1、1模块综合检测一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“ x0R,2 x031”的否定是( )A x0R,2 x031 B xR,2 x31C xR,2 x31 D x0R,2 x031解析：选 C 由特称命题的否定的定义即知2函数 y 的图象在点(1，1)处的切线的方程是( )1xA x y20 B2 x2 y30C x y0 D x y0解析：选 A y ， yError!，1x2 y 在点(1，1)处的切线的斜率为 1，1x切线的方程为 y(1) x1，即 x y20，故选 A.3抛物线 y ax2的准线方程
2、是 y2，则 a 的值为( )A. B18 18C8 D8解析：选 B 由 y ax2得 x2 y, 8， a .1a 1a 184下列说法中正确的是( )A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B “ab”与“ a cb c”不等价C “a2 b20，则 a， b 全为 0”的逆否命题是“若 a， b 全不为 0，则 a2 b20”D一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选 D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选 D.5已知甲： a， b， c 成等差数列；乙： 2.则甲是乙的( )ab cbA必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件
3、解析：选 A 若 2，则 a c2 b，ab cb由此可得 a， b， c 成等差数列；2当 a， b， c 成等差数列时，可得 a c2 b，但不一定得出 2，如 a1， b0， c1.ab cb所以甲是乙的必要不充分条件，故选 A.6双曲线 1( mn0)的离心率为 2，它的一个焦点与抛物线 y24 x 的焦点重x2m y2n合，则 mn 的值为( )A. B.316 38C. D.163 83解析：选 A 抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，故双曲线 1 中，x2m y2nm0， n0 且 m n c21. 又双曲线的离心率 e 2， cm m nm联立方程，解得Error!故
4、mn .3167下列命题的否定是真命题的是( )A存在向量 m，使得在 ABC 中， m 且 mAB AC B对所有正实数 x，都有 x 21xC对所有第四象限的角 ，都有 sin 0，所以 x 2 2，1x x1x当且仅当 x ，即 x1 时等号成立，所以 B 是真命题，其否定是假命题；1xC 中，由于第四象限角的正弦值是负数，所以 C 是真命题，其否定是假命题；D 中，对于幂函数 f(x) x ，均有 f(1)1，所以幂函数的图象均经过点(1,1)，所以 D 是假命题，其否定是真命题故选 D.38.函数 f(x) ax3 bx2 cx d 的图象如图，则函数 y ax2 bx32的单调递增
5、区间是( )c3A(，2 B.12， )C2,3 D.98， )解析：选 D 由题图可知 d0.不妨取 a1， f(x) x3 bx2 cx， f( x)3 x22 bx c.由图可知 f(2)0， f(3)0，124 b c0,276 b c0， b ， c18. y x2 x6， y2 x . 32 94 94当 x 时， y0， y x2 x6 的单调递增区间为 .故选 D.98 94 98， )9已知 F1(3,0)， F2(3,0)是椭圆 1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，x2m y2n F1PF2 .当 时， F1PF2面积最大，则 m n 的值是( )23A41 B15C9 D1
6、解析：选 B 由 S F1PF2 |F1F2|yP3 yP，知 P 为短轴端点时， F1PF2面积最12大此时 F1PF2 ，得 a 2 ， b ，故 m n15.23 m 3 n 310已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1， F2，点 A 在 C 上若| F1A|2| F2A|，则cos AF2F1( )A. B.14 13C. D.24 23解析：选 A 由题意得Error!解得| F2A|2 a，| F1A|4 a，又由已知可得 2，所以 c2 a，即| F1F2|4 a，ca4cos AF2F1 .故选 A.|F2A|2 |F1F2|2 |F1A|22|F2A|F1F2| 4a
