ ） ”为事件 ，记 “ 满足 ”为事件 ，若 ，则实数 的最大值为 _ 15
6、在 ABC 中 , AB BC , 7cos 18B .若以 ,AB为焦点的双曲线经过点 C ,则该双曲线的离心率 _. 16 （ 2017 高考题变式） 如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为 acm (a0)，该纸片上的等边三角形 的中心为 为圆 上的点，分别是以 为底边的等腰三角形 .沿虚线剪开后，分别以 为折痕折起 ，使得 重合，得到三棱锥 .当 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： ）的最大值为 _. 高三理数 4 / 11 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 (本题满分 12 分 ) ABC 中 ,内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc.已知 2cos 3si
7、nBB . (1)求 B ; (2)若 ,abc成等比数列 ,求 11tan tanAC 的值 ; (3)若 AC 边上的中线长为 2 ,求 ABC 面积的最大值 . 18 (本题满分 12 分 )在如图所示的圆台中， CA 是下底面圆 O 的直径， EF 是上底面圆 /O的直径， FB 是圆台的一条母线 . （ 1） 已知 HG， 分别为 FBE,C 的中点，求证： ABCGH 面/ ； （ 2） 已知 221 ACFBEF ， BCAB ，求二面角 OBCF 的余弦值 . 19 (本题满分 12 分 )某市为了制定合理的节电方案，对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 200 户居
8、民每户的月均用电量（单位：百千瓦 时），将数据按 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 6 , 6 , 7 , 7 , 8 , 8 , 9分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 （ 1）求直方图 中 m 的值； （ 2）设该市有 100 万户居民，估计全市每户居民中月均用电量不低于 6百千瓦 时的人数及每户居民月均用电量的中位数； （ 3）政府计划对月均用电量在4 百千瓦 时以下的用户进行奖高三理数 5 / 11 励，月均用电量在 0,1 内的用户奖励 20 元 /月，月均用电量在 1,2 内的用户奖励 10 元 /月， 月均用电量在 2,4
9、 内的用户奖励 2 元 /月若该市共有 400 万户居民，试估计政府执行此计划的年度预算 20 (本题满分 12 分 )在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C ： )0(12222 babyax 的离心率为 21 ，右焦点 F（ 1,0），点 P 在椭圆 C 上，且在第一象限内，直线 PQ 与圆 O： 222 byx 相切于点 M. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）求 |PM| |PF|的取值范围； （ 3） 若 OP OQ，求点 Q 的纵坐标 t 的值 . 21 (本题满分 12 分 )已知函数 ，其中 是自然对数的底数 （ 1）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围； （
10、 2）已知正数 满足：存在 ，使得 成立试比较 与 的大小，并证明你的结论 请考生在 (22)、 (23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22 (本题满分 10 分 )选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过 2,0M ，倾斜角为 0 以 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 4cos （ ）求直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； 高三理数 6 / 11 （ ）已知直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，且 2MA MB ，求直线 l 的斜率 k 23 (本题满分 10 分
11、)已知函数 . （ 1）若 的解集为 ，求 的值； （ 2）若存在 使不等式 成立，求 的取值范围 高三理数 7 / 11 南阳一中高三 第九次目标考试理科数学参考答案 1A 2D 3D 4B 5C 6B 7B 8D 9A 10B 11D 12B 13 120 14 1625 15 32 16 34 15125a 17（ 1）由题意可得， 222 c o s 3 s i n 2 1 s i nB B B ,所以 1sin , 0, ,2BB ， 6B （ 2）由题意 2b ac ，及正弦定理可得 2sin sin sinA C B 又 1 1 c o s c o s s i n 1 2t a
12、n t a n s i n s i n s i n s i n s i nA C BA C A C A C B （ 3）由 1 22 BA BC，可得 221 6 2 c o s 2 3a c a c B a c 所以 16 2 3ac ，当且仅当 ac 时等号成立。 1 s i n 4 2 32ABCS a c B 18. （ 1 ）证明 : 设 FC 的中点为 I ，连接 HIGI, ，在 CEF 中，EFGIIFCIGECG / ， ，又 OBEF/ ， OBGI/ ，ABCGIABCGIABCOB 面面面 /, 在 FCB 中，CBIHHBFHICFI /, ， ABCIH 面/ ，又