7、2 16a2 16a222a4a 1411若不等式 2xln x x2 ax3 对 x(0，)恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A(，0) B(，4C(0，) D4，)解析：选 B 由 2xln x x2 ax3，得 a2ln x x ，3x设 h(x)2ln x x (x0)，3x则 h( x) . x 3 x 1x2当 x(0,1)时， h( x)0，函数 h(x)单调递减；当 x(1，)时， h( x)0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)min h(1)4.所以 a h(x)min4.故 a 的取值范围是(，412定义在 R 上的函数 f(x)满足： f( x) f(x)恒成立
8、，若 x1 x2，则 ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为( )Ae x1f(x2)e x2f(x1)Be x1f(x2)e x2 (x1)Ce x1f(x2)e x2f(x1)De x1f(x2)与 e x2f(x1)的大小关系不确定解析：选 A 设 g(x) ，f xex则 g( x) ，f x ex f x ex ex 2 f x f xex由题意 g( x)0，所以 g(x)单调递增，当 x1 x2时， g(x1) g(x2)，即 ，f x1e x1 f x2e x2所以 e x1f(x2)e x2f(x1)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确
9、答案填在题中的横线上)13已知函数 f(x)(2 x1)e x， f( x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为_解析：因为 f(x)(2 x1)e x，5所以 f( x)2e x(2 x1)e x(2 x3)e x，所以 f(0)3e 03.答案：314命题“ x0R,2 x 3 ax090”为假命题，则实数 a 的取值范围是_20解析： x0R,2 x 3 ax090 为假命题，20 xR,2 x23 ax90 为真命题， 9 a24290，即 a28，2 a2 .2 2答案：2 ，2 2 215若双曲线 1( a0， b0)的渐近线与抛物线 x24 y 的准线所围成的三角x2a2 y
10、2b2形的面积为 2，则该双曲线的离心率为_解析：依题意，得双曲线的渐近线方程是 y x，ba抛物线的准线方程是 y1，因此所围成的三角形的三个顶点坐标分别是 ， ，(0,0)，(ab， 1)(ab， 1)该三角形的面积等于 2 1 2，12 ab ab因此该双曲线的离心率 e .ca 1 (ba)2 1 (12)2 52答案：5216某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价为 p 元，销量Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系： Q8 300170 p p2，则该商品零售价定为 _元时利润最大，利润的最大值为_元解析：设商场销售该商品所获利润为 y 元，则y(
11、p20)(8 300170 p p2) p3150 p211 700 p166 000( p20)，则 y3 p2300 p11 700.令 y0 得 p2100 p3 9000，解得 p30 或 p130(舍去)则 p， y， y变化关系如下表：p (20,30) 30 (30，)y 0 6y 极大值 故当 p30 时， y 取极大值为 23 000 元又 y p3150 p211 700p166 000 在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件 30 元，所获利润最大为 23 000 元答案：30 23 000三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要
12、的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知命题 p：方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题x22 y2mq： xR,4 x24 mx4 m30. 若(綈 p) q 为真，求 m 的取值范围解： p 真时， m2.q 真时，4 x24 mx4 m30 在 R 上恒成立 16 m216(4 m3)0，解得 1 m3.(綈 p) q 为真， p 假， q 真Error! 即 1 m2.所求 m 的取值范围为1,218(本小题满分 12 分)已知抛物线 C： x22 py(p0)上一点 M(m,4)到其焦点的距离为 5.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若过点 M 的双曲线
13、1( a0， b0)的一个顶点为抛物线 C 的焦点，求该双y2a2 x2b2曲线的渐近线方程解：(1)由抛物线的定义可得 4 5，p2解得 p2，所以抛物线 C 的方程为 x24 y.(2)把 M(m,4)代入 x24 y 可得 m4，所以 M 点的坐标为(4,4)，抛物线 x24 y 的焦点为(0,1)， a1，双曲线的方程为 y2 1( b0)，x2b2代入 M(4,4)得 b2 ， b ，1615 415双曲线的渐近线方程为 y x，14157即为 y x.15419(本小题满分 12 分)已知 a2，函数 f(x)( x2 ax a)ex.(1)当 a1 时，求 f(x)的单调递增区间
14、；(2)若 f(x)的极大值是 6e2 ，求 a 的值解：(1)当 a1 时， f(x)( x2 x1)e x，则 f( x)( x23 x2)e x.由 f( x)0 得 x23 x20，即 x1 或 x2，所以函数的单调递增区间为(，2和1，)(2)f( x)(2 x a)ex( x2 ax a)ex x2( a2) x2 aex.由 f( x)0 得 x2 或 x a，因为 a2，所以 a2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如表所示：x (，2) 2 (2， a) a ( a，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 x2 时 f(x)取得极大值，即(42
15、a a)e2 6e 2 ，所以 a2.20(本小题满分 12 分)已知椭圆 C： x22 y24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA OB，求线段 AB 长度的最小值解：(1)由题意，得椭圆 C 的标准方程为 1，x24 y22所以 a24， b22，从而 c2 a2 b22.因此 a2， c .故椭圆 C 的离心率 e .2ca 22(2)设点 A， B 的坐标分别为( t,2)，( x0， y0)，其中 x00.因为 OA OB，所以 0，OA OB 即 tx02 y00，解得 t .2y0x0又 x 2 y 4，
16、20 208所以| AB|2( x0 t)2( y02) 2 2( y02) 2(x02y0x0) x y 4 x 420 204y20x20 20 4 x202 2 4 x20x20 4(0 x 4)x202 8x20 20因为 4(0 x 4)，x202 8x20 20当且仅当 x 4 时等号成立，所以| AB|28.20故线段 AB 长度的最小值为 2 .221(本小题满分 12 分)设椭圆 E： 1( a0)的焦点在 x 轴上x2a2 y21 a2(1)若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程；(2)设 F1， F2分别是椭圆 E 的左、右焦点， P 为椭圆 E 上的第一象限内的点
17、，直线 F2P交 y 轴于点 Q，并且 F1P F1Q，证明：当 a 变化时，点 P 在某定直线上解：(1)因为 a21 a2,2c1， a21 a2 c2，则 a2 ，所以椭圆 E 的方程为 1.58 8x25 8y23(2)证明：设 F1( c,0)， F2(c,0)， P(x， y)， Q(0， m)，则 ( x c， y)， ( c， m)，F2P QF2 ( x c， y)， ( c， m)F1P F1Q 由 ， ，F2P QF2 F1P F1Q 得Error! 所以( x c)(x c) y2，即 x2 y2 c2.由椭圆 E 的方程可知， c2 a2(1 a2)2 a21，所以
18、x2 y22 a21, 即 y2 x22 a21.将上式代入椭圆 E 的方程，得 1，x2a2 x2 2a2 11 a2解得 x2 a4.因为点 P 是第一象限内的点，所以 x a2， y1 a2.故点 P 在定直线 x y1 上22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)e x2 x23 x.(1)求证：函数 f(x)在区间0,1上存在唯一的极值点(2)当 x 时，若关于 x 的不等式 f(x) x2( a3) x1 恒成立，试求实数 a 的取12 529值范围解：(1)证明： f( x)e x4 x3， f(0)e 0320， f(0) f(1)0， f( x)在区间0,1上单调递增，
19、f( x)在区间0,1上存在唯一零点， f(x)在区间0,1上存在唯一的极小值点(2)由 f(x) x2( a3) x1，52得 ex2 x23 x x2( a3) x1，52即 axe x x21，12 x ， a .12 ex 12x2 1x令 g(x) ，ex 12x2 1x则 g( x) .ex x 1 12x2 1x2令 (x)e x(x1) x21，则 ( x) x(ex1)12 x ， ( x)0.12 (x)在 上单调递增12， ) (x) 0.(12) 78 12e因此 g( x)0，故 g(x)在 上单调递增，12， )则 g(x) g 2 ，(12)e 18 112 e 94 a 的取值范围是 .( ， 2e94)10