13、 IIHIG ，所以ABCGIH 面面 / ， ABCGHG IHGH 平面平面 / （ 2）连接 /OO ，则 ABCOO 平面/ ，又 BCAB ，且 AC 是圆 O 的直径，所以ACBO ， 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzO- （ OA 方向为 x 轴，OB方向为 y轴， /OO 方向为 z轴，图略）由题意得 : 002-,0,2,0 ，CB ,过点 F 作 OBFM于点 M ，故 310322 ，FBMFBFM ，故 3,1,0,0,2,2 BFBC ，设 zyxn , 是平面 BCF 的一个法向量，高三理数 8 / 11 00BFnBCn 03 022 zy
14、 yx ，取 1z ，则 1,3,3 n ，又平面 ABC 的一个法向量 3,0,0/ OO ，故 77,c o s/ OOnOOnOOn，所以二面角 OBCF 的余弦值为 77 . 19 （ 1）由题得 1 1 ( 0 .0 4 0 .0 8 0 .2 1 0 .2 5 0 .0 6 0 .0 4 0 .0 2 ) 2 m ，所以0.15m （ 2） 200 户居民月均用电量不低于 6 百千瓦 时的频率为 0 .0 6 0 .0 4 0 .0 2 0 .1 2 ， 100万户居民中月均用电量不低于 6 百千瓦 时的户数有 1 0 0 0 0 0 0 0 .1 2 1 2 0 0 0 0； 设
15、 中 位 数 是 x 百 千 瓦 时 ， 因 为 前 5 组 的 频 率 之 和0 . 0 4 0 . 0 8 0 . 1 5 0 . 2 1 0 . 2 5 0 . 7 3 0 . 5 ， 而前 4 组的频率之和 0 . 0 4 0 . 0 8 0 . 1 5 0 . 2 1 0 . 4 8 0 . 5 ，所以 45x 由 0.5 0.484 0.25x ，解得 4.08x （ 3 ） 该 市 月 均 用 电 量 在 0,1 , 1.2 , 2, 4内 的 用 户 数 分 别 为2 0 0 0 0 8 .2 0 0 0 0 1 6 .2 0 0 0 0 7 2 ， 所 以 每 月 预 算 为
16、 2 0 0 0 0 8 2 0 1 6 1 0 7 2 2 2 0 0 0 0 4 6 4 元，故估计政府执行此计划的年度预算为2 0 0 0 0 4 6 4 1 2 1 1 1 3 6 万元 1. 136 亿元 20（ 1）121cac c=1， a=2， 2, 3ab， 椭圆方程为 134 22 yx （ 2）设 ),( 00 yxP ，则 )20(13402020 xyx PM=020202020 2134333 xxxyx ， PF=0212 x PM PF= 1)2(41)4(41 2000 xxx， 20 0 x ， |PM| |PF|的取值范围是高三理数 9 / 11 （ 0,
17、1） （ 3）法一： 当 PM x 轴时， P )23,3( ， Q ),3( t 或 ),3( t ，由 0OQOP 解得32t 当 PM 不垂直于 x 轴时，设 ),( 00yxP ， PQ 方程为 00()y y k x x ，即000 ykxykx PQ 与圆 O 相切， 31 |2 00 k ykx， 33)( 2200 kykx 002 ykx 33 220202 kyxk 又 ),( 00 tk kxytQ ，所以由 0OQOP 得00000 )( kyx kxyxt 200200202 )( )( kyx kxyxt 0020220200202 )( ykxykx ykxx33
18、)33( 22020220220220 kyxkykx kx=33)433)(1()1()33(2202202220kxkxkkx=12， 32t 法二：设 ),( 00yxP ，则直线 OQ ： xyxy 00， ),(00 ttxyQ ， OP OQ ， OP OQ=OM PQ 2020002220202020 )()(3 tytxyxttxyyx )(33)( 220202020220220202020202022020 txx yxtytxyxyxxtyx )(3)( 22022020 txtyx ， 33 2020202 yx xt 134 2020 yx ， 433 2020 xy
19、 ， 12413 20202 xxt ， 32t 21（ 1）由条件知 在 上恒成立， 高三理数 10 / 11 令 （ ），则 ，所以 对于任意 成立 因为 ， ，当且仅当 ，即 时等号成立因此实数 的取值范围是 （ 2）令函数 ，则 ，当 时， ，又 ，故 ，所以 是 上的单调递增函数，因此 在 上的最小值是 由于存在 ，使 成立，当且仅当最小值 ，故 ，即 与 均为正数，同取自然底数的对数，即比较 与 的大小，试比较 与 的大小构造函数（ ），则 ，再设 ， ，从而 在 上单调递减，此时 ，故 在 上恒成立，则 在 上单调递减综上所述，当 时， ；当 时， ；当 时， 22（ ）直线 l
20、 的参数方程为 2 x tcosy tsin （ t 为参数），由 2sin 4cos 得22sin 4 cos 曲线 C 的直角坐标方程为 2 4yx 高三理数 11 / 11 （ ）把 2 cosxt ， sinyt 代入 2 4yx 得 22s i n 4 c o s 8 0tt 设 ,AB两点对应的参数分别为 1t 与 2t ，则12 24cossintt ， 12 28sintt ， 易知 1t 与 2t 异号又 2MA MB 122tt 消去 1t 与 2t 得 tan 2 ，即 2k 23（ 1） ， 不等式 的解集为 ，所以 是方程 的根，且 ，所以. （ 2） 存在 使得 成立，即存在 使得成立 ，令 ，则 ，令 ，则， ，当且仅当 ，即 ，亦 时等号成立 . ，
